Краткая методичка по логике (стр. 3 из 10)

Пример. Каждый кулик свое болото хвалит.

Универсум - множество куликов и болот

g

(x) - х есть кулик

g

(x) - х есть болото

g

(x, у) - х хвалит у

g

(x, у) - у свое для х

"c₁((((g

(c₁))Ù(g (c₂)))Ù(g (c₁, c₂)))Þ(g (c₁, c₂)))

Пример. Сумма квадратов двух положительных чисел меньше квадрата их суммы.

Универсум - множество положительных чисел.

f

(x) - квадрат числа x

f

(x, y) - сумма чисел x, y

g

(x, y) – x меньше y

g

(f (f (c₁), f (c₂)), f (f (c₁, c₂)))

Можно записать по-другому:

универсум - множество действительных чисел

f

- число 0

((g

(f , c₁))Ù(g (f , c₂)))Þ(g (f (f (c₁), f (c₂)), f (f (c₁, c₂)))

Пример. Только я один знаю об этом.

Универсум – множество людей

f

- я

g

(x) - x знает об этом

g

(x, y) - x идентичен y

(g

(f ))Ù("c₁((Ø(g (c₁, f )))Þ(Ø(g (c₁))))

Никто не знает об этом: "c₁(Ø(g

(c₁)))

Все знают об этом: "c₁(g

(c₁))

Кто-нибудь знает об этом: $c₁(g

(c₁))

Пример. Здесьхолодно, но не сыро: (g

)Ù(Ø(g ))

Пример. Ни p ни q: Øp и Øq

Пример. Если p то q иначе r: (pÞq)Ù(ØpÞr)

Пример.p либо q: pÙØqÚØpÙq

Пример.p поэтому q: pÙ(pÞq)

Пример. Чай без сахара не сладкий и не вкусный.

g

- чай содержит сахар

g

- чай сладкий

g

- чай вкусный

(Ø(g

))Þ((Ø( g ))Ù(Ø( g )))

Возможен другой перевод:

((Ø(g

))Þ(Ø( g )))Ù((Ø( g ))Þ((Ø( g )))

Пример. Его отец слесарь, а все братья токари.

Универсум – множество мужчин

f

- он

f

(x) - отец для x

g

(x) - x есть слесарь

g

(x) - x есть токарь

g

(x, y) - x идентичен y

(g

(f (f )))Ù("c₁(((Ø(g (c_1, f )))Ù(g (f (c₁), ( f (f ))))Þ(g (c₁))))

Тема 3. Пропозициональная логика

или логика элементарных высказываний изучает свойства логических операций Ø, Ù, Ú, Þ, Û, которые по смыслу их введения являются операциями над истинностными значениями:

p	q	Øp	pÙq	pÚq	pÞq	pÛq
Л	Л	И	Л	Л	И	И
Л	И	И	Л	И	И	Л
И	Л	Л	Л	И	Л	Л
И	И	Л	И	И	И	И

Если высказывания р, q различны и элементарны, то эта таблица называется истинностной таблицей высказываний (p, q,) Øp, pÙq, pÚq, pÞq, pÛq. В общем случае при составлении истинностной таблицы какого-либо перечня высказываний надо поместить на ее вход все различные пропозициональные компоненты этих высказываний, сделать полный перебор истинностных значений во входных столбцах и записать соответствующие истинностные значения в результирующих столбцах.

Пример. В комнате без окон темно и неуютно.

Универсум - множество комнат

g

(c₁) - c₁ имеет окно p - комната имеет окно

g

(c₁) - в c₁ темно q - в комнате темно

g

(c₁) – в c₁ уютно r - в комнате уютно

(Ø(g (c₁)))Þ((g (c₁))Ù(Ø(g (c₁)))) ØpÞqÙØr

p q r

p	q	r	Øp	Ør	qÙØr	ØpÞqÙØr
Л	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	Л	Л	Л
Л	И	Л	И	И	И	И
Л	И	И	И	Л	Л	Л
И	Л	Л	Л	И	Л	И
И	Л	И	Л	Л	Л	И
И	И	Л	Л	И	И	И
И	И	И	Л	Л	Л	И

Тавтология или тавтологически истинное высказывание - это высказывание со сплошными И в его столбце его истинностной таблицы. Высказывание q называется тавтологическим следствием (из) высказываний p₁,…,p_n, если в истинностной таблице высказываний p₁,…,p_n,,q столбец q содержит И в любой строке, которая содержит И во всех столбцах p₁,…,p_n. Например, построенная выше таблица показывает, что: