Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (стр. 7 из 18)

где

- класс преобразований , такой, что . Иначе можно считать, что

(10*)

а

- оператор наилучшего приближения элементами множества , форма которых не сложнее, чем форма . Характеристическим для является тот факт, что, если f(x)=f(y), то для любого .

5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения

поля зрения X.

Задано разбиение

, требуется определить яркость и цвет наилучшего приближения на каждом

. Рассмотрим задачу наилучшего приближения в

цветного изображения f(Ч) (2) изображениями (4), в которых считается заданным разбиение поля зрения X и требуется определить из условия

(11)

Теорема 1. Пусть

. Тогда решение задачи (11) имеет вид

, i=1,...,N, j=1,...,n, (12)

и искомое изображение (4) задается равенством

. (13)

Оператор

является ортогональным проектором на линейное подпространство (4****)

изображений (4), яркости и цвета которых не изменяются в пределах каждого A_i , i=1,...,N.

Черно-белый вариант

(4*) цветного изображения (4) является наилучшей в аппроксимацией черно-белого варианта цветного изображения f(Ч) (2), если цветное изображение (4) является наилучшей в аппроксимацией цветного изображения f(Ч) (2). Оператор

, является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого

.

В точках множества

цвет (4**) наилучшей аппроксимации (4) цветного изображения f(Ч) (2) является цветом аддитивной смеси составляющих f(Ч) излучений, которые попадают на .

Доказательство. Равенства (12) - условия минимума положительно определенной квадратичной формы (11), П - ортогональный проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация - ортогональная проекция f(Ч) на

. Второе утверждение следует из равенства

, вытекающего из (13). Последнее утверждение следует из равенств

,i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k следует заменить на xОX. ■

Замечание 1. Для любого измеримого разбиения

ортогональные проекторы

и определяют соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4), цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого

, различны для различных

, ибо , и форму в широком смысле черно-белого изображения, яркость которого постоянна на каждом

и различна для разных ,[2].