(iv) Если
,
-решения уравнения (2.1), то соответствующие векторные решения системы (2.3)

,

линейно независимы (в каждой точке
t) тогда и только тогда, когда функции
, 
линейно
независимы в том смысле, что равенство

, где

и

- постоянные, влечет за собой

.
(v) Если
, 
- решения уравнения (2.1), то существует постоянная
с, зависящая от
и (t) и
v (t) и такая, что для их вронскиана
W (t) = W (t; и, v) выполняется тождество

.(2.7)
Поскольку матричным решением системы (2.3) является

,
detX(t)=p(t)W(t) и trA(t)=0.
(vi)Тождество Лагранжа. Рассмотрим пару уравнений
,
, (2.8)
где f=f(t), g=g (t) - непрерывные функции на J. Если умножить второе уравнение на и, первое-на v и результаты вычесть, мы получим, что

, (2.9)
так как
. Соотношение (2.9) называется
тождеством Лагранжа. Его интегральная форма

(2.10)
где
, называется
формулой Грина.(vii) В частности, из (v) следует, что и(t) и v(t) - линейно независимые решения уравнения (2.1) тогда и только тогда, когда в (2.7)

. В этом случае всякое решение уравнения (2.1) является линейной комбинацией

функций
и(t) и
v(
t) с постоянными коэффициентами.
(viii) Если

(например,

), то вронскиан любой пары решений
и(t), v(t) уравнения (2.1) равен постоянной .
(ix) В соответствии с результатами общей теории, в случае, когда известно одно решение

уравнения (2.1), отыскание других решений
v(t) этого уравнения (по крайней мере локально) сводится к решению некоторого скалярного дифференциального уравнения первого порядка. Если

на подинтервале
, этим уравнением служит уравнение (2.7), где
и - известная функция,
а v - искомая. Если поделить (2.7) на
, то это уравнение запишется в виде

, (2.11)
а после интегрирования мы будем иметь

, (2.12)
где а,

. Легко проверить, что если

,
- произвольные постоянные и
а,
, то функция (2.12) является решением уравнения (2.1), удовлетворяющим (2.7) на любом интервале
J', где

.
(х) Пусть и(t), v(t) - решения уравнения (2.1), удовлетворяющие (2.7) с

. При фиксированном

решением уравнения (2.1), удовлетворяющим начальным условиям
и (s) = 0,
p(s)u'(s)= 1, является

. Поэтому решением уравнения (2.2), удовлетворяющим условиям
, служит функция

; (2.13)
(проще проверить это непосредственно). Общее решение уравнения (2.2) получается прибавлением к (2.13) общего решения

уравнения (2.1), что дает

. (2.14)
Если замкнутый ограниченный интервал [a,b] содержится в J, то, полагая

,

,

мы получаем из (2.14) частное решение

.(2.15)
Оно может быть записано в виде

, (2.16)
где

(2.17)
матрица С (t) зависит от
, но не зависит от их производных. В этом случае уравнение (2.1) и эквивалентная ему система (2.3) сводятся к системе

. (2.28)
(xii) Если известно частное решение

уравнения (2.27), не равное нулю на
J, то мы можем определить линейно независимые решения с помощью квадратур (см. (ix)) и затем найти матрицу, входящую в (2.28). В действительности, тот же результат можно получить более прямым путем. Пусть уравнение (2.27) имеет решение

на интервале
J. Заменим неизвестную функцию
и в (2.1) на
z, так что
. (2.29)
Функция z удовлетворяет дифференциальному уравнению

.
Умножая его на
, мы получаем, что

(2.30)
или, в силу (2.27), что

, (2.31)
т. е. подстановка (2.29) приводит уравнение (2.1) к (2.30) или к (2.31). Мы могли также начинать не с решения

дифференциального уравнения (2.27), а с функции

, имеющей непрерывную производную

и такой, что

непрерывно дифференцируема. При этом

определяется равенством (2.27), так что
. Подстановка (2.29) будет называться также
вариацией постоянных.(xiii)Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая рассмотрим (2.1) с р (t) = 1:
и" + q (t) и = 0. (2.32)
Предположим, что функция q (t) имеет непрерывную производную второго порядка, вещественна и не равна нулю, так что
±q (t) > 0, где ± = sgn q (t) (2.33)
не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных

. (2.34)
Тогда (2.32) сводится к (2.30), где

, т. е. к уравнению

(2.35)
Замена независимых переменных

, определенная соотношением