Методические указания по курсу Математика для студентов I курса исторического факультета (стр. 3 из 5)

Решение (аналогично решению предыдущей задачи, отличается лишь v: x ®ù y.

x	y	ùy	x Úy	z ùy & (x Úy)	t x®z	v x®ùy	Ответ: t ºv
И И Л Л	И Л И Л	Л И Л И	И И И Л	Л И Л Л	Л И И И	Л И И И	И И И И

Ответ: да, тавтология.

Задание 5.

Построить график дробно-рациональной функции

(варианты 1-30), предварительно исследовав ее по следующему плану:

1) найти область определения функции

(для этого можно преобразовать формулу, разложив числитель и знаменатель на множители);

2) если есть точки разрыва, то выяснить, есть ли в них вертикальные асимптоты (для этого найти в этих точках пределы функции слева и справа);

3) найти наклонные или горизонтальные асимптоты (для этого преобразовать формулу функции, выделив целую часть из дроби);

4) проверить, не обладает ли функция частными свойствами: а) четностью или нечетностью, б) периодичностью (если нет, то доказать, пояснить это);

5) найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства, если точки пересечения с осью

легко находятся;

6) найти производную и критические точки;

7) по знаку производной выяснить интервалы возрастания и убывания функции и что она имеет в критических точках;

8) изобразить систему координат (в соответствии с исследованными свойствами) и отметить в ней все найденные точки, изобразить асимптоты; для уточнения вида графика найти координаты нескольких дополнительных точек; отметить их и нарисовать график;

9) если в п.5 не были найдены точки пересечения графика с осью

(нули функции), то найти их теперь по графику;

10) найти область изменения функции (по графику и исследованным свойствам).

Варианты:

1)

; 11) ; 21) ;

2)

; 12) ; 22) ;

3)

; 13) ; 23) ;

4)

; 14) ; 24) ;

5)

; 15) ; 25) ;

6)

; 16) ; 26) ;

7)

; 17) ; 27) ;

8)

; 18) ; 28) ;

9)

; 19) ; 29) ;

10)

; 20) ; 30) .

Пример. Исследовать функцию

.

Решение. 1)

= = при (корни квадратного трехчлена найдены по обратной теореме Виета (в уме)),

значит,

.

2) а) при

слева ; (1)

	-8	-7,5	-7,1	…
	-90	-159,5	-719,1	…

при

справа ; (2)

	-6	-6,5	-6,9	…
	52	121,5	681,1	…

Значит,

- вертикальная асимптота;

б) при

(и слева и справа) ;

	1,9	2,1

асимптоты нет;

- исключенная точка (т. разрыва). (3)

3) В

; т.к. при , то

; таким образом, прямая - наклонная асимптота.

4) Исследуем на четность: