Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.
Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень шее значение (2 теорема Вейрштрасса).
Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):xÎ[a,b]}. Если f не ограничена сверху на [a,b], то m=¥, иначе mÎR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть (сN), такую что Lim cN=m. Т.к. "nÎN: cN<m то $ xNÎ[a,b]: cN<f(xN)£m. xN - ограничена => $ xKn®a. Т.к. a£xКn£b => aÎ[a,b].
Для mÎR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен пределу посл-ти получаем cKn®m.
Для m=+¥ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб посл-тью получаем cKn®m. Переходя к пределу в нер-вах cKn<f(xKn)£m, получим
Lim f(xKn)=b n®¥, но в силу непрерывности ф-ции f имеем Lim f(xKn)=f(a) => f(a)=m - что и означает что функция f ограничена сверху и достигает верхней
граница в точке a. Существование точки b=Inf{f(x):xÎ[a,b]} доказывается аналогично.
35. Равномерная непрерывность. Ее характеризация в терминах колебаний.
Определение:"Е>0 $d>0: "х’,х”: |х’-х”|<d => |f(x’)-f(x”)|<Е => функция называется равномерно непрерывной
Отличие от непрерывности состоит в том, что там d зависит от Е и от х”, то здесь d не зависит от х”.
Определение: Ф-ция f - не равномерно непрерывна, если $ Е>0 "d >0: $ х’,х”: |х’-х”|<d => |f(x’)-f(x”)|³Е>0
Рассмотрим множество {|f(x’)-f(x”)|:|x’-x”|<d, x’,x”ÎI}, IÍDf.
Верхняя точная граница этого множества обозначаемое Wf(d) называется колебанием функции f на множестве I вызванное колебаниями аргумента:
1/х - Wf(d) = +¥; Sin x - Wf(d) = 1
Таким образом равномерно непрерывную функцию можно определить по другому: "Е>0 $ d>0: Wf(d)£Е Lim Wf(d)=0 d®0
36.Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на отрезке.
Теорема: Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].
Доказательство(от противного):
Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=>$Е>0 "d>0 $х’,х”: |х’-х”|<d=>|f(x’)-f(x”)|³Е. Возьмем d =1/к, кÎN $хK, х’KÎ[a,b]: |хK-х’K|<1/к |f(xK)-f(x’K)|³E
Т.к хK - ограничена => из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить подпосл-ть xKs сходящуюся к х0. Получаем: |хKs-х’Ks|<1/к
хKs-1/k<х’Ks<хKs-1/k по Лемме о зажатой посл-ти х’Ks®х0 kS®¥ |f(xKs)-f(x’Ks)|³E кS®¥ => 0³E - противоречие с условием.
37.Определение производной и дифференциала.
Касательная в точке x0 к функции x®f(x): возьмем еще одну точку х соединим x0 и х - получим секущую. Касательной назовем предельное положение секущей при х®x0, если это предельное положение существует. Т.к. касательная должна пройти ч/з точку (x0,f(x0) => уравнение этой касательной (если она не вертикальна) имеет вид y=k*(x-x0)+f(x0). Необходимо только опр-ть наклон k касательной. Возьмем произвольное число Dх¹0 так, чтобы x0+DхÎХ. Рассмотрим секущую МОМ, МО(x0,f(x0)), М(x0+Dх,f(x0+Dх)). Уравнение секущей имеет вид: у=к(Dх)(х-x0)+f(x0), где k=f((x0+Dх)-f(x0))/Dх - наклон секущей. Если существует Lim к(Dх) при Dх®0, то в качестве искомого наклона k возьмем это предел. Если Lim к(Dх)=¥ при Dх®0, то перепишем уравнение секу щей в виде x=(1/k(Dх))*(y-f(x0))+x0 перейдя к пределам при Dх®0, получим x=x0 (Lim x=Lim x0Dх®0 => x = Lim x0)
Определение: Производным значением функции f в точке х0 называется число f’(х0)=Lim (f(x0+Dх)-f(x0))/ Dх x®x0, если этот предел существует.
Геометрически f’(х0) - это наклон невертикальной касательной в точке (x0,f(x0)). Уравнение касательной y=f’(x0)*(x-x0)+f(x0). Если Lim (f(x0+Dх)-f(x0))/Dх=¥Dх®0, то пишут f`(x0)=¥ касательная в этом случае вертикальна и задается уравнением х=x0. f`(x0)=lim(f(x0+Dх)-f(x0))/Dх x®x0=>(f(x0+Dх)-f(x0))/Dх=f’(x0)+a(x), a(x)®0 при x®x0. f(x0+Dх)-f(x0)=f`(x0)*Dх+a(x)*Dх учитывая, что x0+Dх=x и обозначая a(x)*Dх через o(x-x0) получим f(x)=f’(x0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0). Необхо димо заметить, что o(x-x0) уменьшается быстрее чем (x-x0) при x®x0 (т.к. o(x-x0)/(x-x0)®0 при x®x0)
Определение: Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x0 если $сÎR: в некоторой окрестности точки x0 f(x)=С(x-x0)+f(x0)+o(x-x0)
Теорема: Функция диффференцируема в точке x0 <=> $ f’(x0)
Доказательство:
<=: f(x)=f’(x0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) => f`(x0)=C
=>: f(x)=C(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) => (f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+o(x-x0)/(x-x0)=C+a(x), a(x)®0 при x®x0.
Переходим к пределу при x®x0 => Lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+0=C => Слева записано производное значение ф-ции f => по определению C=f`(x0)
Определение: Если функция х®f(x) дифференцируема в точке x0, то линейная функция Dх®f’(x0)*Dх называется дифференциалом функции f в точке x0 и
обозначается df(x0). (диф-ал ф-ции х®х обозначают dx). Т.о. df(x0):Dх®f`(x0)*Dх и dх:Dх®Dх. Отсюда df(x0)=f’(x0)*dх => df(x0)/dх: Dх®f`(x0)*Dх/Dх=f’(x0) при Dх¹0. В силу этого пишут также f’(x0)=df(x0)/dх - обозначение Лейбница. График диф-ла получается из графика касательной переносом начала коор динат в точку касания.
Теорема: Если ф-ция f диф-ма в точке x0, то f непрерывна в точке x0.
Докозательство: f(x)=f(x0)+f’(x0)*(x-x0)+o(x-x0)®f(x0) при x®x0 => f непрерывна в точке x0.
Определение: Нормаль к ф-ции f в точке x0: это прямая перпендикулярная касательной к ф-ции f в точке x0. Учитывая что тангенс угла наклона нормали равен tg(90+угол наклона касательной)= -Ctg(наклона касательной), получаем уравнение нормали: y=-1/f’(x0)*(x-x0)+f(x0)
38. Арифметика диф-цирования. Производные тригонометрических функций.
Теорема: Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x0, тогда ф-ции f+g, f*g и f/g (при g(x0)¹0) дифференцируемы в точке x0 и:
1) (f+g)’(x0)=f’(x0)+g’(x0)
2) (f*g)’(x0)=f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0)
3) (f/g)’(x0)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x0)2
Доказательство:
1) Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)
Dg(x0)=g(x0+Dx)-g(x0)
D(f+g)(x0)=Df(x0)+Dg(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0+Dx)-g(x0)
D(f+g)(x0)/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0+Dx)-g(x0))/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx+(g(x0+Dx)-g(x0))/Dx®f’(x0)+g’(x0) при Dx®0
2)D(f*g)(x0)=f(x0+Dx)*g(x0+Dx)-f(x0)*g(x0)=(f(x0)+Df(x0))*(g(x0)+D(x0))-f(x0)*g(x0)=g(x0)*Df(x0)+f(x0)*Dg(x0)+Df(x0)*Dg(x0) D(f*g)(x0)/Dx=g(x0)*(Df(x0)/Dx)+f(x0)*(Dg(x0)/Dx)+(Df(x0)/Dx)*(Dg(x0)/Dx)*Dx®f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0) при Dx®0
3) Ф-ция g - дифференцируема в точке x0 => Ф-ция g - непрерывна в точке x0 => "Е>0 (Е=|g(x0)|/2) $d>0: |Dx|< d => |g(x0+Dx)-g(x0)|<|g(x0)|/2.
g(x0)-|g(x0)|/2<g(x0+Dx)<g(x0)+|g(x0)|/2. Рассматривая функцию g при таких x (|Dx|<d) видим что g(x0+Dx)¹0.
Рассмотрим разность (1/g(x0+Dx)-1/g(x0))/ Dx = -(g(x0+Dx)-g(x0))/Dx*g(x0+Dx)*g(x0) ® -g’(x0)/g(x0)2 при Dx®0
(f/g)’(x0)=(f*1/g)’(x0) => (2) = f’(x0)*1/g(x0)+f(x0)*(1/g)’(x0)=f`(x0)*1/g(x0)+f(x0)*(-g’(x0)/g(x0)2)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x0)2
Теорема: Пусть f=Sin(x), g=Cos(x)
1) Sin’(x0) = Cos (x0)
2) Cos’(x0) = -Sin (x0)
Доказательство:
1) Df/Dx=(Sin(x0+Dx)-Sin(x0))/Dx = Sin(Dx/2)/(Dx/2) * Cos(x0+Dx/2) ® Сos x0 при Dx®0
2) Dg/Dx=(Cos(x0+Dx)-cos(x0))/Dx=Sin(Dx/2)/(Dx/2)*-Sin(x0+Dx/2) ® -Sin x0 при Dx®0
Производные Tg и Ctg выводятся непосредственно из производных для Sin и Cos по формулам дифференцирования.
39. Производная суперпозиции.Производные степенной, показательной и логарифмической функции.
Теорема: Пусть функция g диф-ма в точке x0, а ф-ция f диф-ма в точке y0=g(x0), тогда ф-ция h(х)=f(g(х)) диф-ма в точке x0 и h’(x0)=f`(y0)*g’(x0)
Доказательство:
Dy=y-y0, Dx=x-x0, Df(y0)=f’(y0)*Dy+o(Dy), Dg(xo)=g’(xo)*Dx+o(Dx), y=g(x0+Dx)
Dh(x0)=f(g(x0+Dx))-f(g(x0))=f(y)-f(y0)=f’(y0)*Dy+o(Dy)=f’(y0)*(g(x0+Dx)-g(x0))+o(Dg)==f’(y0)*(g’(x0)*Dx+o(Dx))+o(Dy)= f’(y0)*g’(x0)*Dx+f’(y0)*o(Dx)+o(Dy)
Dh(x0)/Dx=f’(y0)*g’(x0)+r, r=f`(y0)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx
r=f`(y0)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx=f`(y0)*(a(x)*Dx)/Dx+(a’(x)*Dy)/Dx=f’(y0)*a(x)+a’(x)*Dy/Dx®f’(y0)*0 + 0*g’(y0) при Dx®0 (a(x)®0 a’(x)®0)
Производная:
1) xa=a*xa-1
Lim (Dy/Dx)=lim((x+Dx)a-xa)/Dx = Lim xa-1* ((1+Dx/x)a-1)/Dx/x. Используя замечательный предел x®0 Lim ((1+x)a-1)/x=a, получим Dx®0
Lim xa-1*Lim((1+Dx/x)a-1)/Dx/x = a*xa-1
2) (aX)’=aX*Ln a (x®aX)’=(x®eX*Ln a)’
x®eX*Ln a - композиция функций x®еX и x®x*Ln a обе непрерывны на R => (x®aX)’=(x®е X*Ln a)’=(x®еX*Ln a)’*(x®x*Ln a)’=aX*Ln a
Д-во : (eX)’=eX
Lim(Dy/Dx)=Lim(eX+DX-eX)/Dx=LimeX*(eDX-1)/Dx, используя зам-ный предел при x®0 Lim(eX-1)/x=1, получим при Dx®0 Lim(Dy/Dx)=eX
3) (LogA(x))’=1/x*Ln a
Lim(Dy/Dx) = Lim (LogA(x+Dx) - LogA(x))/Dx = Lim 1/x*LogA(1+Dx/x)/Dx/x, используя замечательный предел при x®0 Lim LogA(1+x)/x=1/Ln a, получим
Lim (Dy/Dx) = Lim 1/x*Lim LogA(1+Dx/x)/Dx/x=1/x*Ln a
40. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.
Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y0, то g’(y0)=1/f’(x0), где y0=f(x0)