Математический анализ (стр. 4 из 8)

Критерий Коши сходимости посл-ти: Для того, чтобы данная посл-ть сходилась необходимо и достаточно, чтобы она являлась фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость: Пусть Lim x_N=x, тогда "Е>0 $ n₀: "n>n₀ |х_N-х|<Е/2. n>n₀, n’>n₀ |х_N-х_N’|=|х_N-х+х-х_N’|<|х_N-х|+|х-х_N’|<Е/2+Е/2<Е

Достаточность: Пусть х_N - фундаментальная

1) Докажем что х_N ограничена: Е₁=1998 $ n₀: |х_N-х_N’|<Е, n>n₀, n’>n₀

"n>n₀ |х_N-х_N0|<Е₁ х _N0-1998<х_N<х _N0+1998 => х_N - ограничена

2) По теореме Больцано-Вейерштрасса

$ подпосл-ть х_NK®х. Можно выбрать к настолько большим, чтобы |х_NK-х|<Е/2 и одновременно n_к>n₀. Следовательно (из фунд-ти) |х_N-х_NK|<Е/2 =>

|х_NK-х|<Е/2 => х-Е/2<х_NK<х+Е/2 => |х_N-х_NK|<Е/2 => х_NK-Е/2<х_N<х_NK+Е/2 => х-Е<х_N<х+Е => |х_N-х|<Е

14.Бином Ньютона для натурального показателя.Треугольник Паскаля.

Формула Ньютона для бинома:

nÎN

Разложение Паскаля

(Записав коэффициенты в виде пирамиды - получим треугольник Паскаля)

...

*:

к=0,1,...,n

Доказательство(по индукции):

1) n=0 - верно (1+х)⁰=1 =>

(1+х)⁰ =

2) Пусть верно для n: докажем что это верно и для n+1:

= Ч.т.д

16.Последовательности

(во всех пределах n®¥)

1) Lim

= 0 (p>0)

- это означает что, мы нашли такое n₀= : "n>n₀ | |<E

2) Lim

=1

x_N=

- 1

=1+x_N

n=(1+x_N)ⁿ

n=

x_N²<2/(n-1)

При n®¥ ®0 => x_N®0 (Лемма о зажатой последовательности)=>Lim =Lim (1+x_N)=1+0=1

16.Последовательность (1+1/n)ⁿ и ее предел.

x_N=

; y_N= ; z_N=y_N +

x_N монотонно возрастает: докажем:

x_N=(1+1/n)ⁿ=1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n² +... < 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = y_N =>y_N<z_N<3

Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)ⁿ³1+nx, x>-1) (доказывается по индукции):

x=1/n => (1+1/n)ⁿ³1+n/n=2

Получили: 2 £ x_N<3 => x_N - ограничена, учитывая что x_N - монотонно возрастает => x_N - сходится и ее пределом является число е.

17. Последовательности

(во всех пределах n®¥)

1) Lim

=1, a>0

a) a³1:

x_N=

x_N+1= => $ Lim x_N=x

x_N+1=x_N *

x_N=x_N+1 *

x_N=x_N+1*x_N*(n+1)

Lim x_N=Lim (x_N+1*x_N*(n+1)) => x = x*x => x = 1

б) 0<a<1 b=1/a x_N=

Lim

=1 b=1/a => = 1/ => Lim = 1/1 = 1

2) Lim

= 0, a>1

x_N=

x_N+1=

т.к. Lim = Lim =Lim =1

=> $ n₀: "n>n₀ xn+1/xn<1 => СТ x=limxn

x_N+1=x_N*

Lim x_N+1 = Lim x_N*

=> x = x*1/a => x=0

Докажем, что если x_N®1 => (x_N)^a®1:

a) "n: x_N³1 и a³0

(x_N) ^[a]£(x_N)^a<(x_N)^[a]+1 => по лемме о зажатой посл-ти, учитывая что Lim (x_N)^[a]=Lim (x_N)^[a]+1=1 (по теореме о Lim произведения) получаем Lim (x_N)^a =1

б) "n: 0<x_N<1 и a³0

y_N=1/x_N => yn>1 Lim y_N=lim1/x_N=1/1=1 => (по (а)) Lim (y_N)^a =1 => lim 1/(x_N)^a =1 => Lim (x_N)^a =1

Объединим (а) и (б):

x_N®1 a>0

x_N1,x_N2,...>1 (1)

x_M1,x_M2,...<1 (2)

Вне любой окрестности точки 1 лежит конечное число точек (1) и конечное число точек (2) => конечное число точек x_N.

в) a<0

(x_N)^a =1/(x_N)^{- a}a<0 => -a>0 => по доказанному для a>0 получаем, Lim 1/(x_N)^{- a} = 1 => Lim (x_N) ^a = 1

15. Доказательство формулы e=...

y_N=

; z_N=y_N +

1) y_N монотонно растет

2) y_N<z_N

3) z_N-y_N®0

4) z_N монотонно убывает

Доказателство:

z_N-z_N+1 = y_N +

- y_N+1 - = + - =

2=y₁<y_N<z_N<z₁=3

e= Lim y_N = Lim z_N - по лемме о вложенных промежутках имеем: y_N<e<z_N = y_N + 1/(n*n!)

Если через q_N обозначить отношение разности e - y_N к числу 1/(n*n!), то можно записать e - y_N = q_N/(n*n!), заменяя y_N его развернутым выражением получаем e = y_N + q_N/(n*n!), qÎ(0,1)

Число e иррационально:

Доказательство(от противного): Пусть e=m/n, mÎZ, nÎN

m/n = e = y_N + q_N/(n*n!)

m*(n-1)!= y_N*n! + q_N/n, где (m*(n-1)! & y_N*n!)ÎZ, (q_N/n)ÏZ => противоречие

23. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.

Определение по Коши: f(x) сходится к числу А при х®х₀ если "Е>0 $d>0: 0<|х-х₀|<d & хÎDf => |f(x)-А|<Е

Определение по Гейне: f(x) сходится к числу А при х®х₀ если " последовательности х_N®х₀, х_N¹х₀ f(x_N)®А