Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры (стр. 4 из 6)

Т Абеля

1Если степенной ряд (1) сходится в т. х0 ¹ 0, то он сходится абсолютно при любом х, для которого |x|<|x0|.

2Если степеннгой ряд (1) расходится в т. х0, то он расходится в любой т. х, для которой |x|>|x0|

№14

1 Определение криволинейных

интегралов 1 и 2 рода

Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)

Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой К. Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn пусть Dlk длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге произвольную точку N(xk,hk) и умножив сию точку на соотв. длину дуги составим три интегральную суммы:

d1 =

f(xk,hk)×Dlk

d2 =

Р(xk,hk)×Dхk

d3 =

Q(xk,hk)×Dyk,

гдеDхk = x_k-x_k-1, Dyk = y_k-y_k-1

Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги будет называться предел интегральной суммы d1 при условии, что max(Dlk) - 0

Если предел интегральной суммы d2 или d3 при l- 0, то этот предел наз. криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l = AB и обозначается:

или

сумму:

+ принято называть общим криволинейным интегралом 2 рода и обозначать символом:

в этом случае ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) – называются интегрируемыми вдоль кривой l = AB. Сама кривая l наз контуром или путем интегрирования А – начальной, В – конечной точками интегрирования, dl – дифференциал длины дуги, поэтому криволинейный интеграл 1 рода наз. криволинейным интегралом по дуге кривой, а второго рода – по функции..

Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается кривая l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:

, для криволинейных интегралов 2 рода изменение направления пробегания кривой ведет к изменению знака:

В случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из двух возможных направлений обхода замкнутого контура l называют положительным то направление, при котором область лежащая внутри контура остается слева по отношению к ??? совершающей обход, т. е. направление движения против часовой стрелки. Противоположное направление обхода наз – отрицательным. Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру l пробегаемому в положит направлении будем обозначать символом:

Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:

и три интеграла 2 рода:

сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода.

2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

Рассмотрим степенной ряд:

(1) Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сходимости ряда (1) если для любого х такого, что |x|<R ряд (1) сходится, а для " х таких. что |x|>R ряд расходится Интервал на числовой оси состоящий из т. х для которых |x|<R, т. е. (-R, +R) наз. интервалом сходимости.

Т1 Для всякого степенного ряда (1) существует радиус сходимости R 0<=R<=+¥ при этом, если |x|<R, то в этой т. х ряд сходится абсолютно

Если вместо х взять у = х-х0, то получится: интервал сходимости: |x-x0<R| будет: (x0-R, x0+R)При этом если |x-x0|<R? то ряд сходится в т. x абсолютно иначе расходится. На концах интервала, т. е. при x = -R, x=+R для ряда (1) или x = x0-R, x=x0+R для ряда (3) вопрос о сходимости решается индивидуально. У некоторых рядов интервал сходимости может охватывать всю числовую прямую при R = +¥ или вырождаться в одну точку при R = 0.

Т2 Если для степенного ряда (1) существует предел (конечный или бесконечный):

, то радиус сходимости будет равен этому пределу.

Док-вы: Рассмотрим ряд из абсолютных величин

и по Даламберу исследуем его на сходимость:

(5)

1)Рассмотрим случай, когда

конечен и отличен от 0. Обозначив его через R запишем (5) в виде При числовом значении х степенной ряд становится числовым рядом, поэтому по Даламберу ряд (1) сходится если |x|/R<1, т. е. |x|<R, тогда по признаку абсолютной сходимости ряд (1) сходится абсолютно при |x|<R иначе ряд расходится.

2)Пусть

= ¥ тогда из(5) следует, что для любого х ÎR Итак ряд (1) сходится при любом х причем абсолютно.

3) Пусть

=0 тогда из (5) следует, что и ряд расходится для любого х. Он сходится только при х = 0 В этом сл-е R = 0.

Т3 Если существует предел конечный или бесконечный

, то (10)

№15

1 условия

существования и вычисления

криволинейных интегралов.

Кривая L наз. гладкой, если ф-ции j(t), y(t) из определяющих её параметрических уравнений:

(1)

имеет на отрезке [a,b] непрерывные производные: j’(t), y’(t).Точки кривой L наз особыми точками, если они соответствуют значению параметра tÎ [a,b] для которых (j’(t))²+(y’(t))² = 0 т. е. обе производные обращаются в 0. Те точки для которых сие условие не выполняется наз. обычными (ВАУ!).

Если кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то криволинейные интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам сводящим эти интегралы к обычным:

Отседова жа вытекаает штаа:

В частности, если кривая АВ задана уравнением y = y(x), a<=x<=b , где у(х) непрерывно дифференцируемая ф-ция, то принимая х за параметр t получим:

ну и сумма там тожжа упростица.

ну и наоборот тожжа так будит, если х = х(у)

Если АВ задана в криволинейных координатах a <= j <= b где ф-ция r(j) непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b] то имеет место частный случай, где в качестве параметра выступает полярный угол j. x = r(j)×cos(j),

y= r(j)×sin(j).

и у второго рода так же.

Прямая L наз кусочно-гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую. В этом случает криволинейные интегралы по этой кривое определяются как сумма криволинейных интегралов по гладким кривым составляющим сию кусочно-гладкую кривую. все выше сказанное справедливо и для пространственной кривой (с буквой зю).

2 Свойства степенных рядов

Т1 Если степенной ряд

(1) имеет радиус сходимости R>0, то на любом отрезке действительной оси вида |x|<=r, 0<r<R (2) (или [-r,r]) целиком лежащем внутри интервала сходимости ряд (1) сходится равномерно.

Для ряда

отрезком равномерной сходимости будет отрезок |x-x0|<=r или ([x0-r,x0+r])

Т2 На любом отрезке |x-x0|<=r сумма степенного ряда является непрерывной ф-цией.

Т3 Радиусы сходимости R, R1, R2 соответственно рядов×

(5), (6), (7) равны: R1=R2=R3. Итак ряды (6) и (7) полученные с помощью формального интегрирования и дифференцирования имеют те же радиусы сходимости, что и исходный ряд.