Математические основы теории систем (стр. 10 из 13)

x(t)

m(x)

Рис 2

Теория, изучающая случайные функции на основе знания первых двух моментов случайных функций, рис 2 называется корреляционной теорией.

Если известны математическое ожидание m(t) и корреляционная функция К(t₁,t₂) случайной функции Х(t), то всегда можно построить n-мерный вектор математического ожидания многомерной, случайной величины x(t₁),...,x(t_n) для фиксированных значений t₁, t₂,...,t_n.

(5) m^T=[m₁, m₂,..., m_n]

и корреляционную матрицу этой случайной многомерной величины

K(t₁,t₁) K(t₁,t₂) ..... K(t₁,t_n)

K(t₂,t₁) k(t₂,t2) ..... K(t₂,t_n)

(6) K= ........................................

........................................

K(t_n,t₁) K(t_n,t₂) K(t_n,t_n)

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ.

1. Корреляционная функция при одинаковых значениях аргументов равна дисперсии случайной функции, т.е.

K(t,t)=D(t)

2. При перемене местами аргументов корреляционная функция меняется на комплексно - сопряженную, т.е.

______

K(t₁; t₂)=K(t₁, t₂)

3. Для всякой корреляционной функции справедливо неравенство:

1) K(t₁, t₂) ≤√ D(t₁)D(t₂)

4. Корреляционная функция является положительно определенной функцией. Вместо корреляционной функции может быть рассмотрена безразмерная нормированная корреляционная функция R(t₁, t₂) определяемая равенством;

(t₁, t₂)

(5)

R(t₁, t₂)=

√ D(t₁)D(t₂)

Из определения свойств корреляционной функции можно показать, что для нормированной корреляционной функции справедливо состояние:

_____ ______

R(t, t)=1 , R(t₂,t₁)=R(t₁,t₂) , R(t₁,t₂)≤1

В теории случайных чисел большую роль играет один из видов случайной функции, математическое ожидание которой равно 0, а корреляционная функция равна дельта функции. Такую случайную функцию называют белым шумом. Для белого шума как это следует из определения, справедливы равенства:

(6) M[X(t)=0

(7) K(t₁, t₂)=G(t) δ(t₁-t₂)

Функция G(t) называется интенсивностью белого шума. Дельта-функция при значении аргумента, отличном от 0, равна 0, поэтому для белого шума случайные величины, соответствующие двум сколь угодно близким значениям, являются некоррелированными.

Рассмотри систему из n случайных функций:

(8) X₁(t),X₂(t),...,X_n(t)

Каждая из функций этой системы характеризуется математическим ожиданием и корреляционной функцией. Однако необходимо еще ввести характеристику связи между отдельными случайными функциями системы (8).

Такой характеристикой является взаимная корреляционная функция двух случайных функций X_i(t) и X_i(t), и определяется равенством:

(9) Kx_ix_j(t₁,t₂)=M[X_i^○(t)X_j^○(t)]

Для того, чтобы отличать взаимную корреляционную функцию, от корреляционной функции, последнюю называют также автокорреляционной.

Для взаимной корреляционной функции случайных функций Х_i(t) и Y_j(t) справедливы свойства:

________

(10) Kxy(t₁, t₂)=Kxy(t₁, t₂)

(11) Kxy(t₁, t₂) ≤ √Dx(t₁)Dy(t₂)

Две случайные функции Х(t) и Y(t) называются некоррелированными, если их взаимная корреляционная функция тождественно равна нулю т.е.

(12) Kxy(t₁, t₂)=0

В ряде случаев удобно ввести безразмерную характеристику связи между случайными функциями нормированную взаимную корреляционную функцию:

Kxy(t₁,t₁)

(13) Rxy(t₁, t₂)=

√ Dx(t₁)Dy(t₁)

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ.

Выясним, как образуются математические ожидания и корреляционные функции случайных функций при осуществлении над ними линейных операций:

1. Сложение случайных функций.

Возьмем две случайные функции X(t), Y(t). Пусть известны моменты этих функций до второго порядка включительно:

M[X(t)],M[Y(t)], K_x(t₁,t₂),K_y(t₁,t₂) K_xy(t₁,t₂)

Найдем математическое ожидание случайной функции:

(15) Z(t)=X(t)+Y(t)

В силу линейности операции определения математического ожидания имеем:

(16) M[Z(t)]=M[X(t)]+M[Y(t)]

т.е. математическое ожидание суммы случайных функций равно сумме математических ожиданий этих случайных функций.

Вычитая из равенства (15) равенство (16), получим центрированную случайную функцию:

(17) Z^○(t)=X^○(t)+Y^○(t)

Вычислим корреляционную функцию суммы случайных функций Х(t)+Y(t). По определению корреляционной функции имеем: _____ ____________

(18) K_z(t₁, t₂)=M[Z_○(t₁)Z_○(t₂)]=M[(X^○(t₁)+Y^○(t₂)*(X^○(t₁)+Y^○(t₂))]=

=K_x(t₁, t₂)+K_xy(t₁, t₂)+K_yx(t₁, t₂)+K_y(t₁, t₂)

Таким образом, корреляционная функция суммы двух случайных функций равна сумме всех корреляционных и взаимно корреляционных функций этих случайных функций.

2. Дифференцирование случайных функций.

Случайная функция Y(t) называется производной в среднем квадратичном от случайной функции Х(t) по аргументу t, если существует предел:

X^○(t+h)-X^○(t) 2

(19) lim M -Y^○(t) =0

h→0 h

Случайную функцию, для которой существует производная в среднем квадратичном, будем называть дифференцируемой. Случайная функция X(t) называется непрерывной в среднем квадратическом, если существует предел:

(20) lim X(t)=X(t_○)

h→0

Корреляционная функция производной dX^○(t)/dt=Y^○(t) равна:

d²K(t₁,t₂)

(21) K_y(t₁,t₂)=

dt₁dt₂

Взаимная корреляционная функция процесса Х^○(t) и его производной равна:

(22) K_xy(t₁,t₂)=dK(t₁,t₂)/dt₂

Из этих равенств по индукции можно показать справедливость соотношения:

d^n+mK_x(t₁,t₂)

(23) Kx⁽ⁿ⁾x^(m)(t₁,t₂)=

dt₁ⁿ dt₂ⁿ

где x⁽ⁿ⁾(t) и x^(m)(t)- соответственно n-я и m-я производные в среднем квадратичном случайной функции Х(t).

3. Интегрирование случайной функции.

Пусть заданы случайная функция Х(Ʈ) и неслучайная функция q(t, Ʈ), где параметр Ʈ изменяется в интервале (а, в). Разобьем интервал (а, в) точками Ʈ_○=а,Ʈ_○,...,Ʈ_n=в, на n частей и составим сумму:

(24) ∑ X^○(Ʈ_i) q(t,Ʈ_i)(Ʈ_i-Ʈ_i-1)

i=1

значение Ʈ_i выбрано произвольно в промежуткеƮ_i-1≤Ʈ≤Ʈ_i.Рассмотрим предел в среднем квадратическом суммы:

при n→∞ и max[Ʈ_i-Ʈ_i-1]→0

(25) lim ∑ X^○(Ʈ_i) q(t, Ʈ_i)(Ʈ_i-Ʈ_i-1)

n→∞ i=1

Если этот предел существует, то он называется

интегралом от случайной функции X^○(t) в среднем

квадратическом с весом q(t,Ʈ) и обозначается:

b n

(26) Y= ] X^○(Ʈ) q(t,Ʈ) dƮ = lim ∑ X^○(Ʈ_i) q(t,Ʈ_i) ΔƮ_i

a n→∞ i=1

Рассмотрим случайную функцию Y(t). Согласно определения интеграла от случайной функции получим:

(27) Y(t)= ⌡ X(Ʈ) q(t,Ʈ)dƮ

Математическое ожидание случайной функции Y(t):

(28) M[Y(t)]= ⌡ m_x(Ʈ) q(t,Ʈ) dƮ, где m_x=M[X(t)]

Из неравенства (28) следует, что если существует интеграл, то математическое ожидание интеграла от случайной функции Х(t) равно интегралу от математического ожидания этой случайной функции.

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ.

Существуют случайные функции, не изменяющие свой характеристики с течением времени. Такие случайные функции называются стационарными.