Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (стр. 10 из 18)

, то для любого изображения и для любого , ибо -измеримо, N=1,2,... n

Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.

Заданы векторы f₁,...,f_q, требуется определить разбиение

, на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно значенния f₁,...,f_q. Рассмотрим задачу приближения цветного изображения f(Ч), в которой задано не разбиение

поля зрения X, а векторы

в

, и требуется построить измеримое разбиение

поля зрения, такое, что цветное изображение

- наилучшая в аппроксимация f(Ч). Так как

, (14*)

то в A_i следует отнести лишь те точки

, для которых , =1,2,...,q, или, что то же самое, =1,2,...,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся считать, что запись

, (14)

означает, что множества (14) не пересекаются и

.

Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим разбиение

, в котором

(15)

и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F, действующий из

в по формуле , , i=1,...,q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения и , i=1,...,q, можно было считать эквивалентными. [8]

Теорема 2. Пусть

- заданные векторы R_n. Решение задачи

наилучшего в

приближения изображения f(Ч) изображениями имеет вид , где - индикаторная функция множества . Множество определено равенством (15). Нелинейный оператор , как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F²=F, т.е. является пректором.

Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом варианте, то есть заданы числа

, i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию , то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств

где

, и имеет мало общего с разбиением (14).

Замечание 3. Выберем векторы f_i, i=1,..,q единичной длины:

, i=1,...,q. Тогда