Математический анализ (стр. 8 из 8)
Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1
g’(f(x0))=g’(f(x0))*f’(x0)=1, g’(f(x0))=g(y0)=1/f’(x0)
Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в (а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x0Î(a,b) и f’(x0)¹0, то g диф-ма в точке y0=f(x0) и g’(y0)=1/f’(x0)
Доказательство:
Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yN®y0, yN¹y0 => $ посл-ть xN: xN=g(yN), f(xN)=yN
g(yN)-g(y0)/yN-yO = xN-xO/f(yN)-f(yO) = 1/f(yN)-f(yO)/xN-xO® 1/f’(xo) при n®¥, получили при xN®xO g(yN)-g(yO)/yN-yO®1/f’(xO) => g’(уO)=1/f’(xO)
Производные:
1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к. Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos y³0 и, значит Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2y)1/2 = 1/(1-x2)1/2
2) x®Arccos’x = -1/(1-x2)1/2
3) x®Arctg’x = 1/1+x2
4) x®Arcctg’x= -1/1+x2
41.Производные и дифференциалы высших порядков.
Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO, то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO и обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через fN(xO) - производную порядка n функции f в точке xO и при n=0 считаем f0(xO)=f(xO).
Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO (следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®fN-1(x) непрерывна в точке xO, а при n³2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO.
Определение: Дифференциалом ф-ции f порядка n в точке xO называют функцию dх®fN(x)*dх и обозначают dNf(x). Таким образом dNf(x):dх®fN(x)dxN.
Так как fN(x)dхN:dх®fN(x)dxN, то dNf(x)=fN(x)dхN. В силу этого соотношения производную fN(x) обозначают также dNf(x)/dхN
Инвариантность:
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t). Если х считать независимой переменной, то диф-ал dy=y’(х)dx. Перейдем к независимой переменной t, учитывая что у’(t)=у’(х)*х’(t): dy=y’(t)dt=y’(x)*х’(t)dt. x’(t)dt=dх => dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх - видим что при переходе к новой независимой переменной форма дифференциала может быть сохранена - это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал по t можно написать в форме dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй диф-ал по t: d2y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь инвариантностью первого диф-ла dy’(x)=у”(х2)dx => d2y=у”(х2)dx2x+y’(x)*d2x, в то время как при независимой переменной х второй диф-ал имел вид д2y=у’(х2)*dx2x => неинвариантность формы второго диф-ла.
Формула Лейбница:
f(x)=u(x)*v(x)
Доказательство по индукции.
1) n=0 верно
2) Предположим для n - верно => докажем для (n+1)
Если для u и v $(n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по х - получим:
Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u0*vN+1 входит только во вторую сумму с коэффициентом С0N=1. Произведение uN+1*v0 входит только в первую сумму с коэффициентом СNN=1. Все остальные произведения входящие в эти суммы имеют вид uK*vN+1-K. Каждое такое произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k. Сумма соотв. коэффициентов будет
=>получаем fN+1(x)=u0*vN+1+
+ uN+1*v0= 44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее экстремумов.
Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].
Докозательство:
Пусть x£b, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем: f(x)-f(a)=f’(a+q(x-a))(x-a) 0<q<1 => т.к. по условию f’(x)=0 в (a;b), то f’(a+q(x-a))=0 => f(x)=f(a)=Const для все хÎ(a;b).
Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), тогда:
1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b) <=> f’(x)³0(f’(x)£0) в (a;b).
2) Если f’(x)>0(f’(x)<0) в (a;b) и f непрерывна в [a;b], то f строго возрастает(убывает) в [a;b].
Доказательство:
1) Пусть f непрерывна на [x’,x”] x’, x”Î(a;b), тогда по теореме Лагранжа (f(x”)-f(x’))/(x”-x’)=f’(c), сÎ(x’,x”). По условию имеем f’(x)³0(f’(x)£ 0) в (a;b) => f’(c)³0(f’(c)£ 0) => f(x”)³f(x’)( f(x”)£f(x’)) => f(x) возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b).
2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие получим (2).
Следствие: Если xO-критическая точка непрерывной ф-ции f. f’(x) в достаточно малой d-окр-ти точки xO имеет разные знаки, то xO-экстремальная точка.
Достаточное условие экстремума: (+)®xO®(-) => локальный min, (-)®xO®(+) => локальный max
46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство Йенсена.
Определение: Множество М выпукло <=> если " А,ВÎМ [А,В]ÌМ
[А,В]ÌМ => [А,В]={А+t(В-А):tÎ[0,1]} => А(1-t)+tВÎМ
[А,В]ÌМ => А,ВÎМ; l1=1-t, l2=t => l1+l2=1 l1,l2³0 => l1А+l2ВÎМ
Рассмотрим точки: А1,А2,...АNÎМ l1,l2³0 S(i=1,n): lI = 1
Докажем что S(i=1,n): lI*АI ÎМ
Д-во: По индукции:
1) n=1, n=2 - верно
2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n:
а) lN=1 => приравниваем l1=...=l N-1=0 => верно
б) lN<1 l1*А1 +...+ lN-1*А N-1+ l N*А N= (1-l N)((l1/1-l N)*А1+...+(lN-1/1-l N)*А N-1) + l N*А N = (1-l N)*B + l N*А N
BÎМ - по индуктивному предположению А NÎМ - по условию=>(1-l N)*B + l N*А N ÎМ Ч.т.д
График Гf = {(x,f(x)):хÎDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}
Определение: Функция f выпукла <=> UPf - множество выпукло.
Условие Йенсена: АIÎМ lI³0 S(i=1,n): lI =1 => S(i=1,n): lI*АI ÎМ, xI³0, f(xI)£yI => S(i=1,n): lI*АI = (SlI*xI;SlI*yI) => f(SlI*xI)£SlI*yI
Неравенство Йенсена: АIÎМ lI³0 SlI =1f(SlI*xI)£SlI*f(xI)
47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.
Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) "x’,xO,x”Î(a;b) x’<xO<x” =>
(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)£(f(x”)-f(xO))/(x”-xO). Геометрический смысл: при сдвиге вправо угловой коэффициент секущей растет.
Доказательство:
“=>” AB: k=(y-f(x’))/(xO-x’)³(f(xO)-f(x’))/(xO-x’) => y³f(xO); AB: k=(f(x”)-y)/(x”-xO)£(f(x”)-f(xO))/(x”-xO) =>y£f(xO)
(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)£(f(x”)-f(xO))/(x”-xO)
“<=”