Д
(I.1)
где функцииаi(t)(i=0,1,2)разлагаютсяв степеннойряд в окрестноститочки t0с радиусамисходимостиri:
i=0,1,2
необходимонайти двалинейно-независимыхрешения 1(t),2(t).Такими решениямибудут, например,решения уравнения(I.1)с начальнымиусловиями:
Решения iбудем искатьв виде степенногоряда:
(I.2)
методомнеопределенныхкоэффициентов.
Для решениявоспользуемсятеоремами.
Еслиp0(x),p1(x),p2(x)являютсяаналитическимифункциями xв окрестноститочки x=x0и p0(x)≠0,то решенияуравненияp0(x)y’’+ p1(x)y’ + p2(x)y= 0 также являютсяаналитическимифункциями внекоторойокрестноститой же точкии, значит, решенияуравнения можноискать в виде: y=l0+ l1(x-x0)+ l2(x-x0)2+ … + ln(x-x0)n+ …
Теорема2: (о разложимостирешения в обобщенныйстепенной ряд)
Если уравнение(I.1) удовлетворяетусловиям предыдущейтеоремы, ноx=x0является нулемконечногопорядка Sфункции a0(x),нулем порядкаS-1 или вышефункции a1(x)(если S>1) инулем порядкане ниже S-2коэффициентаa2(x)(если S>2), тосуществует,по крайнеймере, однонетривиальноерешение уравнения(I.1) в видесуммы обобщенногостепенногоряда:
y= l0(x-x0)k+ l1(x– x0)k+1+ … + ln(x-x0)k+n+ …
где k- некотороедействительноечисло, котороеможет быть какцелым, так идробным, какположительным,так и отрицательным.
Рассмотримуравнение:
a0(t)= t + 2 ; a1(t)= -1; a2(t)= -4t3;a0(t)≠ 0
по теореме 2хотя бы однонетривиальноерешение уравнения(I.3) можетбыть найденов виде суммыобобщенногостепенногоряда
возьмем t0= 0, будем искатьрешение в виде
Опираясь натеорему 1 и,дифференцируяряд (I.4) почленнодва раза, получим
(2+t)(
Вычислим коэффициентыпри соответствующихстепенях:
t0: 4c2– c1=0
t1:
рекуррентноесоотношениеимеет вид
при n=0,
n=1,
n=2, c4=0
n=3,
n=m-2,
Найдем радиусысходимостиR полученныхрешений, общимметодом непредставляетсявозможным,поэтому наоснованиитеоремы осуществованиии единственностирешения.
Которые имеютобласть сходимости(по формулеДаламбера):
а)
б)
Итак, областьсходимости
Синтезуправленияс не более, чемс одним переключениемв управляемойсистеме второгопорядка.
Необходиморассмотретьлинейную управляемуюсистему:
Требуетсяподобратьуправлениеи( ),переводящеефазовую точку(х1,х2)из заданногоначальногосостояния вначало координат(0,0).
Навыбор управленияи( )накладываетсяусловие |и( )|=1 и и() имеет неболее одногопереключения.
III.Малыевозмущениясистемы линейныхуравнений
с действительнымикоэффициентамиаij.
Необходимоисследоватьфазовые кривыеэтой системы:
(1)
Сведем систему(1) к системе вида:
(2)
с помощью замены
Запишемсистему (1) в виде
Подставим
Найдемсобственныезначения матрицыА:
Систему(2) можно записатьв виде:
Изсистемы (5) и (6)следует, что
Подберемматрицу С такую,что
Решивэту систему,получим: a=-2,b=-1, c=1, d=0, т.е.
Поставимматрицу С взамену:
Подставимполученныезначения всистему (2):
При
Этоуравнение малыхколебаниймаятника. Потеореме одифференцируемостипо параметрупри малых решение (наконечном интервалевремени) отличаетсяпоправкойпорядка от гармоническихколебаний:
Следовательно,при достаточномалом = (Т) фазоваяточка остаетсявблизи окружностирадиуса А втечении интервалавремени Т.
При
Подставляязначения
Длявычисленияэнергии заоборот следовалобы проинтегрироватьэту функциювдоль виткафазовой траектории,которая неизвестна.Но виток близокк окружности.Поэтому интегралможно посчитатьс точностьюдо O(
Пусть
Векторскорости кривойнаправлен почасовой стрелке,так как точкас координатами(1,0) переходитв точку (0,-1)
Таккак detC>0, топри замене
ЛизоркинГ.И. Курсобыкновенныхдифференциальныхи интегральныхуравнений.М.: Наука, 1981, Гл.7.§6. С.344-348.
ЭльсгольцГ.Э. Дифференциальныеуравнения ивариационноеисчисление.М.: Наука, 1969, Гл.2.§7.
ПонтрягинЛ.С., БолтянскийВ.Г., ГамкрелидзеР.В., МищенкоЕ.Ф. Математическаятеория оптимальныхпроцессов. М.:Наука, 1969, Гл.1. §5.
БолтянскийВ.Г. Математическиеметоды оптимальногоуправления.М.: Наука, 1969, Гл.1.§3.
ПонтрягинЛ.С. Обыкновенныедифференциальныеуравнения.М.: Наука, 1974, Гл.2.§16.
Арнольд В.И. Обыкновенныедифференциальныеуравнения.М.: Наука, 1975, ГЛ.2.§12. С.73-78,84-85.
programcoefficients;
typemas=array[1..100] of real;beg=array[1..6] of real;
varrez1,rez2:text;
r1,r2:mas;i:integer;r:beg;
procedurecalculate(t:beg;var a:mas);
begin
fori:=1 to 6 do a[i]:=t[i];
fori:=7 to 100 do
a[i]:=2*a[i-5]/(i*(i-1))+a[i-1]*(1-i)/(2*i)
end;
begin
assign(rez1,'rez1.txt');
rewrite(rez1);
assign(rez2,'rez2.txt');
rewrite(rez2);
r[1]:=1;r[6]:=1/10;
calculate(r,r2);
r[1]:=0;r[2]:=1;r[3]:=1/4;r[6]:=0;
calculate(r,r1);
fori:=1 to 25 do begin
writeln(rez1,' ',r1[i],' ',r1[i+25],' ',r1[i+50],' ',r1[i+75]);
writeln(rez2,' ',r2[i],' ',r2[i+25],' ',r2[i+50],' ',r2[i+75]);
end;
close(rez1);close(rez2);
end.
0.0000000000E+00 -8.1624958212E-09 2.6771846582E-17 -3.2491066259E-25
1.0000000000E+00 4.0882043248E-09 -1.2724159976E-17 1.5836707627E-25
2.5000000000E-01 -1.9312581703E-09 6.0587809612E-18 -7.7230912899E-26
0.0000000000E+00 8.7931901201E-10 -2.8899594137E-18 3.7682040069E-26
0.0000000000E+00 -3.9113365760E-10 1.3806999533E-18 -1.8394445248E-26
0.0000000000E+00 1.7170446696E-10 -6.6063798253E-19 8.9833955968E-27
4.7619047619E-02 -7.4927003757E-11 3.1655138993E-19 -4.3892344328E-27
-1.1904761905E-02 3.2670558317E-11 -1.5188147944E-19 2.1454810957E-27
5.2910052910E-03 -1.4287416203E-11 7.2964561538E-20 -1.0491602917E-27
-2.3809523810E-03 6.2822346640E-12 -3.5094186285E-20 5.1325610907E-28
1.0822510823E-03 -2.7813172998E-12 1.6898431516E-20 -2.5118617002E-28
2.2546897547E-04 1.2405702723E-12 -8.1455391475E-21 1.2297620795E-28
-2.5668775669E-04 -5.5748878718E-13 3.9303541430E-21 -6.0228905014E-29
1.7731937375E-04 2.5231583802E-13 -1.8982784409E-21 2.9508171556E-29
-1.0542477804E-04 -1.1494982403E-13 9.1766487366E-22 -1.4461997657E-29
5.8436623727E-05 5.2681234526E-14 -4.4400237356E-22 7.0901975787E-30
-2.5841727522E-05 -2.4272611542E-14 2.1500363892E-22 -3.4771871308E-30
1.0525340241E-05 1.1236692030E-14 -1.0419555735E-22 1.7058202580E-30
-3.9487320804E-06 -5.2239376878E-15 5.0533583057E-23 -8.3708571981E-31
1.3207804853E-06 2.4378141584E-15 -2.4525851909E-23 4.1089817635E-31
-3.5067345145E-07 -1.1415093557E-15 1.1911535700E-23 -2.0175412562E-31
5.5497924241E-08 5.3615711160E-16 -5.7889316226E-24 9.9090274547E-32
1.5059649832E-08 -2.5253197948E-16 2.8151673613E-24 -4.8680681263E-32
-2.1523082502E-08 1.1924700892E-16 -1.3698530670E-24 2.3921919191E-32
1.4733681219E-08 -5.6440981997E-17 6.6695603490E-25 -1.1758340267E-32
1.0000000000E+00 1.7987642729E-08 -4.5312164317E-17 5.4992078518E-25
0.0000000000E+00 -8.3840108994E-09 2.1536019548E-17 -2.6804090156E-25
0.0000000000E+00 3.7670469949E-09 -1.0254665309E-17 1.3071557555E-25
0.0000000000E+00 -1.6526367936E-09 4.8913410547E-18 -6.3777953290E-26
0.0000000000E+00 7.1493015948E-10 -2.3368750685E-18 3.1133135776E-26
1.0000000000E-01 -3.0725084549E-10 1.1181490949E-18 -1.5204659400E-26
-4.2857142857E-02 1.3192138050E-10 -5.3577247549E-19 7.4289074616E-27
1.8750000000E-02 -5.6827322754E-11 2.5706384024E-19 -3.6312894115E-27
-8.3333333333E-03 2.4632088817E-11 -1.2349465142E-19 1.7757344336E-27
3.7500000000E-03 -1.0762594132E-11 5.9397935216E-20 -8.6870095383E-28
1.1363636364E-04 4.7441168372E-12 -2.8601088852E-20 4.2513992844E-28
-7.0143398268E-04 -2.1098685807E-12 1.3786562892E-20 -2.0814082337E-28
5.6412337662E-04 9.4633740966E-13 -6.6522391701E-21 1.0193918067E-28
-3.5348951644E-04 -4.2779448863E-13 3.2128916989E-21 -4.9943442121E-29
2.0067606005E-04 1.9475161560E-13 -1.5531745983E-21 2.4477353385E-29
-9.3119933452E-05 -8.9215279760E-14 7.5148698397E-22 -1.2000366465E-29
3.8663542340E-05 4.1095067060E-14 -3.6389993788E-22 5.8852407672E-30
-1.4570702990E-05 -1.9021691211E-14 1.7635402376E-22 -2.8871506037E-30
4.8347217880E-06 8.8424759764E-15 -8.5529565117E-23 1.4167920272E-30
-1.2403030595E-06 -4.1262694515E-15 4.1510720614E-23 -6.9545716342E-31
1.4719225001E-07 1.9320856329E-15 -2.0160622039E-23 3.4147474967E-31
9.7123795568E-08 -9.0747292577E-16 9.7979358322E-24 -1.6771318352E-31
-1.0404222235E-07 4.2742041848E-16 -4.7647529737E-24 8.2393474718E-32
6.7370672802E-08 -2.0182966417E-16 2.3185163214E-24 -4.0488546850E-32
-3.6472266477E-08 9.5528152219E-17 -1.1288425670E-24 1.9901334294E-32