Математический анализ (стр. 1 из 8)
1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.
Множество - совокупность некоторых объектов
Элементы множества - объекты составляющие множество
Числовые множества - множества элементами которых являются числа.
Задать множество значит указать все его элементы:
1 Способ: А={а: Р(а)} эти записи Читать- множество тех а таких что...
A={а-Р(а)} равноценны
Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых предикат истина.
2 Способ: Конструирование из других множеств:
AÚB = {c: cÎA Ú cÎB}, AÙB = {c: cÎA Ù cÎB}, A\ B = {c: cÎA Ù сÏB}
U - универсальное множество (фиксированное)
U³A; U \ A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)
Свойства:
1. AÚ(BÚC)=(AÚB) ÚC - ассоциативность; AÚB=BÚA - коммутативность; AÚÆ=A; AÚU=U
2. AÚ (BÙC)=(AÚB) Ù(AÚC) & AÙ (BÚC)=(AÙB) Ú(AÙC) - дистрибутивность; АÙÆ=А
A” =A - закон исключающий третьего (AÚB)’=A’ÙB’; (AÙB)’=A’ÚB’; AÙA’= Æ
Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.
"=>" cÎ(AÚB)’ => cÏAÚB => cÏA & cÏB => cÎ A’ & cÎB’ => cÎA’ÙB’
"<=" cÎA’ÙB’ => cÎA’ & cÎB’ => cÏA & cÏB => cÏAÚB => cÎ(AÚB)’
Отображение множеств:
f:A®B (на множестве А задано отображение f со значением множества B)
aÎA; bÎB => b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз элемента b при отображении f
Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В, значит А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f £B)
Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im
Отображение f инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в разные)
Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)
Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества равномощны(содержат одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно - взаимооднозначно.
Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N)
Теорема: Множество Q счетно.
Докозательство: Q=
Лемма 1: " nÎN Z/n - счетно.
Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:
10®0/n 5®-2/n
2®+1/n 6®+3/n
3®-1/n 7®-3/n
4®+2/n ...
Лемма 2: Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа счетных множеств - счетно.
А1={а11, а12, а13,...}
А2={а21, а22, а23,...}
А3={а31, а32, а33,...}
...
Применяем диагональную нумерацию (а11 - 1; а21 - 2; а12 - 3; а31 - 4; а22 - 5...) и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа счетных множеств - счетно.
Часть может быть равномощна целому: (-1,1) равномощен R (через полуокружность и лучи)
Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно
2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью. Плотность Q в R.
Действительные числа - множество чисел вида [a0],а1 a2 а3... где а0ÎZ а1,а2,а3,... Î{0,1,...,9}
Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:
[ао],а1 а2 а3...ак (0) = ао + а1/10 + а2/100 + ... +ак/10k = [ао],а1 а2 а3...а’к (9), где а’к=ак-1
х=[хо],х1 х2 х3...хк...
у=[уо],у1 у2 у3...ук...
х’к - катое приближение икса с недостатком = [хо],х1 х2 х3...хк
у”к - катое приближение игрека с избытком = [уо],у1 у2 у3...ук + 1/10k
х’к+1 > х’к (х’к - монотонно растет)
у”к+1£ у”k (у”k - не возрастает), т.к. у”к=[уо],у1 у2 у3...ук + 1/10к
у”к+1 = [уо],у1 у2 у3...ук ук+1 + 1/10к+1
у”к - у”к+1 = 1/10к - ук+1 + 1/10к+1³ 0
10 - ук+1 - 1 / 10к+1³ 0
9 ³ ук+1
Определение: 1) х > у <=> $ к: х’к > у”к
2) х = у <=> х’к не> у”к & у”к не> х’к
По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)
Свойства: 1)" х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у
2) х>у & у>z => х>z
3) х не> х
Док-во (2): х>у у>z
х’к>у”к у’m>z”m
n=max{k;m}
х’n³х’к>у”к³у”n у’n³ у’m>z”m³z”n
у”n>у’n => х’n>z”n
Определение: Если АÌR и " х,уÎR $ аÎА: х<а<у, то А плотно в R
Теорема: Q плотно в R.
Доказательство: х > у х’к > у”к х ³ х’к у”к ³ у
х ³ х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у
Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ÎQ
3.Несчетность множества действительных чисел.
Теорема: R несчетно.
Доказательство от противного:
1«х1=[х1], х11 х12 х13... |
2«х2=[х2], х21 х22 х23... | Пусть здесь нет девяток в периоде
3«х3=[х3], х31 х32 х33... |
... | (*)
к«хк=[хк ], хк1 хк2 хк3... |
... |
Найдем число которого нет в таблице:
с=[с], с1 с2 с3...
[с]¹[х1] => с¹х1
с1Ï {9;х21} => с¹х2
с2Ï {9;х32} => с¹х3
...
скÏ {9;хк+1к} => с¹хк
Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)
5.Теорема Дедекинда о полноте R
Пусть 1) 0¹АÍR; 2) " aÎA, " bÎB: а<b; 3) АÈB=R, тогда $! сÎR: " aÎA, " bÎB: а£с£b
Замечания: 1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)
2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс), В называют верхним множеством сечения (верхний класс)
Доказательство:
" aÎA, " bÎB: а<b => A ограничено сверху => $ SupA=m => "bÎB: b³m => B ограничено снизу =>$ InfB=n, m£n
Докажем, что m = n:
Пусть m<n, тогда из теоремы о плотности Q в R следует, что $ сÎQ: m<c<n => cÏА & cÏВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что m£n
следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим а£с£b
Докажем, что с единственное(от противного):
Пусть $с’¹с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию. "с’>с (с’<с) найдется такое b(a), что b<c’ (a>c’)-противоречие с "aÎA, "bÎB: а£с£b
8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)
Если $n0: "n>n0 xN£yN£zN и $ Lim xN=x, $ Lim zN=z, причем x=z, то $ Lim yN=y => x=y=z.
Доказательство: "n>n0 xN£yN£zN
Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ xNÎ(х-Е,х+Е) & $ n”: "n>n” zNÎ(х-Е,х+Е) => "n>max{n0,n’,n”} yNÎ(x-E,x+E)
4. Верхние и нижние грани числовых множеств.
Определение: АÌR mÎR, m - верхняя (нижняя) грань А, если " аÎА а£m (а³m).
Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что " аÎА, выполняется а£m (а³m).
Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A
2) " m’: m’<m => m’ не верхняя грань A
InfA = n, если 1) n - нижняя грань A
2) " n’: n’>n => n’ не нижняя грань A
Определение: SupA=m называется число, такое что: 1) " aÎA a£m
2) "e>0 $ aEÎA, такое, что aE>a-e
InfA = nназывается число, такое что: 1) 1) " aÎA a³n
2) "e>0 $ aEÎA, такое, что aE<a+e
Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АÌR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.
Доказательство:
Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.
[m]=max{[a]:aÎA} [[m],[m]+1]ÇA¹Æ=>[m]+1 - верхняя грань A
Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей
m1=max[10*{a-[m]:aÎA}]
m2=max[100*{a-[m],m1:aÎA}]
...
mк=max[10K*{a-[m],m1...mK-1:aÎA}]
[[m],m1...mK, [m],m1...mK + 1/10K]ÇA¹Æ=>[m],m1...mK + 1/10K - верхняя грань A
Докажем, что m=[m],m1...mK - точная верхняя грань и что она единственная:
"к: [m’K,m”K)ÇA¹0; "к "аÎА: а<m”K
Единственность(от противного):
аÎА, пусть а>m”K => $ к: а’K>m”K => а³а’K>m”K - это противоречит ограниченности => a£m
Точная верхняя грань:
Пусть l<m, тогда $ к: m’K>l”K, но так как "к [m’K,m”K) ÇA¹0 => $ аÎ[m’K,m”K) => а>l =>l - не верхняя грань.
Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АÌR, имееет точную нижнюю грань, причем единственную.
Рассмотрим множество B{-а: аÎА}, оно ограничено сверху и не пусто => $ -SupB=InfA
6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.
Определение: Последовательность аN называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю ("Е>0 $ n0: n>n0 |аN|<Е)
Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм последовательностью.
Доказательство: Пусть Lim aN=Lim bN=0, cN=aN+bN, dN=aN-bN. Так как вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит конечное число членов последовательности aN, т.е. $ n’: "n>n’: |aN|<Е/2. Аналогично $ n”: "n>n”: |bN|<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен ства |aN|<Е/2 & |bN|<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем: |cN|=|aN+bN|£|aN|+|bN|<E/2 + E/2 = E => |dN|=|aN-bN| £ |aN|+|bN|<E/2 + E/2 = E