Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами (стр. 6 из 8)
то
равномерно относительно n.
Это вытекает из теорем 7 и 6.
Теорема 7 показывает, что нужно добавить к условию (6.4), чтобы получить
. Теперь мы получим оценки для 
, исходя только из условий вида (6.4). Попутно выясняется, что при некоторых дополнительных ограничениях на функцию 
условие (6.5) становится излишним. Суть дела в том, что при этих ограничениях (6.4) влечёт (6.5).Лемма 10. Пусть
(6.9)где
. Тогда для любого натурального k 
(6.10)Доказательство. Зафиксируем натуральное число n, определим натуральное p из условий
и построим последовательность номеров
положив 
Для оценки
представим 
в таком виде: 
Так как
, то отсюда 
(6.11)Оценим Ul(k). Имеем для l=1,2,...,p
откуда
Но
есть тригонометрический полином порядка не выше nl. Поэтому по неравенству С.Н. Бернштейна, 
(6.12)Заметим теперь, что, в силу определения последовательности {nl},
и 
для 
Поэтому, пользуясь ещё монотонностью последовательности {Fn}2 находим, что для
(6.13)При помощи (6.11), (6.12) и (6.13) находим окончательно:
и лемма доказана.
Теорема 8. Для любого натурального k и любого
(6.14)Доказательство. Имеем
Отсюда, по лемме 10,
Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем:
Если
, то 
. Кроме того, 
Поэтому для
и теорема доказана.
Мы обращаемся теперь к рассмотрению вопроса о том, при каких ограничениях на {En} условие (6.4) влечёт
Теорема 9. Зададим натуральное число k; пусть
и 
. Для того чтобы 
, необходимо и достаточно выполнение условия 
(6.15)Доказательство. Необходимость условия (6.15) вытекает из теоремы 1. Докажем его достаточность. Согласно теореме 8, для
Положим здесь
и заметим, что тогда 
для 
и, в силу условия , 
Поэтому для
и теорема доказана.
Следствие 9.1. Пусть
и . Тогда для всех натуральных 
классы 
эквивалентны.Следствие 9.2. Пусть
и . Если 
то для любого фиксированного натурального
равномерно относительно n.
Рассмотрим теперь следующий вопрос. как связаны приближения функции f с приближениями и дифференциальными свойствами её производных f (r)?
Теорема 10. Зададим натуральное число r, и пусть
(6.16)где
(6.17)Тогда f имеет непрерывную производную f(r) и
(6.18)С.Н.Бернштейн [3] доказал такую теорему: если ряд
сходится, то функция f имеет непрерывную производную f (r). Рассмотрение этого доказательства С.Н.Бернштейна показывает, что на самом деле им установлено следующее, более общее предложение: пусть выполнены условия (6.16) и (6.17). Тогда функция f имеет непрерывную производную f(r) и 
равномерно относительно x. В ходе доказательства теоремы 10 мы вновь установим это предложение.Доказательство.
при 
. Поэтому 
равномерно относительно x. Отсюда следует, что если {nk} (k=0,1,2,...) есть возрастающая последовательность номеров, то 
Зафиксируем натуральное число n и положим
Тогда будем иметь
(6.19)где
Докажем, что формулу (6.19) можно продифференцировать почленно r раз, т.е.
(6.20)Для этого достаточно установить, что ряд справа равномерно сходится. Прежде всего, оценим
. Имеем 
откуда
Оценим теперь
. По неравенству С.Н.Бернштейна, 
Пользуясь этой оценкой, получаем:
