Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (стр. 15 из 18)

Всякое изображение g(Ч), распределение цвета которого есть j(Ч) и только такое изображение содержится в

и является неподвижной точкой оператора

: g(Ч) = g(Ч). (#)

Поскольку на самом деле детали сцены, передаваемые распределением цвета j(Ч), не представлены на изображении f(Ч) = f(Ч)j(Ч) в той области поля зрения, в которой яркость f(x)=0, xОX, будем считать, что

- форма любого изображения f(x) = f(x)j(x), f(x)>0, xОX(modm), все такие изображения изоморфны, а форма всякого изображения g(Ч), удовлетворяющего уравнению (#), не сложнее, чем форма f(Ч).

Замечание 5. Пусть j₁,..., j_N

- исходный набор цветов, , A₁,...,A_N - соответствующее оптимальное разбиение X, найденное в теореие 4 и

, (34*)

- наилучшее приближение f(Ч). Тогда в равенстве (24)

, (24*)

если A₁,...,A_N - исходное разбиение X в теореме 3. Наоборот, если A₁,...,A_N - заданное в теореме 3 разбиение X и f₁,...,f_N - собственные векторы операторов Ф₁,...,Ф_N (23) соответственно, отвечающие максимальным собственным значениям, то f₁,...,f_N

и будет выполнено равенство (24), если в (34*) определить j_i как цвет f_i в (24), i=1,...,N.

Проверка этого замечания не представляет затруднений.

В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого A_i, i=1,...,N.

Разумеется, условие постоянства цвета на множествах A_i, i=1,...,N, на практике может выполняться лишь с определенной точностью. Последнюю можно повысить как путем перехода к более мелкому разбиению

, так и допустив некоторые изменения цвета в пределах каждого A_i, i=1,...,N, например, выбрав вместо (17) класс изображений

(17*)

в котором

в (3).

Поскольку в задаче наилучшего приближения f(Ч) изображениями этого класса предстоит найти

, векторы при любом i=1,...,N, можно считать ортогональными, определив

, (*)

из условия минимума невязки по

. После этого для каждого i=1,...,N векторы должны быть определены из условия

(**)

при дополнительном условии ортогональности

. Решение этой задачи дается в следующей лемме

Лемма 5. Пусть

ортогональные собственные векторы оператора Ф_i (23), упорядоченные по убыванию собственных значений:

.

Тогда решение задачи (**) дается равенствами

.

Доказательство. Заметим, что, поскольку Ф_i - самосопряженный неотрицательно определенный оператор, его собственные значения неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они образовали ортогональный базис в R_n. Пусть P_i - ортогонально проецирует в R_n на линейную оболочку

собственных векторов и

[P_i Ф_i P_i] - сужение оператора P_i Ф_i P_i на

. Тогда левая часть (*) равна следу оператора [P_i Ф_i P_i]

, где - j-ое собственное значение оператора (см., например, [10]). Пусть . Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10], , откуда следует утверждаемое в лемме. ■

Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 3.

Теорема 3*. Наилучшее приближение любого изображения f(Ч) изображениями (17*) имеет вид

,

Где

: ортогональный проектор на линейную оболочку , собственных векторов задачи

.

Невязка наилучшего приближения равна

. n

Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f(Ч) изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы

, и надлежит определить измеримое разбиение и функции , как решение задачи

(30)

При любом разбиении

минимум в (30) по достигается при , определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что