Множина комплексних чисел (стр. 4 из 7)

Модуль и аргумент комплексного числа

Комплексное число z = x + iy изобразим точкой z комплексной плоскости; точка z имеет координаты (x, y). Рассмотрим радиус-вектор

этой точки (рис. 2). Модулем комплексного числа z называют длину г радиус-вектора

данной точки. Модуль комплексного числа z обозначают через |z|. Следовательно, по определению

r = |z|, |z|

0. (17)

Поскольку г =

(получено из формулы для расстояния между двумя точками на плоскости: 0 (0, 0) и z (x, y)), то

|z| =

. (18)

Эта формула выражает модуль комплексного числа z = x + iy через его действительную и мнимую часть. Формула (18) имеет простой геометрический смысл: она выражает длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами |х| и |y| (см. рис. 2).

Отметим, что модуль комплексного числа является неотрицательным действительным числом.

Аргументом комплексного числа z = x + iy называют величину угла φ наклона радиус-вектора

к положительной полуоси Ox. Аргумент комплексного числа z обозначают так: Argz. При изменении z этот угол может принимать любые действительные значения (как положительные, так и отрицательные; последние отсчитываются по часовой стрелке). Если модули двух комплексных чисел равны, а значения угла φ отличаются друг от друга на 2π, или на число, кратное 2π, то точки, соответствующие этим комплексным числам, совпадают; комплексные числа в этом случае равны между собой. Следовательно, аргумент комплексного числа z имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0, модуль которого равен нулю: |0| =0. Среди значений аргумента комплексного числа z

0 существует одно и только одно значение, заключенное между —π, +π, включая последнее значение. Его называют главным значением аргумента и обозначают argz. Итак, модуль и аргумент комплексного числа z удовлетворяют следующим соотношениям:

|z|

0, -π < argz

π, Argz = argz + 2πn (n = 0,

2, …).

Главное значение аргумента положительного действительного числа равно 0, главное значение аргумента действительного отрицательного числа равно π, главное значение аргумента мнимого числа bi (b > 0) равно π/2, главное значение аргумента мнимого числа –bi (b > 0) равно –π/2.

Выразим действительную и мнимую части комплексного числа z = x + iy через его модуль и аргумент. Пусть точка z изображает число z = x + iy (рис. 2). Из прямоугольного треугольника ОAz получаем

x = r cosφ, y = r sinφ, (19)

где r = |z|. Отсюда и из формул (17), (18) следует:

cosφ =

, sinφ =

, tgφ =

Например: 1) найдём аргумент числа z = 1 – i. Так как Re z = 1, Im z = -1, то точка z = 1 – i лежит в IV четверти. Поэтому достаточно найти такое решение одного из последних уравнений , которое является углом в IV четверти. Рассмотрим уравнение cosφ =

. Находим

cos φ =

, φ =

+ 2kπ (k = 0,

2, …);

2) найдём аргумент числа -1- i. Точка -1-i лежит в III четверти. Найдём такое решение уравнения tg φ =

, которое является углом в III четверти. Находим

tg φ = 1, φ =

+ 2kπ (k = 0,

2, …).

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим комплексное число

z = x + iy. (20)

Подставляя сюда выражения для x и y через модуль и аргумент комплексного числа (см. формулы (19)), получаем z = r cosφ + ir sinφ, или

z = r (cosφ + isinφ) (r

0). (21)

Запись комплексного числа z в виде (21) называют тригонометрической формой этого числа.

Замечание. Не всякая запись комплексного числа через тригонометрические функции является тригонометрической формой этого числа. Например, запись числа ί в виде

i = cos

+ isin

, или i = (-1)(cos

+ isin

)

не является тригонометрической формой числа i: в первом случае у косинуса и синуса разные аргументы, во втором - имеется отрицательный множитель. Поскольку аргументами комплексного числа i являются числа π/2 + 2kπ (k = 0, ±1, ±2, ...) и только они, и |i| = 1, то тригонометрическая форма числа i имеет вид

i = cos (

+ 2kπ) + isin (

+ 2kπ) (k – любое целое число).

Очевидно, что

r (cosφ + isinφ) = r (cos(φ +2kπ) + isin(φ +2kπ)).

Два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π. Следовательно, если

r₁(cosφ₁ + isinφ₁) = r₂(cosφ₂ + isinφ₂), (22)

то

r₁= r₂, φ₂= φ₁ + 2kπ (k = 0, ±1, ±2, ...). (23)

Если комплексное число z = x + iy задано в тригонометрической форме (21), то комплексное число

= x – iy записывается в форме

= r (cos(-φ) + isin(-φ)),

поэтому

|z| = |

|, argz = -arg