Множина комплексних чисел (стр. 6 из 7)

Эти значения изображаются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность (рис. 3).

Где применяются комплексные числа?

В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексных чисел Гаусс нашел ответ на чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n циркулем и линейкой можно построить правильный n-угольник? Из школьного курса геометрии известно, как циркулем и линейкой построить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник (его сторона равна радиусу описанной около него окружности). Более сложным является построение правильных пятиугольника и пятнадцатиугольника. Научившись строить эти правильные многоугольники, легко перейти к построению соответствующих многоугольников с удвоенным числом сторон: восьмиугольника, десятиугольника и т. п. Все эти задачи на построение были решены еще в Древней Греции. Однако, несмотря на огромные усилия многих замечательных древнегреческих геометров и других ученых, никому не удалось построить ни правильный семиугольник, ни правильный девятиугольник. Не удалось также осуществить построение правильного р-угольника ни при каком простом числе р, кроме p = 3 и p = 5. Более двух тысяч лет никто не мог продвинуться в решении этой проблемы. В 1796 г. Карл Фридрих Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые доказал возможность построения правильного семнадцатиугольника с помощью циркуля и линейки. Это было одно из самых удивительных открытий в истории математики. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения правильных n-угольников.

Гаусс доказал, что правильный N–угольник с нечетным числом сторон (вершин) может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число N является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. (Числами Ферма называют числа вида F_n =

+ 1 · При n = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа являются простыми, при n = 5 число F₅ будет составным. Из этого результата следовало, что построение правильного многоугольника невозможно при N = 7, 9, 11, 13.

Легко заметить, что задача о построении правильного n-угольника равносильна задаче о делении окружности радиуса R = 1 на n равных частей. Выше было показано, что корень n-й степени из единицы имеет точно n значений; почти все эти значения (за исключением одного, двух) являются комплексными. Точки, изображающие корни n-й степени из единицы, располагаются на окружности радиуса R = 1 и делят ее на n равных дуг, т. е. являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в эту окружность (см. рис. 3). При доказательстве возможности построения правильного 17-угольника Гаусс пользовался свойствами корней 17-й степени из единицы.

В XVIII в. возникла новая область математики – теория функций комплексной переменной. Введем понятие такой функции. Рассмотрим две комплексные переменные z = x + iy и w = u + iv, где x, y, u, v – действительные переменные, i =

- мнимая единица. Зафиксируем две комплексные плоскости Oxy (плоскость z), O'uv (плоскость w) с выбранными на них системами прямоугольных координат и два множества на этих плоскостях: D и D' соответственно (рис. 4).

Если каждой точке z

D по некоторому закону f ставится в соответствие единственная точка w

D', то говорят, что w есть функция от z и пишут: w = f(z). Множество D в этом случае называют областью определения функции w = f(z), значения которой принадлежат области D'. Если множество значений f(z) исчерпывает все множество D', то D' называют множеством значений (областью изменения) функции f(z). B таком случае пишут: D'= f(D). Множества D и D' можно изображать на одной комплексной плоскости. Каждое из множеств D и D' может совпадать со всей плоскостью.

Таким образом, каждая комплексная функция реализует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплексные функции находят важные применения таких науках, как гидродинамика и аэродинамика, поскольку с их помощью удобно описывать движение объема жидкости (или газа).

С помощью теории функций комплексной переменной доказана следующая важная теорема, которую долгое время называли основной теоремой алгебры.

Теорема: Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Рассмотрим многочлен степени n (n ≥ 1):

f(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ^-1 + … + a_n_-1x + a_n . (36)

Корнем многочлена называют такое число с (в общем случае комплексное: с = a + bi), которое обращает данный многочлен в нуль:

a₀cⁿ + a₁c^n-1 + … + a_n-1c + a_n ≡ 0.

Другими словами, теорема утверждает, что алгебраическое уравнение n-й степени (n ≥ 1)

a₀xⁿ + a₁xⁿ^-1 + … + a_n_-1x + a_n = 0 37)

имеет хотя бы один корень.

Отсюда следует, что любое алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней. Действительно, если многочлен f(х) = a₀xⁿ + a₁xⁿ^-1 + … + a_n_-1x + a_n , имеет корень α₁, то его можно представить в виде f(х) = (х – α₁)φ₁(x), где φ₁(x) – многочлен степени n – 1. Этот многочлен по данной теореме имеет хотя бы один корень. Обозначим корень многочлена φ₁(x) через α₂, тогда φ₁(x) = (х – α₂)φ₂(x), где φ₂(x) – многочлен степени n – 2. Продолжая аналогичные рассуждения, находим, что f(x) = a₀(x – a₁)(x – a₂)...(x – a_n). Отсюда видно, что f(α_i) = 0 при i – 1, 2, ... , n, т. е. α_i — корни многочлена (36) или уравнения (37). Таким образом, уравнение (37) имеет n корней.

Отметим, что комплексные корни всякого многочлена с действительными коэффициентами всегда сопряжены: если с = a - bi – корень уравнения, то с = а-bi – также корень данного уравнения. Иными словами, комплексные корни такого многочлена входят парами во множество его корней. Отсюда следует, что любое алгебраическое уравнение нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Замечание. Не всякое уравнение имеет корни, действительные или комплексные. Например, трансцендентное (неалгебраическое) уравнение а^x = 0 (а > 0) не имеет никаких корней (ни действительных, ни комплексных).

Простейшим примером функции комплексной переменной является линейная функция w = z + c, где с – постоянная (комплексное число). Эта функция осуществляет преобразование плоскости z на плоскость w. Каждой точке z она ставит в соответствие точку w = z + с. Очевидно, от точки z можно перейти к точке w путем сдвига (параллельного переноса) на вектор с, т. е. посредством перемещения точки z по направлению вектора с на расстояние, равное длине этого вектора (рис. 5). Путем подходящего выбора числа с можно получить любой сдвиг. Например, если точку z нужно сдвинуть в положительном направлении оси Ox на две единицы, то надо взять с = 2; точка w = z + 2 будет искомой (рис. 6). Если же точку z нужно сдвинуть в отрицательном направлении оси Oy на три единицы, то берем c = -3i; точка w'= z + (-3i) = z – 3i будет искомой (рис. 6). Итак, функция w = z + c осуществляет преобразование (отображение) плоскости, которое называют сдвигом на вектор с.

Геометрическое преобразование, при котором величины углов между любыми двумя линиями, содержащимися в преобразуемой фигуре, не изменяются, называют конформным преобразованием или конформным отображением. (Под углом между двумя линиями, пересекающимися в некоторой точке, понимают угол между касательными к этим линиям, проведенными в этой точке.) Примерами конформных отображений могут служить сдвиг (параллельный перенос), гомотетия и поворот. Таким образом, можно сказать, что функция w = z + с осуществляет конформное отображение; это одна из таких функций.