Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (стр. 11 из 18)

. (16)

Множества (16) являются конусами в R_n , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение

изображения f(Ч) инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например ), в частности, относительно образования теней на f(Ч).

Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов

оператор F, приведенный в теореме 2, определяет форму изображения, принимающего значения соответственно на измеримых множествах (любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в

) точкой F: , если , все они изоморфны между собой. Если некоторые множества из - пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую форму.

Иначе говоря, в данном случае формой изображения

является множество всех изображений, принимающих заданные значения на множествах положительной меры любого разбиения X, и их пределов в

.

Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(Ч) изображениями

, в котором требуется определить как векторы

, так и множества

так, чтобы

.

Следствие 1.

Пусть D_i ,i=1,...,N, - подмножества R_n (15), П - ортогональный проектор (13),

, где

. Тогда необходимые и достаточные условия суть следующие: , где ,

.

Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть

- исходные векторы в задаче (14*),

- соответствующее оптимальное разбиение (14), F⁽¹⁾- оператор наилучшего приближения и

- невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения

оптимальные векторы

. Согласно выражению (13)

, и соответствующий оператор наилучшего приближения П⁽¹⁾ (13) обеспечит не менее точное приближение f(Ч), чем F⁽¹⁾: . Выберем теперь в теореме 2

, определим соответствующее оптимальное разбиение

и построим оператор наилучшего приближения F⁽²⁾. Тогда . На следующем шаге по разбиению

строим

и оператор П⁽³⁾ и т.д.

В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего

-измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции

. Выберем произвольно попарно различные векторы

из f(X) и построим по формуле (15) разбиение R_n . Для каждого q=1,2,... образуем разбиение E^(N(q)), множества , j=1,...,N(q), которого образованы всеми попарно различными пересечениями множеств из . Последовательность соответствующих разбиений X , i=1,...,N(q), q=1,2... -измеримы и является продолжением

5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения

поля зрения X.