Математический анализ

Числовыефункции

Понятие функцииявляется однимиз основныхв математике.С его помощьювыражают зависимостимежду различнымипеременнымивеличинами. Изучение свойствфункций, основанноена методе пределов,составляетсодержаниематематическогоанализа.

1. Определение

Пусть

-некотороечисловое множество,и пусть каждомуэлементу поставленов соответствиечисло .Тогда говорят,что на множестве определеначисловая функция.Функцию обозначаютнекоторымсимволом, например ,и пишут

. (1)

Множество

называетсяобластьюопределенияфункции , - ее аргументом,а - значениемфункции в точке .Используютсятакже обозначения: для областиопределенияи для множествазначений функции.

Графикомфункции

называетсямножество всехточек координатнойплоскости вида ,где .График даетнаглядноепредставлениео поведениифункции, однакоболее удобнымв теоретическихисследованияхявляетсяаналитическийспособ заданияфункций с помощьюформул. На практикеиспользуюттакже табличныйспособ, когдазначения функцииуказываютсядля отдельныхзначений аргумента.

В качествеобласти определенияфункции могутвыступатьразличныечисловые множества,например:

а) отрезок

;

б) интервал

;

в) полуинтервалы

или ;

г) бесконечныеполуинтервалы

или ;

д) множествовсех действительныхчисел R =

.

Под областьюопределенияфункции, заданнойформулой, понимаютобычно множествовсех значенийаргумента, длякоторых этаформула имеетсмысл.

Примеры.1) Для функции

область определенияи множествозначений

имеютвид:

, ;график функциипредставленна рис. 1.

Рис.1.

2)Для функции

имеем , ;график функцииизображен нарис. 2.

Рис.2.

3) Для функции

имеем: ,

;ее график приведенна рис. 3.

Рис. 3.

2. Основныеэлементарныефункций

Напомним определенияи свойстванекоторыхэлементарныхфункций, известныеиз школьногокурса математики.В каждом случаеукажем аналитическоевыражение иобласть определенияфункции, приведемее график.

а) Линейнаяфункция:

R,

где

и – некоторыепостоянные(числа); график– прямая с угловымкоэффициен-

том

( ,где – угол наклонапрямой к оси ):

Рис.4.

б

)Квадратичнаяфункция:

R,

Рис.5.

где

, , - постоянныекоэффициенты;график – парабола,ее расположениесущественнозависит отвеличины

,

называемойдискриминантомфункции, и отзнака первогокоэффициента

:

в)Обратно пропорциональнаязависимость:

,

где

- постоянная.График – гипербола:

Рис.6.

г)Степеннаяфункция:

,

где

и - постоянные;область определениясущественнозависит от .В п. в) рассмотрен случай ,а в примере 1 -случай .Приведем ещеграфики функцийдля и :

Рис. 7.

е)Показательнаяфункция:

R,

где

- постоянная;график в зависимостиот значения имеет вид:

Рис. 8.

Всеперечисленныездесь функции,а также логарифмическая,тригонометрическиеи обратныетригонометрическиефункции основнымиэлементарнымифункциями.

3. Сложнаяфункция

Пусть заданыфункции

и ,причем множествозначений функции принадлежитобласти определенияфункции : .Тогда можноопределитьсложную функцию

,

называемуютакже композициейфункций

и .

Пример.Из функций

и с помощью указаннойоперации можносоставить двесложные функции: и .

Используяоперацию композиции,можно из основныхэлементарныхфункций, получатьновые функции,также называемыеэлементарными.Вообще, элементарнойфункцией называютфункцию, которуюможно получитьиз основныхэлементарныхфункций с помощьюконечного числаарифметическихопераций икомпозиций.

П

ример.Функция

(читается: “модуль ”)являетсяэлементарной,так как длявсех Rсправедливопредставление .График этойфункции приведенна рис. 9.

Рис. 9.

4. Обратнаяфункция

Рассмотримфункцию

с областьюопределения и множествомзначений .Предположим,что для любого уравнение имеет единственноерешение .Тогда на множестве можно определитьфункцию, сопоставляющуюкаждому такое значение ,что .Эту функциюназывают обратнойдля функции и обозначают :

.

Функцию,у которой существуетобратная функция,назовем обратимой.

Обозначая, какобычно, аргументфункции через

,а значениефункции через ,можно записать

.

Посколькувзаимная перестановкапеременных

и равносильнапереобозначениюкоординатныхосей, можнопоказать, чтографик функции симметриченграфику функции относительнобиссектрисыпервого и третьегокоординатныхуглов (то естьотносительнопрямой ).

Примеры.1) Для линейнойфункции обратная функциятакже линейнаи имеет вид .Меняя местами и ,получаем .Графики исходнойи обратнойфункций приведенына рис. 10.

Рис. 10.

2) Для функции

, ,множествозначений имеетвид .Для каждого уравнение имеет единственноерешение .Поменяв местами и ,получим , .Графики функцийприведены нарис. 11 .

Рис. 11.

Рис. 11.

3) Обратной кпоказательнойфункции

являетсялогарифмическаяфункция .На рис. 12 представленыграфики функций и .

Рис. 12.

Упражнения

1.Найти областиопределенияследующихфункций:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

;

11)

;

12)

;

13)

;

14)

;

15)

;

16)

;

17)

;

18)

;

19)

;

20)

;

21)

;

22)

.

2. Построитьграфики функций:

1)

,

2)

;

3)

;

4)

;

5)

,

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

;

11)

;

12)

;

13)

;

14)

;

15)

.

3.Найти функцииобратные кфункции

,указать ихобласти определенияи построитьграфики:

1)

;

2)

;

3)

,

;

4)

,

;

5)

,

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

.

Ответы

1.

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

R;

6)

R;

7)

;

8);

9)

;

10)

;

11)

;

12)

;

13)

;

14)

R;

15)

;

16)

;

17)

;

18)

;

19)

;

20)

;

21)

;

22)

.

.

3.

1)

,

R;

2)

,

R;

3)

,

;

4)

,

;

5)

,

;

6)

,

;

7)

,

;

8)

;

9)

,

;

10)

,

R.

§2. Предел и непрерывностьфункции

Пределомфункции в точкеназываетсячисло, к которомуприближаютсязначения функциипри приближенииаргумента кэтой точке.Строгое определениепредела даетсясначала дляфункций частноговида – последовательностей,а затем переноситсяна функцииобщего вида.На основе понятияпредела определяютсяважнейшиепонятия математическогоанализа – производнаяи интеграл.

1. Предел последовательности

Последовательностьюназываетсяфункция, определеннаяна множественатуральныхчисел N =

.Значения этойфункции

, N, называютсяэлементамиили членамипоследовательности,число называетсяномером элемента .Для последовательностейиспользуетсяобозначение или более нагляднаязапись .Задать последовательностьможно с помощьюформулы, связывающей и .

Приведем примерыпоследовательностей,указав их различныепредставления:

а)

, или , или ;

б)

, или , или ;

в)

, или , или .

Заметим,что элементыэтих последовательностейведут себяпо-разному сувеличениемномера

:в первом случаеубывают, приближаяськ нулю; во второмслучае неограниченновозрастают;в третьем случаене приближаютсяни к какомуопределенномучислу, принимаяпоочереднозначения и .Для описанияповеденияэлементовпоследовательностипри неограниченномувеличенииn вводитсяпонятие предела.

Число а называетсяпределомпоследовательности

,если для любогоположительногочисла существуеттакой номер ,что для всех выполняетсянеравенство (то есть отличаетсяот менее, чем на ).

Если пределсуществует,то говорят, чтопоследовательностьсходится, ипишут

(читается: “предел равен ”)или при (“ стремится к при ,стремящемсяк бесконечности”).В противномслучае говорят,что последовательностьрасходится.

Примеры. а)Последовательность

сходится,ее предел равеннулю: .Это непосредственноследует изопределенияпредела, посколькупри любом неравенство выполняетсядля всех ,и в качестве можно взятьлюбое натуральноечисло, большее .

б) Аналогичнодоказываетсяболее общееутверждение:

при любом .

Например,

, и т. д.

2. Правилавычисленияпределовпоследовательностей

При вычислениипределовпоследовательностейиспользуютсяследующиеправила:

I. Еслипоследовательности

и сходятся, тосходятся ихсумма, разностьи произведение,причем:

1)

,

2)

,

2. 3)

   ;

если

и ,то сходитсятакже и частное:

4)

.

II. Пределпоследовательности

,где - постоянная,равен этойпостоянной:

.

III.Постоянныймножитель можновыносить зазнак предела:

(следствиеправил I.3 иII).

Применениюуказанныхправил частопредшествуютнекоторыепредварительныепреобразованиявыражения,стоящего подзнаком предела.

Примеры. а)

;

б)

.

3. Бесконечномалые и бесконечнобольшие последовательности

Последовательность

называетсябесконечномалой, если .Это означает,что для любого найдется номер такой, что длявсех выполняетсянеравенство .

Последовательность

называетсябесконечнобольшой, еслидля любогочисла найдется такойномер ,что для всех справедливонеравенство .В этом случаепишут (читается: “предел равен бесконечности”)или при (“ стремится кбесконечностипри ,стремящемсяк бесконечности”).Если при этомвсе элементы положительны,начиная с некоторогономера, то пишут (“предел равен плюсбесконечности”),а если отрицательны- используютзапись (“предел равен минусбесконечности”).

Заметим, чтоесли

,то (при ),то есть последовательность,обратная кбесконечнобольшой, являетсябесконечномалой. Аналогично,если ,то (при ),– последовательность,обратная кбесконечномалой, являетсябесконечнобольшой.

Справедливытакже следующиеутверждения:

сумма и произведениедвух бесконечномалых последовательностейявляются бесконечномалыми последовательностями;

произведениедвух бесконечнобольших последовательностейявляется бесконечнобольшойпоследовательностью;

если оба предела

и равны (или ),то (соответственно ).

Примеры. а)Последовательности

, , , при ,

являютсябесконечномалыми, а обратныек ним последовательности

{

},{ },{ },{ }при ,{ }

– бесконечнобольшими.

б) Последовательности

и бесконечнобольшие, поэтомуих сумма – также бесконечнобольшая. Отсюдаследует, что – бесконечномалая последовательность,поскольку

.

4. Числоe

Рассмотримпоследовательность

.Можно показать,что эта последовательностьсходится; еепредел обозначаетсябуквой :

.

Число

играет важнуюроль в математике(служит основаниемнатуральныхлогарифмов);оно не являетсярациональными приближенноравно

.

Исходяиз определениячисла

,можно получитьболее общуюформулу:

,

справедливуюдля любой постоянной

.

Приведем примерэкономическойзадачи, в которойвозникает число

.Предположим,что в банк помещенасумма под годовых. Тогдачерез год суммавклада составит

,

гдевведено обозначение

.

Предположим,что вклад можноснять по истечениилюбого срокав течение года,и начислениена вклад пропорциональноэтому сроку,т.е. за полгодабудет начислено

,за месяц - ,за один день- .Тогда к концугода можнополучить доходбольший, чем ,действуя следующимобразом. Если,например, всередине годазакрыть счети полученнуюсумму снова положитьв банк на оставшиесяполгода, то вконце годасумма вкладасоставит

.

Еслиповторятьоперациюзакрытия-открытиясчета чаще,например, каждыймесяц, то к концугода будемиметь

,а если каждыйдень, то .Если предположить,что операциязакрытия-открытиясчета производится раз в году черезравные промежуткивремени, то вконце годасумма вкладасоставит ,а если представить,что процентыначисляютсянепрерывно(число операцийзакрытия-открытиясчета неограниченнорастет), то

.

Таким образом,максимальноечисло процентов,на котороегипотетическиможет увеличитьсявклад при даннойсхеме начисления,составляет

.Например, приноминальнойставке 100 % ( максимальнаяэффективнаяставка составит .

5. Пределфункции

Пусть функция

определенана некотороминтервале

,содержащемточку ,за исключениембыть можетсамой этойточки. В дальнейшемлюбой интервал,содержащийнекоторую точку ,будем называтьокрестностьюданной точки.

Число

называетсяпределом функции в точке ,если для любойпоследовательности , ,сходящейсяк ,последовательностьзначений функции сходится к .Обозначения:

или при .

При вычислениипределов функцийиспользуютсяте же правила,что и при вычислениипределовпоследовательностей.В частности,если существуютпределы

и ,то

;

;

;

если, крометого,

(тогда для всех ,достаточноблизких к ),то

.

Примеры.а) Найдем пределфункции

в точке .Для произвольнойпоследовательности такой, что , ,на основаниисвойств пределовпоследовательностейимеем

.

Отсюдапо определениюпредела функцииполучаем

.

б) Найдем пределфункции

в точке ,в которой функцияне определена.Для произвольнойпоследовательности такой, что , ,имеем

.

Отсюдаполучаем

.

6. Пределыв бесконечности.Бесконечныепределы

Данноевыше определениепредела функцииможно распространитьна случаи, когда

или (по отдельностиили вместе)являются нечислами, а символами , или .Так, например,запись

,

где

- число, означает,что для любойбесконечнобольшой последовательности ,стремящейсяк ,последовательность сходится к .Аналогично,запись

,

означает,что для любойпоследовательности

,стремящейсяк ,последовательность стремится к .

Примеры. а)

; б) ; в) ;

г)

.

В качествеболее сложногопримера приведемравенство

,

котороеможно доказать,исходя из определениячисла

.Заметим, чтоэтому равенствуможно придатьвид

.

7. Непрерывностьфункции

Функция

,определеннаяв некоторойокрестноститочки

,называетсянепрерывнойв точке ,если

.

Есливвести обозначения

и ( называетсяприращениемаргумента,а - соответствующимприращениемфункции), тоопределениюнепрерывностиможно придатьвид

.

Такимобразом, непрерывностьозначает, чтомалым приращениямаргументасоответствуютмалые приращенияфункции.

Функция называетсянепрерывнойна множестве

,если она непрерывнав каждой точкеэтого множества.Справедливоследующееутверждение:все основныеэлементарныефункции непрерывнына своих областяхопределения.

Примеры.Следующиефункции непрерывнына указанныхмножествах:

а) функция

непрерывнана R;

б) функция

непрерывнана

;

в) функция

непрерывнадля всех ;

г) функция

непрерывнана .

Упражнения

1.Найти пределыпоследовательностей:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

;

11)

;

12)

;

13)

;

14)

;

15)

;

16)

;

17)

;

18)

;

19)

;

20)

;

21)

;

22)

;

23)

;

24)

.

2. Найтипределы функций:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

;

11)

;

12)

;

13)

;

14)

;

15)

;

16)

;

17)

;

18)

;

19)

;

20)

Ответыи указания крешению

1.

1) 0;

2) 0;

3) 1;

4)

;

5) 0;

6) 0;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

;

11)

;

12)

;

13) 0;

14)

;

15) 0;

16)

;

17)

;представить

в виде произведения

;

18)

;

19)

;

20)

;

21)0; преобразовать

к виду

;

22) 0;

23)

;

24)

.

2.

1) 2;

2) 1;

3) 2;

4) 2;

5) 3;

6) 4;

7)

;

8)

;

9) 2;

10) 0;

11)

;

12)

;

13)

;

14)

;

15) 0;

16) 2;

17)

;

18)

;

19)

;

20)

.

§3. Производнаяи ее применение

Производнаяхарактеризуетскорость измененияфункции приизменении ееаргумента. Онаявляется основныминструментомисследованияфункций вматематическоманализе,в частности,используетсядля отысканияточек экстремума:в этих точкахпроизводнаялибо равнанулю, либо несуществует.Через производнуюопределяетсяпонятие эластичностифункции, применяемоев экономическихприложениях.

1. Определениепроизводнойи правиладифференцирования

Пусть функция

определенав некоторойокрестноститочки .Пусть – приращениеаргументав точке ,а – соответствующееприращениефункции. Составимотношение этих приращенийи рассмотримего предел при .Если указанныйпредел существует,то он называетсяпроизводнойфункции в точке и обозначается , или ,то есть

.

Операция вычисленияпроизводнойназываетсядифференцированием,а функция, имеющаяпроизводнуюв точке, – дифференцируемойв этой точке.Если функцияимеет производнуюв каждой точкеинтервала

,то она называетсядифференцируемойна этом интервале.

Примеры. Найдем производныефункций впроизвольнойточке

:

а)

,

;

б)

,

Заметим, чтона практикепри вычислениипроизводныхредко прибегаютк определению.Вместо этогоиспользуюттаблицу, содержащуювыражения дляпроизводныхвсех основныхэлементарныхфункций, а такжеправила дифференцирования,позволяющиенаходить производнуюсуммы, разности,произведения,частного икомпозициифункций.

Приведем таблицупроизводныхнекоторыхосновных элементарныхфункций и правиладифференцирования.

Таблицапроизводных

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

,

где

,

и

- произвольныепостоянные,

,

.

Примеры.Получим некоторыеследствияформулы 2:

а)

,

б)

;

в)

.

Правиладифференцирования

1. ;

2. ,где
   - постоянная;

3. ;

4. ;

5. если

   ,а
   ,то производнаясложной функции
   находится поформуле

,

гдеиндексы указывают,по какому аргументупроизводитсядифференцирование.

Примеры.Найдем производныефункций, используяправила 1-4:

а)

;

б)

;

в)

;

Примеры.Найдем производныесложных функцийпо правилу 5:

а)

; положим

,тогда

,и, следовательно,

;

б)

;положим

,тогда

,и

.

Заметим, чтопроизводная

,называемаятакже первойпроизводнойфункции

,сама являетсяфункцией аргумента

.Производнаяэтой функцииназываетсявторой производнойфункции

и обозначается

,то есть

.Аналогичноможно ввеститретью и болеевысокие производные.

Примеры.Найдем вторыепроизводные:

а)

;

б)

.

2. Геометрическийи физическийсмысл производной

а) Геометрическийсмысл производной.Рассмотримграфик функции

,дифференцируемойв точке

(рис. 13). Проведемчерез точки

и

графика прямую

,и пусть

- угол ее наклонак оси

.Тогда

. (1)

Рис.13.

Если

стремится кнулю, то

также стремитсяк нулю, и точка

приближаетсяк точке

,а прямая

- к касательной

,образующейс осью

угол

.При этом равенство(1) принимаетвид:

, (2)

откудаследует, чтопроизводнаяфункции в точкеравна тангенсуугла наклонакасательнойк графику функциив этой точке.

Пример.Найдем угол

наклона касательнойк графику функции

в точке

.Поскольку

,то в силу формулы(2) получаем

.Следовательноугол

,то есть касательнаяпараллельнаоси

.

б) Физическийсмысл производной.Если

- время движения,а

- путь, пройденныйза это время,то отношение

есть средняяскорость движенияна отрезке

,а

- мгновеннаяскорость вмомент времени

.

3. Исследованиефункций с помощьюпроизводной

Функция

называетсявозрастающей(убывающей)на интервале

,если для любых

из

следует

(

).

Интервалывозрастанияили убываниямогут бытьнайдены наоснованииследующегоутверждения.

Теорема 1. Если

для всех

,то функция

возрастаетна интервале

;если

для всех

,то функция

убывает наинтервале

.

Точка

называетсяточкой локальногомаксимума(минимума)функции

,если для всех

из некоторойокрестноститочки

,

,выполненонеравенство

(

).Точки максимумаи минимуманазываютсяточками экстремумафункции.

Для отысканияточек экстремумаиспользуютсяследующиетеоремы.

Теорема 2 (необходимоеусловие экстремума).Если функция

имеет экстремумв точке

и дифференцируемав этой точке,то

.

Из этой теоремывытекает, чтов точках экстремумафункции производнаялибо равнанулю, либо несуществует.Такие точкиназываютсякритическими.Экстремумыфункции следуетискать средиее критическихточек.

Теорема 3(достаточноеусловие экстремума).Пусть

- критическаяточка функции

.Если при переходечерез точку

производная

меняет знакс "+" на "–",то в точке

функция

имеет максимум,а если с "–"на "+", то –минимум. Еслипроизводнаяне меняет знакпри переходечерез точку

,то в этой точкеэкстремуманет.

Проводимыйна основесформулированныхтеорем анализповеденияфункций используютпри построенииих графиков.

Примеры. а) Найдем интервалывозрастанияи убыванияфункции

,

и ееэкстремумы.

Производнаярассматриваемойфункции существуетпри любом

и равна

.Приравнявпроизводнуюнулю и решивполученноеквадратноеуравнение,найдем двекритическиеточки:

и

.Ось

разбиваетсяэтими точкамина три интервала:

,

и

,причем на каждомиз них

сохраняетзнак. Определимэти знаки, например,вычислив

в произвольныхточках указанныхинтервалов,получим:

на

и

, и

на

.

Отсюда в силутеорем 1-3 заключаем,что функция

возрастаетна интервалах

и

,убывает наинтервале

,в точке

достигаетмаксимальногозначения

,а в точке

- минимальногозначения

.

б) Пусть

.Тогда

,и единственнойкритическойточкой является

.Так как знакпроизводнойне меняетсяпри переходечерез эту точку,то она не являетсяточкой экстремума.График этойфункции приведенв § 1 на рис. 7.

в) Пусть

,

.Тогда

при всех

.Это означает,что даннаяфункция возрастаетна интервалах(

)и (

).

г) Точка

является критическойточкой функции

- производнаяфункции в этойточке не существует.Функция достигаетв этой точкеминимума, чтоиллюстрируетее график (рис.5).

4. Эластичностьфункции

Пусть аргумент

функции

получает приращение

.Тогда значениефункции изменяетсяна величину

.Отношение

характеризует среднее изменениефункции, приходящеесяна единицуизменения ееаргумента, а предел этогоотношения при

равен производной

.

Рассмотримотносительныеизмененияпеременных

и

,выраженные,например, впроцентах:

и

.Их отношение

показывает,на сколькопроцентов всреднем меняется

при изменении

на

.Предел этогоотношения при

называетсяэластичностьюфункции

и обозначается

,то есть

.

Таккак

,

тосправедливаформула

.

Примеры. а) Пусть

,тогда

и, следовательно,

.При

получаем

,то есть приувеличении

от 2 до 2,02 (на 1%) значение

изменяетсяпримерно на

.

б) Пусть

,тогда

и, следовательно,

.При

получим

.Следовательно,увеличение

от 3 до 3,03 ведетк уменьшению

примерно на

.

в) Пусть

,тогда

и, следовательно,

.В этом случаеэластичностьпостоянна иравна

,то есть прилюбом значенииаргумента егоувеличениена 1% ведет куменьшениюзначения функциитакже на

.

Функция

называетсяэластичнойв точке

,если

,нейтральной,если

,и неэластичной,если

.

Пример. Дана зависимостьспроса

от цены

:

.

Найдемэластичностьспроса

,и рассмотримее значенияпри некоторых

.Так как

,то

.При

имеем

,откуда

,то есть спроснеэластичен.Если

,то

,

,– спрос нейтрален.При

получим

,то есть

и, значит, спросэластичен.

Эластичностьспроса означает,что его относительноеизменение поабсолютнойвеличине превосходитотносительноеизменениецены; неэластичностьозначает меньшееотносительноеизменениеспроса по сравнениюс ценой; нейтральность– равенствоэтих измененийпо абсолютнойвеличине.

Пример.Пусть зависимостьспроса от ценыпредставленафункцией

.Величина

равнавыручке, получаемойот продажитовара в объеме,равном спросуна товар. Выясним,как изменяетсяспрос с увеличениемцены. Для этогонайдем производную

:

,

откуда

.

Будем предполагать,что

,поскольку, какправило, спросуменьшаетсяс ростом цены.В этом случае

и, следовательно,имеем

.

Отсюдавидно, что еслиспрос эластичен(

),то

,и с повышениемцены выручкаот продажитовара снижается;если спроснейтрален (

),то

,и выручкамало зависитот измененияцены; если спроснеэластичен(

),то

,и выручкаувеличиваетсяс ростом цены.

Упражнения

1. Найтипроизводные

функций:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

;

11)

;

12)

;

13)

;

14)

;

15)

;

16)

;

17)

;

18)

;

19)

;

20)

21)

;

22)

;

23)

;

24)

;

25)

;

26)

.

2. Определитьугол наклонакасательнойк графику функции:

1)

при

;

2)

при

;

3)

при

;

1. 4)

   при
   .

3. Найти промежуткивозрастанияи убыванияфункций и ихэкстремумы:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

.

4. Найтиэластичностьфункций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6)

.

5. Длязаданной зависимостиспроса

от цены

найти эластичностьспроса и вычислитьее при заданномзначении

:

1)

; 2)

; 3)

.

6. Длязаданной зависимостиспроса

от цены

найти значенияцены, при которыхвыручка возрастаетс увеличениемцены:

1)

;2)

;3)

.

Ответы и решения

1.

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

;

11)

;

12)

;

13)

;

14)

;

15)

;

16)

;

17)

;

18)

;

19)

;

20)

;

21)

;

22)

;

23)

;

24)

;

25)

;

26)

.

2.

1) Уголнаклона касательной

поскольку

;

2)

;3)

,4)

.

3.

1) При

функция убывает,при

- возрастает;

;

2) Функциявозрастаетпри

и

;убывает при

;

;

;

3) Функцияубывает привсех

;4) Функция возрастаетпри всех

;

5) Функцияубывает при

,возрастаетпри

;

;

6) Функцияубывает привсех

;

7) Функциявозрастаетпри

,убывает при

;

;

8) Функцияубывает при

и

,возрастаетпри

;

,

;

9) Функциявозрастаетпри

,убывает при

;

;

10) Функцияубывает при

,возрастаетпри

;

;

10. 
    

4.

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

.

5.1)

,

;спрос нейтрален; 2)

,

;спрос эластичен; 3)

,

;спрос неэластичен.

6. 1)

;2)

;3) Таких значенийцены нет; выручкане меняетсяс ростом цены.

§4. Неопределенныйинтеграл

К понятиюнеопределенногоинтегралаприводит задачао нахождениифункции по еепроизводной.Эта задачарешается спомощью операцииинтегрирования,обратной поотношению коперациидифференцирования.

1.Определениеинтеграла иправила интегрирования

Пусть для всех

,принадлежащихинтервалу ,выполненоравенство

,

тогдафункция

называетсяпервообразнойфункции на .

Заметим,что первообразнаяфункции

определяетсяне однозначно:вместе с первообразнымиявляются функциивида ,где –произвольнаяпостоянная.Справедливоутверждение:любая первообразнаяфункции представимав виде при некоторомзначении .

Совокупностьвсех первообразныхфункции

называетсяее неопределенным интеграломи обозначаетсясимволом :

;

приэтом

называетсяподынтегральнойфункцией, а - переменнойинтегрирования.Операция нахожденияинтеграланазываетсяинтегрированием.

Пример. а) Изравенства

заключаем, чтофункция являетсяпервообразнойфункции .Следовательно,можно записать

.

б)Аналогично,из равенства

следует

.

В отличие отпроизводнойинтеграл элементарнойфункции можетне быть элементарнойфункцией. Этоотносится,например, кинтеграламот

, , .Однако интегралывсех основныхэлементарныхфункций выражаютсячерез элементарныефункции. Приведемтаблицу некоторыхиз них, получаемуюиз таблицыпроизводных,и правила, покоторым можнонаходить интегралыдругих функций.

Таблицаинтегралов

1)

( ); 2) ;

3)

; 4) .

Правилаинтегрирования

1. ;

2. ,где  -постоянная

Отметим,что приведенныеправила аналогичнысоответствующимправиламдифференцирования.

Примеры. Найдеминтегралы,применяя указанныеправила и таблицу:

а)

;

б)

;

в)

.

2.Замена переменнойв неопределенноминтеграле

В некоторыхслучаях нахождениеинтегралаупрощаетсяпри переходек другой переменнойинтегрирования.При этом еслиисходная иновая переменные

и связаны соотношением ,где - обратимаядифференцируемаяфункция, то дляинтеграловсправедливоравенство

,

в правойчасти которогопосле вычисленияинтеграласледует сделатьобратную замену

.

В частности,используязамену

(или ),получаем формулу

,

позволяющуюобобщить табличныеинтегралы.Например:

( ),

,

,

где

и - произвольныепостоянные, .

Примеры.Найдем интегралы,применяя полученныеформулы:

а)

;

б)

;

в)

;

г)интеграл

найдем, сделавзамену , .Тогда

,

гдеиспользованрезультатпримера в);

д)

.

Упражнения

1. Найтиинтегралы:

1. ;

2. ;

3. 

4. ;

5. ;

6. ;

7. 

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

2. Найтиинтегралы:

1. ;

2. ;

;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

;

;

;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. .

Ответы

1.

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

.

2.

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

;

11)

;

12)

;

13)

;

14)

;

15)

.

§5. Определенныйинтеграл

Определенныйинтеграл функцииравен пределуинтегральныхсумм, сопоставляемыхей по некоторымправилам. Длянепрерывнойнеотрицательнойфункции определенныйинтеграл равенплощади фигуры,заключенноймежду графикомфункции и осью

.При вычисленииопределенногоинтеграла отнепрерывнойна отрезкефункции используетсяформула Ньютона-Лейбница,выражающаяопределенныйинтеграл черезпервообразнуюфункции.

1. Определение

Пусть функция

определенана отрезке .Разобьем отрезокна частей точками ( )такими, что .Длины полученныхотрезков обозначим ( ),и пусть – наибольшаяиз этих длин.Выберем накаждом из отрезковразбиенияпроизвольнуюточку и составимсумму

, (1)

которуюназовем интегральнойсуммой дляфункции

.

Рассмотриминтегральныесуммы, соответствующие разбиениямотрезка

при различныхзначениях .Если существуетпредел такихсумм при ,то он называетсяопределенныминтеграломфункции на отрезке и обозначается

,

приэтом функция

называетсяинтегрируемой(по Риману) наотрезке ,числа и называютсясоответственнонижним и верхнимпределамиинтегрирования.

Заметим,что всякаянепрерывнаяна отрезкефункция интегрируемана этом отрезке.

Пример. Функция

непрерывнана отрезке и, следовательно,интегрируемана нем. Чтобывычислитьинтеграл ,достаточнорассмотретьлюбую последовательностьразбиенийотрезка ,для которой ,и найти пределсоответствующейпоследовательностиинтегральныхсумм. При этомпромежуточныеточки для каждогоразбиения можновыбирать произвольно.Рассмотримравномерныеразбиения вида , ,а в качестве выберем правыеконцы отрезков ,то есть положим , .В этом случаеимеем , ,и интегральнаясумма (1) принимаетвид

.

Переходяк пределу при

,получаем

.

2. Геометрическийсмысл

Пусть функция

непрерывнана отрезке и неотрицательна: .Фигуру, ограниченнуюграфиком функции , вертикальнымипрямыми и и осью ,назовем криволинейнойтрапецией.Рассмотримразбиениеотрезка ,описанное впредыдущемпункте, и соответствующуюинтегральнуюсумму (1). Заметим,что слагаемыев (1) равны площадямпрямоугольниковс основаниями и высотами ( ),а вся суммапредставляетплощадь ступенчатойфигуры, образованнойэтими прямоугольниками,см. Рис. 14. Пределинтегральныхсумм (если онсуществует),то есть определенныйинтеграл, естественнопринять в качествеплощади криволинейнойтрапеции.

Рис. 14.

3. ФормулаНьютона – Лейбница

Если функция

непрерывнана отрезке и - любая ее первообразнаяна этом отрезке,то справедливаосновная формулаинтегральногоисчисления:

,

называемаяформулойНьютона-Лейбница.Используякраткое обозначение

,эту формулуможно записатьв виде

.

Такимобразом, вычислениеопределенногоинтеграла отнепрерывнойфункции сводитсяк отысканиюее первообразной,то есть, по существу,неопределенногоинтеграла, чтопозволяетиспользоватьметоды, изложенныев § 4.

Пример.Найдем интеграл

.Поскольку

,то по формулеНьютона-Лейбницаполучаем

.

Пример.Площадь

криволинейнойтрапеции,ограниченнойграфиком функции ,осью и прямыми и ,равна

.

Упражнения

1.Вычислитьопределенныеинтегралы:

1)

; 6) ;11) ;

2)

; 7) ;12) ;

3)

; 8) ;13) ;

4)

; 9) ;14) .

5)

;10) ;

2.Найти площадифигур, ограниченныхлиниями:

1. 1)

   ,
   ,
   ,
   ;

2. 2)

   ,
   ,
   ,
   ;

3)

, .

Ответы

1. 1) 4; 2)

; 3) ; 4) 1; 5) 0; 6) 2( ); 7) ; 8) 2; 9) 0; 10) ;

11)

; 12) : 13) ; 14) ;

2. 1) 12; 2) 1; 3)

;Графики функций и пересекаютсяв точках с абсциссами .Площадь фигурыможет бытьвычислена какразность двухплощадей: и .

§6. Функциинесколькихпеременных

Функциинесколькихпеременныхвозникают принеобходимостиучета зависимостинекоторойвеличины болеечем от одногофактора. Многиепонятия: предел,непрерывность,производнаяи другие, введенныедля функцийодной переменной,переносятсяна случай функцийнесколькихпеременных.

Мыограничимсяздесь рассмотрениемфункций двухпеременных.Для функцийбольшего числапеременныхуказанныепонятия вводятсяаналогично.

1. Определения

Пусть каждойточке

некоторогомножества плоскостипоставленов соответствиечисло ,тогда говорят,что на множестве задана функциядвух переменных .Используетсятакже запись .

Пример. Вэкономическихприложенияхвстречаютсяпроизводственныефункции,устанавливающиесвязь междузатратамипроизводственныхресурсов иобъемом выпускаемойпродукции.Производственныефункции, какправило, зависятот многих переменных(факторов). Вчастности,рассматриваютсядвухфакторныефункции

,

где

- объем производственныхфондов, -затраты труда, -объем выпускаемойпродукции.Примеромдвухфакторнойфункции являетсяфункция Кобба-Дугласа

,

где

, , - постоянные.

Окрестностьюточки

назовем внутренностьлюбого кругас центром вэтой точке.Пусть функция определенав некоторойокрестноститочки .Зафиксируемзначение и рассмотримфункцию одной переменной .Производнаяфункции в точке (если она существует)называетсячастной производнойфункции в точке по переменной и обозначается .Аналогичноопределяетсячастная производная по переменной .

Производные

и функции называютсячастными производнымипервого порядка.Если они существуютв некоторойокрестноститочки ,то частныепроизводныеот них по и называютсячастнымипроизводнымивторого порядкаи обозначаются , , , ,где, например, , .Производные , называютсясмешаннымичастнымипроизводными.

Аналогичноможно ввестичастные производныетретьего иболее высокихпорядков. Изопределениячастных производныхследует, чтодля их нахожденияможно использоватьвсе правила,справедливыедля производныхфункций однойпеременной.

Примеры. Найдемчастные производныепервого и второгопорядков функций:

а)

,тогда

, ,

, , ;

б)

,тогда

, ,

, , .

Равенствосмешанныхпроизводных,наблюдаемоев приведенныхпримерах, неслучайно. Справедливоследующее общееутверждение.

Теорема. Еслипроизводные

, существуютв некоторойокрестноститочки и непрерывныв этой точке,то справедливоравенство

.

2. Экстремумы

Точка

называетсяточкой локальногомаксимума(минимума)функции ,если для всехточек ( )из некоторойокрестностиэтой точкисправедливонеравенство ( ).Точки локальногомаксимума иминимума называютсяточками экстремумафункции.

Пример.В экономическоманализе применяетсяфункция прибыли

,

где

– производственнаяфункция, – цена выпускаемойпродукции, и – факторныецены. Пара чисел( )называетсяоптимальнымпланом, еслифункция достигаетмаксимума при .Таким образом,поиск оптимальногоплана сводитсяк отысканиюточки экстремума(максимума)функции прибыли .

Следующиетеоремы позволяютнаходить точкиэкстремумафункций.

Теорема (необходимоеусловие экстремума).Если функция

имеет в точкеэкстремума частные производныепервого порядка,то они равнынулю в этойточке:

. (1)

Точки,координатыкоторых удовлетворяютсистеме (1) называютсястационарнымиточками функции

.Точки экстремумафункции следуетискать средиее стационарныхточек и техточек, в которыхчастные производныепервого порядкане существуют.

Теорема (достаточноеусловие экстремума).Пусть функция

имеет непрерывныечастные производныевторого порядкав некоторойокрестностисвоей стационарнойточки .Положим

.

Тогда:

а) если

и ,то - точка максимумафункции;

б) если

и ,то - точка минимумафункции;

в) если

,то в точке экстремуманет.

Пример.Стационарнаяточка

, функции

являетсярешением системыуравнений

, .

При этом

, , и .Следовательно,в точке функция имеетлокальныйминимум.

Пример. Пусть

.Тогда , , , , , ,и, следовательно,стационарнаяточка не являетсяточкой экстремума.

Пример. Дляфункции

из системыуравнений

, ,

найдемчетыре стационарныеточки:

, , , .Поскольку , , ,то

.

В точках

и выполненоусловие ,поэтому функцияимеет экстремумыв этих точках:минимум в ,так как ,и максимум в ,так как .В точках и экстремумовнет, так как в этих точках.

Упражнения

1. Найтичастные производныепервого порядкаследующихфункций:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

.

2. Найтисмешанныепроизводныефункций:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

.

3. Найтистационарныеточки функций:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;.

6)

);

7)

;

8)

;

9)

;

10)

.

4. Найтиточки локальногоэкстремумафункций:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

.

Ответы

1.

1)

,

;

2)

,

;

3)

,

;

4)

,

;

5)

,

;

6)

,

;

7)

;

;

8)

,

;

9)

,

;

10)

,

.

2.

1) 0;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

.

3.

1) (0,1);

2)

;

3) (1,2);

4)

;

5)

и

;

6) стационарныхточек нет;

7)

;

8)

;

9) стационарныхточек нет;

10)

.

4.

1)

- точка минимума;

2)

- точка минимума;

3)

- точка максимума;

4) и 5) функцияне имеет точекэкстремума;

6)

- точка минимума;

7)

- точка минимума;

8)

- точка максимума;

9) функцияне имеет точекэкстремума;

10)

- точка минимума;

- точка максимума.

§ 7. Обыкновенныедифференциальныеуравнения

Математическоеисследованиемногих реальныхпроцессовосновано наприменениидифференциальныхуравнений,содержащихпроизводныеискомых функций.Аппарат дифференциальныхуравненийуниверсален:разнообразныепроцессы могутописыватьсяодинаковымиуравнениями.Практика показывает,что даже простыематематическиемодели, использующиедифференциальныеуравнения,позволяюткачественноизучить основныечерты сложныхявлений и оценитьих количественныехарактеристики.

1. Определения

Порядкомдифференциальногоуравненияназываетсянаибольшийпорядок входящихв него производных.Этот параграфпосвящен обыкновеннымдифференциальнымуравнениямпервого порядка,то есть уравнениямвида

,

где

- заданная функция, - независимаяпеременная, - искомая функция, - ее производная.Уравнения вида

называютсяразрешеннымиотносительнопроизводной.

Функция

называетсярешениемдифференциальногоуравнения, еслипосле ее подстановкиуравнениеобращаетсяв тождество.Процесс нахождениярешений называетсяинтегрированиемуравнения.Решить уравнениезначит найтивсе его решения.

Ниже рассматриваютсятолько уравнения,разрешенныеотносительнопроизводной.В простейшемслучае, когдаправая частьуравнения независит от

,то есть уравнениеимеет вид

,

любое его решениеявляетсяпервообразнойфункции

,а интегрированиеуравнениясводится котысканиюнеопределенногоинтеграла от (см. § 4). Совокупностьвсех решений,то есть общеерешение уравнения,можно представитьформулой

,

где

- произвольнаяпостоянная.При этом в данномпараграфе поднеопределенныминтеграломфункции условимсяпонимать невсе множествоее первообразных,а любую фиксированнуюпервообразную.

Пример. Дляуравнения

,

интегрируя,получим общеерешение

.

В следующемпункте рассматриваетсяодин классуравнений,общее решениекоторых представляетсяв квадратурах,то есть с использованиеминтеграловот известныхфункций.

2. Уравненияс разделяющимисяпеременными

Дифференциальнымуравнениемс разделяющимисяпеременныминазываетсяуравнение вида

, (1)

где

и -заданные функции.

Заметим, чтоесли для некоторогозначения

выполнено ,то функция является решениемуравнения (1).

Рассмотримслучай

.Разделив левуюи правую частиуравнения на ,получим ,откуда следуетсоотношениемежду первообразными ,где - произвольнаяпостоянная.Используяформулу заменыпеременнойв неопределенноминтеграле (см.§ 4), получаемравенство

, (2)

определяющеев неявном видесемействорешений уравнения(1), зависящееот произвольнойпостоянной.

Замечание.Чтобы из бесконечногомножестварешений дифференциальногоуравнениявыделить частноерешение нужнозадать какое-либодополнительноеусловие, например,

, (3)

где

, - некоторыепостоянные.Условие (2) называетсяначальным,а задача отысканиярешения, удовлетворяющеготакому условию,называетсязадачей Коши.

Пример. Найдемобщее решениеуравнения

.

Используя (2),получаем

,то есть ,где - произвольнаяпостоянная.Отсюда находимсемействорешений .Кроме того,имеется решение ,при которомправая частьуравненияобращаетсяв ноль. Все найденныерешения можнопредставитьодной формулой

,

где

- произвольнаяпостоянная.

Пример. Рассмотримуравнение

. (4)

Как и в предыдущемпримере,

является решением.При получаем или ,откуда находимбесконечноесемействорешений

.

Пример. Решимзадачу Коши

, .

Заметим, чтофункция

удовлетворяетуравнению, ноне удовлетворяетначальномуусловию. Пусть ,тогда общеерешение определяетсяиз равенства ,откуда и, следовательно,

.

При

с учетом начальногоусловия получим ,откуда .Таким образом,решением задачиКоши являетсяфункция

.

3.Математическиемодели некоторыхпроцессов

Рассмотримпримеры задач,исследованиекоторых проводитсяс использованиемобыкновенныхдифференциальныхуравнений.

Пример (законроста населенияЗемли). Пусть

- число людейна Земле в моментвремени .Демографическиеданные показывают,что за небольшойинтервал времени прирост населения пропорционаленквадрату числалюдей и интервалувремени:

,

где

- некотораяпостоянная.Разделив левуюи правую частиэтого равенствана и перейдя кпределу при ,получим уравнение

, (5)

где

- дифференцируемаяфункция, приближающаяфункцию .Уравнение (5)аналогичноуравнению (4),рассмотренномувыше. Его общеерешение имеетвид .Заметим, чтоизвестныедемографическиеданные хорошосогласуютсяс частным решением

,

где время

исчисляетсяв годах от началанашей эры. Функция не определенапри ,поэтому законроста населенияв будущем долженизмениться.

Пример (модельпроизводства).Пусть

- интенсивностьвыпуска продукциинекоторымпредприятиемв момент времени ,а - цена продукции.Доход от продажиэтой продукциисоставляет .Пусть частьвырученныхсредств, равная

,(6)

где

- некотороечисло, направляетсяна расширениепроизводства.Предположим,что скоростьизмененияинтенсивностивыпуска продукциипрямо пропорциональнаобъему инвестиций:

, (7)

где

-постоянная.Из (6) и (7) получаемуравнение

, (8)

общее решениекоторого припостоянном

имеет вид ,где .Если заданоначальноеусловие

, (9)

торешением задачиКоши (8), (9) являетсяфункция

.

Уравнение (8)называется уравнениеместественногороста. Им описываютсятакже процессырадиоактивногораспада в физикеи размножениябактерий вбиологии.

На практикес увеличениемвыпуска продукциипроисходитнасыщение рынкаи цена падает.Если, например,

,где и -положительныепостоянные,то вместо (8) получимуравнение

, (10)

аналогичноеуравнению,рассматриваемомув следующемпримере.

Пример (модельрекламы). Пусть

- число людей,знающих к моментувремени некоторуюновость, а -общее числолюдей. Будемпредполагать,что скоростьраспространенияновости прямо пропорциональнакак числу людей ,уже ее знающих,так и числулюдей ,еще не знающихновости, тоесть

, (11)

где

-постоянная.Разделив переменныев этом уравнении,получим

,

откуда, используярезультатпоследнегопримера §4, найдем

или

.

График этойфункции называетсялогистическойкривой. Дляслучая

,соответстщегоусловию, чтов момент половина людейзнает новость( ),эта

кривая представленана рис. 15.

Рис.15.

Рассматриваемоеуравнениеобладает такжерешениями

и ,обращающимив ноль его правуючасть. Эти решениясоответствуютситуациям,когда новостьне распространяется:в первом случаев начальныймомент ее никтоне знает, а вовтором - знаютвсе.

Отметим, чтоуравнения (10)и (11), описывающиесовершенноразные процессы,по существу,совпадают.Уравнения тогоже типа возникаютпри описаниидинамики эпидемий,процессовразмножениябактерий вограниченнойсреде обитания,применяютсяв математическойтеории экологии.

Упражнения

1.Решить уравнения:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

;

11)

;

12)

;

13)

;

14)

;

15)

;

16)

;

17)

;

18)

;

19)

;

20)

;

21)

;

22)

;

23)

;

24)

;

25)

;

26)

.

2.Решить задачиКоши:

1)

,

;

2)

,

;

3)

,

;

4)

,

;

5)

,

;

6)

,

;

7)

,

;

8)

,

;

9)

,

;

10)

,

;

11)

,

;

12)

,

;

13)

,

;

14)

,

;

15)

,

,

16)

,

;

17)

,

;

18)

,

;

19)

,

;

20)

,

.

Ответы

1.

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

;

11)

;

12)

;

13)

;

14)

;

15)

;

16)

;

17)

;

18)

;

19)

;

20)Общее решениенаходится

изуравнения

;

21)

;

22)

;

23)

;

24 )

;

25)

;

26)

.

2.

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

;

11)

;

12)

;

13)

;

14)

;

15)

и

;

16)

;

17)

;

18)

;

19)

;

20)

.