Метод математической индукции (стр. 2 из 3)
Сравнивая
и 
, имеем 
, т.е. 
.При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому
. Но 
, значит, и 
.Пример 2. Найти ошибку в рассуждении.
Утверждение. При любом натуральном n справедливо неравенство
.Доказательство.
Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.
. (1)Докажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.
.Действительно,
не меньше 2 при любом натуральном k. Прибавим к левой части неравенства (1) , а к правой 2. Получим справедливое неравенство 
, или . Утверждение доказано.Пример 3. Доказать, что
, где 
>-1, 
, n – натуральное число, большее 1.Решение.
При n=2 неравенство справедливо, так как
.Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.
. (1)Покажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.
. (2)Действительно, по условию,
, поэтому справедливо неравенство 
, (3)полученное из неравенства (1) умножением каждой части его на
. Перепишем неравенство (3) так: 
. Отбросив в правой части последнего неравенства положительное слагаемое 
, получим справедливое неравенство (2).Пример 4. Доказать, что
(1)где
, 
, n – натуральное число, большее 1.Решение.
При n=2 неравенство (1) принимает вид
. (2)Так как
, то справедливо неравенство 
. (3)Прибавив к каждой части неравенства (3) по
, получим неравенство (2).Этим доказано, что при n=2 неравенство (1) справедливо.
Пусть неравенство (1) справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.
. (4)Докажем, что тогда неравенство (1) должно быть справедливо и при n=k+1, т.е.
(5)Умножим обе части неравенства (4) на a+b. Так как, по условию,
, то получаем следующее справедливое неравенство: 
. (6)Для того чтобы доказать справедливость неравенства (5), достаточно показать, что
, (7)или, что то же самое,
. (8)Неравенство (8) равносильно неравенству
. (9)Если
, то 
, и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух положительных чисел. Если , то , и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух отрицательных чисел. В обоих случаях неравенство (9) справедливо.Этим доказано, что из справедливости неравенства (1) при n=k следует его справедливость при n=k+1.
Метод математической индукции в решении задач на делимость.
С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел.
Следующее утверждение можно сравнительно просто доказать. Покажем, как оно получается с помощью метода математической индукции.
Пример 1. Если n – натуральное число, то число 
четное.
При n=1 наше утверждение истинно: 
- четное число. Предположим, что 
- четное число. Так как 
, a 2k – четное число, то и 
четное. Итак, четность 
доказана при n=1, из четности выведена четность 
.Значит, четно при всех натуральных значениях n.Пример 2. Доказать истинность предложения
A(n)={число 5
кратно 19}, n – натуральное число.Решение.
Высказывание А(1)={число
кратно 19} истинно.Предположим, что для некоторого значения n=k
А(k)={число
кратно 19} истинно. Тогда, так как 
, очевидно, что и A(k+1) истинно. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, что A(k) истинно; второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19. Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение A(n) истинно при всех значениях n.Доказательство тождеств с помощью метода математической индукции
Доказать , что при всех допустимых значениях xимеет место тождество:
Решение. Надо доказать , что тождество справедливо при всех x , кроме x=0, 1, -1.
При n=1 имеем:
,т.е. при n=1 тождество выполняется.
Предположим , что
Докажем , что тогда
Имеем:
Итак, тождество верно для любого натурального числа n.
Метод математической индукции в применение к другим задачам.
Наиболее естественное применение метода математической индукции в геометрии, близкое к использованию этого метода в теории чисел и в алгебре, - это применение к решению геометрических задач на вычисление. Рассмотрим несколько примеров.