Числовыефункции
Понятие функцииявляется однимиз основныхв математике.С его помощьювыражают зависимостимежду различнымипеременнымивеличинами. Изучение свойствфункций, основанноена методе пределов,составляетсодержаниематематическогоанализа.
- Определение
Пусть

-некотороечисловое множество,и пусть каждомуэлементу

поставленов соответствиечисло

.Тогда говорят,что на множестве

определена
числовая функция.Функцию обозначаютнекоторымсимволом, например

,и пишут

. (1)
Множество

называется
областьюопределенияфункции

,

- ее
аргументом,а

-
значениемфункции в точке

.Используютсятакже обозначения:

для областиопределенияи

для множествазначений функции.
Графикомфункции

называетсямножество всехточек координатнойплоскости вида

,где

.График даетнаглядноепредставлениео поведениифункции, однакоболее удобнымв теоретическихисследованияхявляетсяаналитическийспособ заданияфункций с помощьюформул. На практикеиспользуюттакже табличныйспособ, когдазначения функцииуказываютсядля отдельныхзначений аргумента.
В качествеобласти определенияфункции могутвыступатьразличныечисловые множества,например:
а) отрезок

;
б) интервал

;
в) полуинтервалы

или

;
г) бесконечныеполуинтервалы

или

;
д) множествовсех действительныхчисел R =

.
Под областьюопределенияфункции, заданнойформулой, понимаютобычно множествовсех значенийаргумента, длякоторых этаформула имеетсмысл.
Примеры.1) Для функции

область определенияи множествозначений
имеютвид:

,

;график функциипредставленна рис. 1.

Рис.1.
2)Для функции

имеем

,

;график функцииизображен нарис. 2.

Рис.2.
3) Для функции

имеем:

,

;ее график приведенна рис. 3.

Рис. 3.
- Основныеэлементарныефункций
Напомним определенияи свойстванекоторыхэлементарныхфункций, известныеиз школьногокурса математики.В каждом случаеукажем аналитическоевыражение иобласть определенияфункции, приведемее график.
а) Линейнаяфункция:
R,
где

и

– некоторыепостоянные(числа); график– прямая с угловымкоэффициен-
том

(

,где

– угол наклонапрямой к оси

):

Рис.4.
б

)
Квадратичнаяфункция:
R,
Рис.5.
где

,

,

- постоянныекоэффициенты;график –
парабола,ее расположениесущественнозависит отвеличины

,
называемойдискриминантомфункции, и отзнака первогокоэффициента

:
в)Обратно пропорциональнаязависимость:

,
где

- постоянная.График –
гипербола:

Рис.6.
г)Степеннаяфункция:

,
где

и

- постоянные;область определениясущественнозависит от

.В п. в) рассмотрен случай

,а в примере 1 -случай

.Приведем ещеграфики функцийдля

и

:

Рис. 7.
е)Показательнаяфункция:
R,
где

- постоянная;график в зависимостиот значения

имеет вид:

Рис. 8.
Всеперечисленныездесь функции,а также логарифмическая,тригонометрическиеи обратныетригонометрическиефункции основнымиэлементарнымифункциями.
- Сложнаяфункция
Пусть заданыфункции

и

,причем множествозначений функции

принадлежитобласти определенияфункции

:

.Тогда можноопределить
сложную функцию 
,
называемуютакже композициейфункций

и

.
Пример.Из функций

и

с помощью указаннойоперации можносоставить двесложные функции:

и

.
Используяоперацию композиции,можно из основныхэлементарныхфункций, получатьновые функции,также называемыеэлементарными.Вообще, элементарнойфункцией называютфункцию, которуюможно получитьиз основныхэлементарныхфункций с помощьюконечного числаарифметическихопераций икомпозиций.
П

ример.Функция 
(читается: “
модуль 
”)являетсяэлементарной,так как длявсех
Rсправедливопредставление

.График этойфункции приведенна рис. 9.
Рис. 9.
4. Обратнаяфункция
Рассмотримфункцию

с областьюопределения

и множествомзначений

.Предположим,что для любого

уравнение

имеет единственноерешение

.Тогда на множестве

можно определитьфункцию, сопоставляющуюкаждому

такое значение

,что

.Эту функциюназывают
обратнойдля функции

и обозначают

:

.
Функцию,у которой существуетобратная функция,назовем обратимой.
Обозначая, какобычно, аргументфункции через

,а значениефункции через

,можно записать

.
Посколькувзаимная перестановкапеременных

и

равносильнапереобозначениюкоординатныхосей, можнопоказать, чтографик функции

симметриченграфику функции

относительнобиссектрисыпервого и третьегокоординатныхуглов (то естьотносительнопрямой

).
Примеры.1) Для линейнойфункции

обратная функциятакже линейнаи имеет вид

.Меняя местами

и

,получаем

.Графики исходнойи обратнойфункций приведенына рис. 10.
Рис. 10.
2) Для функции

,

,множествозначений имеетвид

.Для каждого

уравнение

имеет единственноерешение

.Поменяв местами

и

,получим

,

.Графики функцийприведены нарис. 11 .
Рис. 11.

Рис. 11.
3) Обратной кпоказательнойфункции

являетсялогарифмическаяфункция

.На рис. 12 представленыграфики функций

и

.

Рис. 12.
Упражнения
1.Найти областиопределенияследующихфункций:
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
;10)
;11)
;12)
;13)
;14)
;15)
;16)
;17)
;18)
;19)
;20)
;21)
;22)
. 2. Построитьграфики функций:
1)
,2)
;3)
;4)
;5)
,6)
;7)
;8)
;9)
;10)
;11)
;12)
;13)
;14)
;15)
. 3.Найти функцииобратные кфункции

,указать ихобласти определенияи построитьграфики:
1)
;2)
;3)
,
;4)
,
;5)
,
;6)
;7)
;8)
;9)
;10)
. 1)
;2)
;3)
;4)
;5)
R;6)
R;7)
;8);

9)
;10)
;11)
;12)
;13)
;14)
R; 15)
;16)
;17)
;18)
;19)
;20)
;21)
;22)
..
1)
,
R;2)
,
R;3)
,
;4)
,
;5)
,
;6)
,
;7)
,
;8)
;9)
,
;10)
,
R.
§2. Предел и непрерывностьфункции
Пределомфункции в точкеназываетсячисло, к которомуприближаютсязначения функциипри приближенииаргумента кэтой точке.Строгое определениепредела даетсясначала дляфункций частноговида – последовательностей,а затем переноситсяна функцииобщего вида.На основе понятияпредела определяютсяважнейшиепонятия математическогоанализа – производнаяи интеграл.
- Предел последовательности
Последовательностьюназываетсяфункция, определеннаяна множественатуральныхчисел N =
.Значения этойфункции 
,
N, называются
элементамиили
членамипоследовательности,число

называется
номером элемента

.Для последовательностейиспользуетсяобозначение

или более нагляднаязапись

.Задать последовательностьможно с помощьюформулы, связывающей

и

.
Приведем примерыпоследовательностей,указав их различныепредставления:
а)

, или

, или

;
б)

, или

, или

;
в)

, или

, или

.
Заметим,что элементыэтих последовательностейведут себяпо-разному сувеличениемномера

:в первом случаеубывают, приближаяськ нулю; во второмслучае неограниченновозрастают;в третьем случаене приближаютсяни к какомуопределенномучислу, принимаяпоочереднозначения

и

.Для описанияповеденияэлементовпоследовательностипри неограниченномувеличении
n вводитсяпонятие предела.
Число а называетсяпределомпоследовательности

,если для любогоположительногочисла

существуеттакой номер

,что для всех

выполняетсянеравенство

(то есть

отличаетсяот

менее, чем на

).
Если пределсуществует,то говорят, чтопоследовательностьсходится, ипишут

(читается: “предел

равен

”)или

при

(“

стремится к

при

,стремящемсяк бесконечности”).В противномслучае говорят,что последовательность
расходится.
Примеры. а)Последовательность

сходится,ее предел равеннулю:

.Это непосредственноследует изопределенияпредела, посколькупри любом

неравенство

выполняетсядля всех

,и в качестве

можно взятьлюбое натуральноечисло, большее

.
б) Аналогичнодоказываетсяболее общееутверждение:

при любом

.
Например,

,

и т. д.
- Правилавычисленияпределовпоследовательностей
При вычислениипределовпоследовательностейиспользуютсяследующиеправила:
I. Еслипоследовательности

и

сходятся, тосходятся ихсумма, разностьи произведение,причем:
1)

,
2)

,
-
3)
;
если

и

,то сходитсятакже и частное:
4)

.
II. Пределпоследовательности

,где

- постоянная,равен этойпостоянной:

.
III.Постоянныймножитель можновыносить зазнак предела:

(следствиеправил I.3 иII).
Применениюуказанныхправил частопредшествуютнекоторыепредварительныепреобразованиявыражения,стоящего подзнаком предела.
Примеры. а)

;
б)

.
- Бесконечномалые и бесконечнобольшие последовательности
Последовательность

называется
бесконечномалой, если

.Это означает,что для любого

найдется номер

такой, что длявсех

выполняетсянеравенство

.
Последовательность

называется
бесконечнобольшой, еслидля любогочисла

найдется такойномер

,что для всех

справедливонеравенство

.В этом случаепишут

(читается: “предел

равен бесконечности”)или

при

(“

стремится кбесконечностипри

,стремящемсяк бесконечности”).Если при этомвсе элементы

положительны,начиная с некоторогономера, то пишут

(“предел

равен плюсбесконечности”),а если отрицательны- используютзапись

(“предел

равен минусбесконечности”).
Заметим, чтоесли

,то

(при

),то есть последовательность,обратная кбесконечнобольшой, являетсябесконечномалой. Аналогично,если

,то

(при

),– последовательность,обратная кбесконечномалой, являетсябесконечнобольшой.
Справедливытакже следующиеутверждения:
сумма и произведениедвух бесконечномалых последовательностейявляются бесконечномалыми последовательностями;
произведениедвух бесконечнобольших последовательностейявляется бесконечнобольшойпоследовательностью;
если оба предела

и

равны

(или

),то

(соответственно

).
Примеры. а)Последовательности

,

,

,

при

,

являютсябесконечномалыми, а обратныек ним последовательности
{

},{

},{

},{

}при

,{

}
– бесконечнобольшими.
б) Последовательности

и

бесконечнобольшие, поэтомуих сумма

– также бесконечнобольшая. Отсюдаследует, что

– бесконечномалая последовательность,поскольку

.
- Числоe
Рассмотримпоследовательность

.Можно показать,что эта последовательностьсходится; еепредел обозначаетсябуквой

:

.
Число

играет важнуюроль в математике(служит основаниемнатуральныхлогарифмов);оно не являетсярациональными приближенноравно

.
Исходяиз определениячисла

,можно получитьболее общуюформулу:

,
справедливуюдля любой постоянной

.
Приведем примерэкономическойзадачи, в которойвозникает число

.Предположим,что в банк помещенасумма

под

годовых. Тогдачерез год суммавклада составит

,
гдевведено обозначение

.
Предположим,что вклад можноснять по истечениилюбого срокав течение года,и начислениена вклад пропорциональноэтому сроку,т.е. за полгодабудет начислено

,за месяц -

,за один день-

.Тогда к концугода можнополучить доходбольший, чем

,действуя следующимобразом. Если,например, всередине годазакрыть счети полученнуюсумму

снова положитьв банк на оставшиесяполгода, то вконце годасумма вкладасоставит

.
Еслиповторятьоперациюзакрытия-открытиясчета чаще,например, каждыймесяц, то к концугода будемиметь

,а если каждыйдень, то

.Если предположить,что операциязакрытия-открытиясчета производится

раз в году черезравные промежуткивремени, то вконце годасумма вкладасоставит

,а если представить,что процентыначисляютсянепрерывно(число операцийзакрытия-открытиясчета неограниченнорастет), то

.
Таким образом,максимальноечисло процентов,на котороегипотетическиможет увеличитьсявклад при даннойсхеме начисления,составляет

.Например, приноминальнойставке 100 % (

максимальнаяэффективнаяставка составит

.
- Пределфункции
Пусть функция
определенана некотороминтервале 
,содержащемточку

,за исключениембыть можетсамой этойточки. В дальнейшемлюбой интервал,содержащийнекоторую точку

,будем называть
окрестностьюданной точки.
Число

называется
пределом функции
в точке 
,если для любойпоследовательности

,

,сходящейсяк

,последовательностьзначений функции

сходится к

.Обозначения:

или

при

.
При вычислениипределов функцийиспользуютсяте же правила,что и при вычислениипределовпоследовательностей.В частности,если существуютпределы

и

,то

;

;

;
если, крометого,

(тогда

для всех

,достаточноблизких к

),то

.
Примеры.а) Найдем пределфункции

в точке

.Для произвольнойпоследовательности

такой, что

,

,на основаниисвойств пределовпоследовательностейимеем

.
Отсюдапо определениюпредела функцииполучаем

.
б) Найдем пределфункции

в точке

,в которой функцияне определена.Для произвольнойпоследовательности

такой, что

,

,имеем

.
Отсюдаполучаем

.
- Пределыв бесконечности.Бесконечныепределы
Данноевыше определениепредела функцииможно распространитьна случаи, когда

или

(по отдельностиили вместе)являются нечислами, а символами

,

или

.Так, например,запись

,
где

- число, означает,что для любойбесконечнобольшой последовательности

,стремящейсяк

,последовательность

сходится к

.Аналогично,запись

,
означает,что для любойпоследовательности

,стремящейсяк

,последовательность

стремится к

.
Примеры. а)

; б)

; в)

;
г)

.
В качествеболее сложногопримера приведемравенство

,
котороеможно доказать,исходя из определениячисла

.Заметим, чтоэтому равенствуможно придатьвид

.
- Непрерывностьфункции
Функция
,определеннаяв некоторойокрестноститочки 
,называется
непрерывнойв точке 
,если

.
Есливвести обозначения

и

(

называется
приращениемаргумента,а

-
соответствующимприращениемфункции), тоопределениюнепрерывностиможно придатьвид

.
Такимобразом, непрерывностьозначает, чтомалым приращениямаргументасоответствуютмалые приращенияфункции.
Функция называетсянепрерывнойна множестве

,если она непрерывнав каждой точкеэтого множества.Справедливоследующееутверждение:
все основныеэлементарныефункции непрерывнына своих областяхопределения.
Примеры.Следующиефункции непрерывнына указанныхмножествах:
а) функция

непрерывнана
R;
б) функция

непрерывнана

;
в) функция

непрерывнадля всех

;
г) функция

непрерывнана

.
Упражнения
1.Найти пределыпоследовательностей:
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
;10)
;11)
;12)
;13)
;14)
;15)
;16)
;17)
;18)
;19)
;20)
;21)
;22)
;23)
;24)
. 1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
;10)
;11)
;12)
;13)
;14)
;15)
;16)
;17)
;18)
;19)
;20)

Ответыи указания крешению
1.
1) 0;
2) 0;
3) 1;
4)
;5) 0;
6) 0;
7)
;8)
;9)
;10)
;11)
;12)
;13) 0;
14)
;15) 0;
16)
;17)
;представить
в виде произведения
;18)
;19)
;20)
;21)0; преобразовать
к виду
;22) 0;
23)
;24)
. 1) 2;
2) 1;
3) 2;
4) 2;
5) 3;
6) 4;
7)
;8)
;9) 2;
10) 0;
11)
;12)
;13)
;14)
;15) 0;
16) 2;
17)
;18)
;19)
;20)
.
§3. Производнаяи ее применение
Производнаяхарактеризуетскорость измененияфункции приизменении ееаргумента. Онаявляется основныминструментомисследованияфункций вматематическоманализе,в частности,используетсядля отысканияточек экстремума:в этих точкахпроизводнаялибо равнанулю, либо несуществует.Через производнуюопределяетсяпонятие эластичностифункции, применяемоев экономическихприложениях.
1. Определениепроизводнойи правиладифференцирования
Пусть функция

определенав некоторойокрестноститочки

.Пусть

– приращениеаргументав точке

,а

– соответствующееприращениефункции. Составимотношение

этих приращенийи рассмотримего предел при

.Если указанныйпредел существует,то он называется
производнойфункции
в точке 
и обозначается

,

или

,то есть

.
Операция вычисленияпроизводнойназываетсядифференцированием,а функция, имеющаяпроизводнуюв точке, – дифференцируемойв этой точке.Если функцияимеет производнуюв каждой точкеинтервала

,то она называется
дифференцируемойна этом интервале.
Примеры. Найдем производныефункций впроизвольнойточке

:
а)

,

;
б)

,

Заметим, чтона практикепри вычислениипроизводныхредко прибегаютк определению.Вместо этогоиспользуюттаблицу, содержащуювыражения дляпроизводныхвсех основныхэлементарныхфункций, а такжеправила дифференцирования,позволяющиенаходить производнуюсуммы, разности,произведения,частного икомпозициифункций.
Приведем таблицупроизводныхнекоторыхосновных элементарныхфункций и правиладифференцирования.
Таблицапроизводных
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
, где

,

и

- произвольныепостоянные,

,

.
Примеры.Получим некоторыеследствияформулы 2:
а)

,
б)

;
в)

.
Правиладифференцирования
-
; -
,где
- постоянная; -
; -
;
-
если
,а
,то производнаясложной функции
находится поформуле

,
гдеиндексы указывают,по какому аргументупроизводитсядифференцирование.
Примеры.Найдем производныефункций, используяправила 1-4:
а)

;
б)

;
в)

;
Примеры.Найдем производныесложных функцийпо правилу 5:
а)

; положим

,тогда

,и, следовательно,

;
б)

;положим

,тогда

,и

.
Заметим, чтопроизводная

,называемаятакже
первойпроизводнойфункции

,сама являетсяфункцией аргумента

.Производнаяэтой функцииназывается
второй производнойфункции

и обозначается

,то есть

.Аналогичноможно ввеститретью и болеевысокие производные.
Примеры.Найдем вторыепроизводные:
а)

;
б)

.
2. Геометрическийи физическийсмысл производной
а) Геометрическийсмысл производной.Рассмотримграфик функции

,дифференцируемойв точке

(рис. 13). Проведемчерез точки

и

графика прямую

,и пусть

- угол ее наклонак оси

.Тогда

. (1)

Рис.13.
Если

стремится кнулю, то

также стремитсяк нулю, и точка

приближаетсяк точке

,а прямая

- к касательной

,образующейс осью

угол

.При этом равенство(1) принимаетвид:

, (2)
откудаследует, чтопроизводнаяфункции в точкеравна тангенсуугла наклонакасательнойк графику функциив этой точке.
Пример.Найдем угол

наклона касательнойк графику функции

в точке

.Поскольку

,то в силу формулы(2) получаем

.Следовательноугол

,то есть касательнаяпараллельнаоси

.
б) Физическийсмысл производной.Если

- время движения,а

- путь, пройденныйза это время,то отношение

есть средняяскорость движенияна отрезке

,а

- мгновеннаяскорость вмомент времени

.
3. Исследованиефункций с помощьюпроизводной
Функция

называется
возрастающей(
убывающей)
на интервале

,если для любых

из

следует

(

).
Интервалывозрастанияили убываниямогут бытьнайдены наоснованииследующегоутверждения.

Теорема 1. Если

для всех

,то функция

возрастаетна интервале

;если

для всех

,то функция

убывает наинтервале

.

Точка

называетсяточкой
локальногомаксимума(
минимума)функции

,если для всех

из некоторойокрестноститочки

,

,выполненонеравенство

(

).Точки максимумаи минимуманазываютсяточками
экстремумафункции.
Для отысканияточек экстремумаиспользуютсяследующиетеоремы.

Теорема 2 (необходимоеусловие экстремума).Если функция

имеет экстремумв точке

и дифференцируемав этой точке,то

.
Из этой теоремывытекает, чтов точках экстремумафункции производнаялибо равнанулю, либо несуществует.Такие точкиназываютсякритическими.Экстремумыфункции следуетискать средиее критическихточек.

Теорема 3(достаточноеусловие экстремума).Пусть

- критическаяточка функции

.Если при переходечерез точку

производная

меняет знакс "+" на "–",то в точке

функция

имеет максимум,а если с "–"на "+", то –минимум. Еслипроизводнаяне меняет знакпри переходечерез точку

,то в этой точкеэкстремуманет.
Проводимыйна основесформулированныхтеорем анализповеденияфункций используютпри построенииих графиков.
Примеры. а) Найдем интервалывозрастанияи убыванияфункции

,
и ееэкстремумы.
Производнаярассматриваемойфункции существуетпри любом

и равна

.Приравнявпроизводнуюнулю и решивполученноеквадратноеуравнение,найдем двекритическиеточки:

и

.Ось

разбиваетсяэтими точкамина три интервала:

,

и

,причем на каждомиз них

сохраняетзнак. Определимэти знаки, например,вычислив

в произвольныхточках указанныхинтервалов,получим:

на

и

, и

на

.
Отсюда в силутеорем 1-3 заключаем,что функция

возрастаетна интервалах

и

,убывает наинтервале

,в точке

достигаетмаксимальногозначения

,а в точке

- минимальногозначения

.
б) Пусть

.Тогда

,и единственнойкритическойточкой является

.Так как знакпроизводнойне меняетсяпри переходечерез эту точку,то она не являетсяточкой экстремума.График этойфункции приведенв § 1 на рис. 7.
в) Пусть

,

.Тогда

при всех

.Это означает,что даннаяфункция возрастаетна интервалах(

)и (

).
г) Точка

является критическойточкой функции

- производнаяфункции в этойточке не существует.Функция достигаетв этой точкеминимума, чтоиллюстрируетее график (рис.5).
4. Эластичностьфункции

Пусть аргумент

функции

получает приращение

.Тогда значениефункции изменяетсяна величину

.Отношение

характеризует среднее изменениефункции, приходящеесяна единицуизменения ееаргумента, а предел этогоотношения при

равен производной

.
Рассмотримотносительныеизмененияпеременных

и

,выраженные,например, впроцентах:

и

.Их отношение

показывает,на сколькопроцентов всреднем меняется

при изменении

на

.Предел этогоотношения при

называется
эластичностьюфункции

и обозначается

,то есть

.
Таккак

,
тосправедливаформула

.
Примеры. а) Пусть

,тогда

и, следовательно,

.При

получаем

,то есть приувеличении

от 2 до 2,02 (на 1%) значение

изменяетсяпримерно на

.
б) Пусть

,тогда

и, следовательно,

.При

получим

.Следовательно,увеличение

от 3 до 3,03 ведетк уменьшению

примерно на

.
в) Пусть

,тогда

и, следовательно,

.В этом случаеэластичностьпостоянна иравна

,то есть прилюбом значенииаргумента егоувеличениена 1% ведет куменьшениюзначения функциитакже на

.
Функция

называется
эластичнойв точке 
,если

,
нейтральной,если

,и
неэластичной,если

.
Пример. Дана зависимостьспроса

от цены

:

.
Найдемэластичностьспроса

,и рассмотримее значенияпри некоторых

.Так как

,то

.При

имеем

,откуда

,то есть спроснеэластичен.Если

,то

,

,– спрос нейтрален.При

получим

,то есть

и, значит, спросэластичен.
Эластичностьспроса означает,что его относительноеизменение поабсолютнойвеличине превосходитотносительноеизменениецены; неэластичностьозначает меньшееотносительноеизменениеспроса по сравнениюс ценой; нейтральность– равенствоэтих измененийпо абсолютнойвеличине.
Пример.Пусть зависимостьспроса от ценыпредставленафункцией

.Величина

равнавыручке, получаемойот продажитовара в объеме,равном спросуна товар. Выясним,как изменяетсяспрос с увеличениемцены. Для этогонайдем производную

:

,
откуда

.
Будем предполагать,что

,поскольку, какправило, спросуменьшаетсяс ростом цены.В этом случае

и, следовательно,имеем

.
Отсюдавидно, что еслиспрос эластичен(

),то

,и с повышениемцены выручкаот продажитовара снижается;если спроснейтрален (

),то

,и выручкамало зависитот измененияцены; если спроснеэластичен(

),то

,и выручкаувеличиваетсяс ростом цены.
Упражнения
1. Найтипроизводные

функций:
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
;10)
;11)
;12)
;13)
;14)
;15)
;16)
;17)
;18)
;
19)
;20)

21)
;22)
;23)
;24)
;25)
;26)
.2. Определитьугол наклонакасательнойк графику функции:
1)
при
;2)
при
;3)
при
;-
4)
при
.
3. Найти промежуткивозрастанияи убыванияфункций и ихэкстремумы:
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
;10)
. 4. Найтиэластичностьфункций:
-
; -
; -
; -
; -
;
6)
. 5. Длязаданной зависимостиспроса

от цены

найти эластичностьспроса и вычислитьее при заданномзначении

:
1)

; 2)

; 3)

.
6. Длязаданной зависимостиспроса

от цены

найти значенияцены, при которыхвыручка возрастаетс увеличениемцены:
1)

;2)

;3)

.
Ответы и решения
1.
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
;10)
;11)
;12)
;13)
;14)
;15)
;16)
;17)
;18)
;19)
;20)
;21)
;22)
;23)
;24)
;25)
;26)
. 2.
1) Уголнаклона касательной

поскольку

;
2)

;3)

,4)

.
3.
1) При

функция убывает,при

- возрастает;

;
2) Функциявозрастаетпри

и

;убывает при

;

;

;
3) Функцияубывает привсех

;4) Функция возрастаетпри всех

;
5) Функцияубывает при

,возрастаетпри

;

;
6) Функцияубывает привсех

;
7) Функциявозрастаетпри

,убывает при

;

;
8) Функцияубывает при

и

,возрастаетпри

;

,

;
9) Функциявозрастаетпри

,убывает при

;

;
10) Функцияубывает при

,возрастаетпри

;

;
4.
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
. 5.1)

,

;спрос нейтрален; 2)

,

;спрос эластичен; 3)

,

;спрос неэластичен.
6. 1)

;2)

;3) Таких значенийцены нет; выручкане меняетсяс ростом цены.
§4. Неопределенныйинтеграл
К понятиюнеопределенногоинтегралаприводит задачао нахождениифункции по еепроизводной.Эта задачарешается спомощью операцииинтегрирования,обратной поотношению коперациидифференцирования.
1.Определениеинтеграла иправила интегрирования
Пусть для всех

,принадлежащихинтервалу

,выполненоравенство

,
тогдафункция

называется
первообразнойфункции

на

.
Заметим,что первообразнаяфункции

определяетсяне однозначно:вместе с

первообразнымиявляются функциивида

,где

–произвольнаяпостоянная.Справедливоутверждение:любая первообразнаяфункции представимав виде

при некоторомзначении

.
Совокупностьвсех первообразныхфункции

называетсяее
неопределенным интеграломи обозначаетсясимволом

:

;
приэтом

называется
подынтегральнойфункцией, а

-
переменнойинтегрирования.Операция нахожденияинтеграланазывается
интегрированием.
Пример. а) Изравенства

заключаем, чтофункция

являетсяпервообразнойфункции

.Следовательно,можно записать

.
б)Аналогично,из равенства

следует

.
В отличие отпроизводнойинтеграл элементарнойфункции можетне быть элементарнойфункцией. Этоотносится,например, кинтеграламот

,

,

.Однако интегралывсех
основныхэлементарныхфункций выражаютсячерез элементарныефункции. Приведемтаблицу некоторыхиз них, получаемуюиз таблицыпроизводных,и правила, покоторым можнонаходить интегралыдругих функций.
Таблицаинтегралов
1)

(

); 2)

;
3)

; 4)

.
Правилаинтегрирования
-
; -
,где -постоянная
Отметим,что приведенныеправила аналогичнысоответствующимправиламдифференцирования.
Примеры. Найдеминтегралы,применяя указанныеправила и таблицу:
а)

;
б)

;
в)

.
2.Замена переменнойв неопределенноминтеграле
В некоторыхслучаях нахождениеинтегралаупрощаетсяпри переходек другой переменнойинтегрирования.При этом еслиисходная иновая переменные

и

связаны соотношением

,где

- обратимаядифференцируемаяфункция, то дляинтеграловсправедливоравенство

,
в правойчасти которогопосле вычисленияинтеграласледует сделатьобратную замену

.
В частности,используязамену

(или

),получаем формулу

,
позволяющуюобобщить табличныеинтегралы.Например:

(

),

,

,
где

и

- произвольныепостоянные,

.
Примеры.Найдем интегралы,применяя полученныеформулы:
а)

;
б)

;
в)

;
г)интеграл

найдем, сделавзамену

,

.Тогда

,
гдеиспользованрезультатпримера в);
д)

.
Упражнения
1. Найтиинтегралы:
-
; -
; -
-
; -
; -
; -
-
; -
; -
; -
; -
.
-
; -
;
; -
; -
; -
; -
;
;
;
; -
; -
; -
; -
; -
; -
; -
; -
.
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
.
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
;10)
;11)
;12)
;13)
;14)
;15)
.
§5. Определенныйинтеграл
Определенныйинтеграл функцииравен пределуинтегральныхсумм, сопоставляемыхей по некоторымправилам. Длянепрерывнойнеотрицательнойфункции определенныйинтеграл равенплощади фигуры,заключенноймежду графикомфункции и осью

.При вычисленииопределенногоинтеграла отнепрерывнойна отрезкефункции используетсяформула Ньютона-Лейбница,выражающаяопределенныйинтеграл черезпервообразнуюфункции.
1. Определение
Пусть функция

определенана отрезке

.Разобьем отрезокна

частей точками

(

)такими, что

.Длины полученныхотрезков обозначим

(

),и пусть

– наибольшаяиз этих длин.Выберем накаждом из отрезковразбиенияпроизвольнуюточку

и составимсумму

, (1)
которуюназовем интегральнойсуммой дляфункции

.
Рассмотриминтегральныесуммы, соответствующие разбиениямотрезка

при различныхзначениях

.Если существуетпредел такихсумм при

,то он называется
определенныминтеграломфункции

на отрезке

и обозначается

,
приэтом функция

называется
интегрируемой(
по Риману) наотрезке

,числа

и

называютсясоответственно
нижним и
верхнимпределамиинтегрирования.
Заметим,что всякаянепрерывнаяна отрезкефункция интегрируемана этом отрезке.
Пример. Функция

непрерывнана отрезке

и, следовательно,интегрируемана нем. Чтобывычислитьинтеграл

,достаточнорассмотретьлюбую последовательностьразбиенийотрезка

,для которой

,и найти пределсоответствующейпоследовательностиинтегральныхсумм. При этомпромежуточныеточки

для каждогоразбиения можновыбирать произвольно.Рассмотримравномерныеразбиения вида

,

,а в качестве

выберем правыеконцы отрезков

,то есть положим

,

.В этом случаеимеем

,

,и интегральнаясумма (1) принимаетвид

.
Переходяк пределу при

,получаем

.
2. Геометрическийсмысл
Пусть функция

непрерывнана отрезке

и неотрицательна:

.Фигуру, ограниченнуюграфиком функции

, вертикальнымипрямыми

и

и осью

,назовем
криволинейнойтрапецией.Рассмотримразбиениеотрезка

,описанное впредыдущемпункте, и соответствующуюинтегральнуюсумму (1). Заметим,что слагаемыев (1) равны площадямпрямоугольниковс основаниями

и высотами

(

),а вся суммапредставляетплощадь ступенчатойфигуры, образованнойэтими прямоугольниками,см. Рис. 14. Пределинтегральныхсумм (если онсуществует),то есть определенныйинтеграл, естественнопринять в качестве
площади криволинейнойтрапеции.

Рис. 14.
3. ФормулаНьютона – Лейбница
Если функция

непрерывнана отрезке

и

- любая ее первообразнаяна этом отрезке,то справедлива
основная формулаинтегральногоисчисления:

,
называемаяформулойНьютона-Лейбница.Используякраткое обозначение

,эту формулуможно записатьв виде

.
Такимобразом, вычислениеопределенногоинтеграла отнепрерывнойфункции сводитсяк отысканиюее первообразной,то есть, по существу,неопределенногоинтеграла, чтопозволяетиспользоватьметоды, изложенныев § 4.
Пример.Найдем интеграл
.Поскольку 
,то по формулеНьютона-Лейбницаполучаем

.
Пример.Площадь

криволинейнойтрапеции,ограниченнойграфиком функции

,осью

и прямыми

и

,равна

.
Упражнения
1.Вычислитьопределенныеинтегралы:
1)

; 6)

;11)

;
2)

; 7)

;12)

;
3)

; 8)

;13)

;
4)

; 9)

;14)

.
5)

;10)

;
2.Найти площадифигур, ограниченныхлиниями:
-
1)
,
,
,
; -
2)
,
,
,
;
3)

,

.
Ответы
1. 1) 4; 2)

; 3)

; 4) 1; 5) 0; 6) 2(

); 7)

; 8) 2; 9) 0; 10)

;
11)

; 12)

: 13)

; 14)

;
2. 1) 12; 2) 1; 3)

;Графики функций

и

пересекаютсяв точках с абсциссами

.Площадь фигурыможет бытьвычислена какразность двухплощадей:

и

.
§6. Функциинесколькихпеременных
Функциинесколькихпеременныхвозникают принеобходимостиучета зависимостинекоторойвеличины болеечем от одногофактора. Многиепонятия: предел,непрерывность,производнаяи другие, введенныедля функцийодной переменной,переносятсяна случай функцийнесколькихпеременных.
Мыограничимсяздесь рассмотрениемфункций двухпеременных.Для функцийбольшего числапеременныхуказанныепонятия вводятсяаналогично.
1. Определения
Пусть каждойточке

некоторогомножества

плоскостипоставленов соответствиечисло

,тогда говорят,что на множестве

задана
функциядвух переменных 
.Используетсятакже запись

.
Пример. Вэкономическихприложенияхвстречаютсяпроизводственныефункции,устанавливающиесвязь междузатратамипроизводственныхресурсов иобъемом выпускаемойпродукции.Производственныефункции, какправило, зависятот многих переменных(факторов). Вчастности,рассматриваютсядвухфакторныефункции

,
где

- объем производственныхфондов,

-затраты труда,

-объем выпускаемойпродукции.Примеромдвухфакторнойфункции является
функция Кобба-Дугласа 
,
где

,

,

- постоянные.
Окрестностьюточки

назовем внутренностьлюбого кругас центром вэтой точке.Пусть функция

определенав некоторойокрестноститочки

.Зафиксируемзначение

и рассмотримфункцию

одной переменной

.Производнаяфункции

в точке

(если она существует)называется
частной производнойфункции

в точке

по переменной

и обозначается

.Аналогичноопределяетсячастная производная

по переменной

.
Производные

и

функции

называютсячастными производными
первого порядка.Если они существуютв некоторойокрестноститочки

,то частныепроизводныеот них по

и

называются
частнымипроизводнымивторого порядкаи обозначаются

,

,

,

,где, например,

,

.Производные

,

называются
смешаннымичастнымипроизводными.Аналогичноможно ввестичастные производныетретьего иболее высокихпорядков. Изопределениячастных производныхследует, чтодля их нахожденияможно использоватьвсе правила,справедливыедля производныхфункций однойпеременной.
Примеры. Найдемчастные производныепервого и второгопорядков функций:
а)

,тогда

,

,

,

,

;
б)

,тогда

,

,

,

,

.
Равенствосмешанныхпроизводных,наблюдаемоев приведенныхпримерах, неслучайно. Справедливоследующее общееутверждение.
Теорема. Еслипроизводные

,

существуютв некоторойокрестноститочки

и непрерывныв этой точке,то справедливоравенство

.
2. Экстремумы
Точка

называетсяточкой
локальногомаксимума(
минимума)функции

,если для всехточек

(

)из некоторойокрестностиэтой точкисправедливонеравенство

(

).Точки локальногомаксимума иминимума называютсяточками
экстремумафункции.
Пример.В экономическоманализе применяетсяфункция прибыли

,
где

– производственнаяфункция,

– цена выпускаемойпродукции,

и

– факторныецены. Пара чисел(

)называется
оптимальнымпланом, еслифункция

достигаетмаксимума при

.Таким образом,поиск оптимальногоплана сводитсяк отысканиюточки экстремума(максимума)функции прибыли

.
Следующиетеоремы позволяютнаходить точкиэкстремумафункций.
Теорема (необходимоеусловие экстремума).Если функция

имеет в точкеэкстремума

частные производныепервого порядка,то они равнынулю в этойточке:

. (1)
Точки,координатыкоторых удовлетворяютсистеме (1) называютсястационарнымиточками функции

.Точки экстремумафункции следуетискать средиее стационарныхточек и техточек, в которыхчастные производныепервого порядкане существуют.
Теорема (достаточноеусловие экстремума).Пусть функция

имеет непрерывныечастные производныевторого порядкав некоторойокрестностисвоей стационарнойточки

.Положим

.
Тогда:
а) если

и

,то

- точка максимумафункции;
б) если

и

,то

- точка минимумафункции;
в) если

,то в точке

экстремуманет.
Пример.Стационарнаяточка

,

функции

являетсярешением системыуравнений

,

.
При этом

,

,

и

.Следовательно,в точке

функция имеетлокальныйминимум.
Пример. Пусть

.Тогда

,

,

,

,

,

,и, следовательно,стационарнаяточка

не являетсяточкой экстремума.
Пример. Дляфункции

из системыуравнений

,

,
найдемчетыре стационарныеточки:

,

,

,

.Поскольку

,

,

,то

.
В точках

и

выполненоусловие

,поэтому функцияимеет экстремумыв этих точках:минимум в

,так как

,и максимум в

,так как

.В точках

и

экстремумовнет, так как

в этих точках.
Упражнения
1. Найтичастные производныепервого порядкаследующихфункций:
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
;10)
. 2. Найтисмешанныепроизводныефункций:
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
;10)
. 3. Найтистационарныеточки функций:
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;.6)
);7)
;8)
;9)
;10)
. 4. Найтиточки локальногоэкстремумафункций:
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
;10)
. 1)
,
;2)
,
;3)
,
; 4)
,
;5)
,
;6)
,
;7)
;
;8)
,
;9)
,
; 10)
,
. 1) 0;
2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
;10)
. 1) (0,1);
2)
;3) (1,2);
4)
;5)
и
;6) стационарныхточек нет;
7)
;8)
; 9) стационарныхточек нет;
10)
. 1)
- точка минимума;2)
- точка минимума;3)
- точка максимума;4) и 5) функцияне имеет точекэкстремума;
6)
- точка минимума;7)
- точка минимума;8)
- точка максимума;9) функцияне имеет точекэкстремума;
10)

- точка минимума;

- точка максимума.
§ 7. Обыкновенныедифференциальныеуравнения
Математическоеисследованиемногих реальныхпроцессовосновано наприменениидифференциальныхуравнений,содержащихпроизводныеискомых функций.Аппарат дифференциальныхуравненийуниверсален:разнообразныепроцессы могутописыватьсяодинаковымиуравнениями.Практика показывает,что даже простыематематическиемодели, использующиедифференциальныеуравнения,позволяюткачественноизучить основныечерты сложныхявлений и оценитьих количественныехарактеристики.
1. Определения
Порядкомдифференциальногоуравненияназываетсянаибольшийпорядок входящихв него производных.Этот параграфпосвящен обыкновеннымдифференциальнымуравнениямпервого порядка,то есть уравнениямвида

,
где

- заданная функция,

- независимаяпеременная,

- искомая функция,

- ее производная.Уравнения вида

называютсяразрешеннымиотносительнопроизводной.
Функция

называется
решениемдифференциальногоуравнения, еслипосле ее подстановкиуравнениеобращаетсяв тождество.Процесс нахождениярешений называется
интегрированиемуравнения.
Решить уравнениезначит найтивсе его решения.
Ниже рассматриваютсятолько уравнения,разрешенныеотносительнопроизводной.В простейшемслучае, когдаправая частьуравнения независит от

,то есть уравнениеимеет вид

,
любое его решениеявляетсяпервообразнойфункции

,а интегрированиеуравнениясводится котысканиюнеопределенногоинтеграла от

(см. § 4). Совокупностьвсех решений,то есть
общеерешение уравнения,можно представитьформулой

,
где

- произвольнаяпостоянная.При этом в данномпараграфе поднеопределенныминтеграломфункции условимсяпонимать невсе множествоее первообразных,а любую
фиксированнуюпервообразную.
Пример. Дляуравнения

,
интегрируя,получим общеерешение

.
В следующемпункте рассматриваетсяодин классуравнений,общее решениекоторых представляетсяв квадратурах,то есть с использованиеминтеграловот известныхфункций.
2. Уравненияс разделяющимисяпеременными
Дифференциальнымуравнениемс разделяющимисяпеременныминазываетсяуравнение вида

, (1)
где

и

-заданные функции.
Заметим, чтоесли для некоторогозначения

выполнено

,то функция

является решениемуравнения (1).
Рассмотримслучай

.Разделив левуюи правую частиуравнения на

,получим

,откуда следуетсоотношениемежду первообразными

,где

- произвольнаяпостоянная.Используяформулу заменыпеременнойв неопределенноминтеграле (см.§ 4), получаемравенство

, (2)
определяющеев неявном видесемействорешений уравнения(1), зависящееот произвольнойпостоянной.
Замечание.Чтобы из бесконечногомножестварешений дифференциальногоуравнениявыделить частноерешение нужнозадать какое-либодополнительноеусловие, например,

, (3)
где

,

- некоторыепостоянные.Условие (2) называется
начальным,а задача отысканиярешения, удовлетворяющеготакому условию,называется
задачей Коши.
Пример. Найдемобщее решениеуравнения

.
Используя (2),получаем

,то есть

,где

- произвольнаяпостоянная.Отсюда находимсемействорешений

.Кроме того,имеется решение

,при которомправая частьуравненияобращаетсяв ноль. Все найденныерешения можнопредставитьодной формулой

,
где

- произвольнаяпостоянная.
Пример. Рассмотримуравнение

. (4)
Как и в предыдущемпримере,

является решением.При

получаем

или

,откуда находимбесконечноесемействорешений

.
Пример. Решимзадачу Коши

,

.
Заметим, чтофункция

удовлетворяетуравнению, ноне удовлетворяетначальномуусловию. Пусть

,тогда общеерешение определяетсяиз равенства

,откуда

и, следовательно,

.
При

с учетом начальногоусловия получим

,откуда

.Таким образом,решением задачиКоши являетсяфункция

.
3.Математическиемодели некоторыхпроцессов
Рассмотримпримеры задач,исследованиекоторых проводитсяс использованиемобыкновенныхдифференциальныхуравнений.
Пример (законроста населенияЗемли). Пусть

- число людейна Земле в моментвремени

.Демографическиеданные показывают,что за небольшойинтервал времени

прирост населения

пропорционаленквадрату числалюдей и интервалувремени:

,
где

- некотораяпостоянная.Разделив левуюи правую частиэтого равенствана

и перейдя кпределу при

,получим уравнение

, (5)
где

- дифференцируемаяфункция, приближающаяфункцию

.Уравнение (5)аналогичноуравнению (4),рассмотренномувыше. Его общеерешение имеетвид

.Заметим, чтоизвестныедемографическиеданные хорошосогласуютсяс частным решением

,
где время

исчисляетсяв годах от началанашей эры. Функция

не определенапри

,поэтому законроста населенияв будущем долженизмениться.
Пример (модельпроизводства).Пусть

- интенсивностьвыпуска продукциинекоторымпредприятиемв момент времени

,а

- цена продукции.Доход от продажиэтой продукциисоставляет

.Пусть частьвырученныхсредств, равная

,(6)
где

- некотороечисло, направляетсяна расширениепроизводства.Предположим,что скоростьизмененияинтенсивностивыпуска продукциипрямо пропорциональнаобъему инвестиций:

, (7)
где

-постоянная.Из (6) и (7) получаемуравнение

, (8)
общее решениекоторого припостоянном

имеет вид

,где

.Если заданоначальноеусловие

, (9)
торешением задачиКоши (8), (9) являетсяфункция

.
Уравнение (8)называется уравнениеместественногороста. Им описываютсятакже процессырадиоактивногораспада в физикеи размножениябактерий вбиологии.
На практикес увеличениемвыпуска продукциипроисходитнасыщение рынкаи цена падает.Если, например,

,где

и

-положительныепостоянные,то вместо (8) получимуравнение

, (10)
аналогичноеуравнению,рассматриваемомув следующемпримере.
Пример (модельрекламы). Пусть

- число людей,знающих к моментувремени

некоторуюновость, а

-общее числолюдей. Будемпредполагать,что скоростьраспространенияновости

прямо пропорциональнакак числу людей

,уже ее знающих,так и числулюдей

,еще не знающихновости, тоесть

, (11)
где

-постоянная.Разделив переменныев этом уравнении,получим

,
откуда, используярезультатпоследнегопримера §4, найдем

или

.
График этойфункции называетсялогистическойкривой. Дляслучая

,соответстщегоусловию, чтов момент

половина людейзнает новость(

),эта
кривая представленана рис. 15.

Рис.15.
Рассматриваемоеуравнениеобладает такжерешениями

и

,обращающимив ноль его правуючасть. Эти решениясоответствуютситуациям,когда новостьне распространяется:в первом случаев начальныймомент ее никтоне знает, а вовтором - знаютвсе.
Отметим, чтоуравнения (10)и (11), описывающиесовершенноразные процессы,по существу,совпадают.Уравнения тогоже типа возникаютпри описаниидинамики эпидемий,процессовразмножениябактерий вограниченнойсреде обитания,применяютсяв математическойтеории экологии.
Упражнения
1.Решить уравнения:
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
;10)
;11)
;12)
;13)
;14)
;15)
;16)
;17)
;18)
;19)
;20)
;21)
;22)
;23)
;24)
;25)
;26)
. 1)
,
;2)
,
;3)
,
;4)
,
;5)
,
;6)
,
;7)
,
;8)
,
;9)
,
;10)
,
;11)
,
;12)
,
;13)
,
;14)
,
;15)
,
,16)
,
;17)
,
;18)
,
;19)
,
;20)
,
. 1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
;10)
;11)
;12)
;13)
;14)
;15)
;16)
;17)
;18)
;19)
;20)Общее решениенаходится
изуравнения
;21)
;22)
;23)
;24 )
;25)
;26)
. 1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
;8)
;9)
;10)
;11)
;12)
;13)
;14)
;15)
и
;16)
;17)
;18)
;19)
;20)
.