Интеграл Лебега (стр. 6 из 7)
где, как и выше, [ 
, 
] есть сегмент, содержащий точку х0. Существование такого i0следует из условияli® 0.
Для таких i будет
³ md(x0) > h,
или, что то же самое,
ji(x0) > h.
Итак, для всякого h<m(x0) найдется такое i0, что при i>i0
h <ji(x0) £ m(x0),
а это и значит, что ji(x0) ®m(x0). Лемма доказана.
Следствие 1.Функции Бэра т(х) и М(х) измеримы.
В самом деле, множество точек деления { 
} счетно и, стало быть, имеет меру нуль. Поэтому лемма означает, что ji(x) ®m(x) почти везде.
Но ji(x) измерима, ибо это ступенчатая функция, значит измерима я функция т(x). Для верхней функции Бэра М(х) рассуждение аналогично.
Следствие 2. Если в условиях леммы исходная функция f(x)ограничена, то
(L) 
® (L) 
.
Действительно, если
£K, то, очевидно, 
£K, 
£K,откуда прежде всего следует, что эти функции интегрируемы (L), после чего остается сослаться на теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
Перефразируем теперь следствие 2. Для этого заметим, что
(L) = 
= 
= si,
где siесть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробления. Таким образом, следствие 2 означает, что при i®¥
si® (L) .
Аналогично можно установить, что верхняя сумма Дарбу Si при возрастании iстремится к интегралу от верхней функции Бэра
Si® (L) 
.
Но в таком случае
Si - si ® (L) 
.
С другой стороны, в курсе Анализа устанавливается, что для того, чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R), необходимо и достаточно, чтобы было Si – si® 0.
Сопоставляя это со сказанным выше, мы видим, что для интегрируемости (R) функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы было
(L) = 0. (1)
Условие (1) во всяком случае выполнено, если разность М(х) - т(х) эквивалентна нулю, но так как эта разность неотрицательна, то и обратно из (1) следует, что
т(х) ~ М(х). (2)
Итак, интегрируемость (R) ограниченной функции f(x) равносильна соотношению (2).
Сопоставив этот результат с теоремой 1, получаем следующую теорему.
Теорема 2 (А. Лебег). Для того чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R),необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна почти везде.
Эта замечательная теорема представляет собой наиболее простой и ясный признак интегрируемости (R). В частности, она оправдывает сделанное в пункте 2 замечание, что интегрируемыми (R) могут быть только «не очень разрывные» функции.
Допустим теперь, что функция f(x) интегрируема (R). Тогда она необходимо ограничена и почти везде будет
т(х) = М(х).
Но ведь
т(х) £f(x) £ М(х).
Значит, почти везде
f(x) = m(x),
и f(x), будучи эквивалентна измеримой функции т(х), измерима сама. Так как всякая ограниченная измеримая функция интегрируема (L), то такова же и f(x), т. е. из интегрируемости какой-нибудь функции в смысле Римана вытекает ее интегрируемость в смысле Лебега.
Наконец, из эквивалентности функций f(x) и т(х) следует, что
(L) 
= (L) .
Но, как известно из курса Анализа, в условиях основной леммы для интегрируемой (R) функции f(x) будет
si® (R) ,
где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-муспособу дробления. Сопоставляя это с тем, что, как показано нами,
si® (L) ,
мы видим, что
(R) = (L) .
Таким образом, имеет место
Теорема 3. Всякая функция, интегрируемая (R), необходимо интегрируема и (L), и оба ее интеграла равны между собой.
В заключение отметим, что функция Дирихле y(x) (равная нулю в иррациональных и единице в рациональных точках) интегрируема (L) (ибо она эквивалентна нулю), но, как мы видели в пункте 2, не интегрируема (R), так что теорема 3 не обратима.
6. Примеры
1) Вычислить интеграл Лебега от функции
на интервале (1; 2).Строим срезку
N, f(x) ³N,
fN(x) =
f(x), f(x) < N.
= N,
x = 1 + 
.
= 
,
= 
+ 
= Nx 
+ 
= N 
- N + 
-
- 
= 
+ - = - 
+ ,
= 
= ,
(L) 
= .
2) Суммируемы ли функции
и 
на интервале (0; 1).f(x) = .
Строим срезку
= N,
x = 
.
= 
+ 
= 
+ 
= 1 - 
= 1 + 
,