Интеграл Лебега (стр. 3 из 7)

Выберем какую-нибудь определенную верхнюю сумму S₀. Так как для всякой нижней суммы sбудет s£S₀, то множество {s} всех нижних сумм Лебега оказывается ограниченный сверху. Пусть Uесть его точная верхняя граница U = sup{s}.

Тогда, ясно, что

U£S₀.

Ввиду произвольности суммы S₀, последнее неравенство доказывает, что множество {S} всех верхних сумм Лебега ограничено снизу. Назовем через Vего точную нижнюю границу

V = inf{S}.

Очевидно, при любом способе дробления будет

S £ U £ V £ S.

Но, как мы отмечали, S – s£lmE, откуда

0 £V – U£lmE

и, так как lпроизвольно мало, то

U = V.

Определение. Общее значение чисел Uи Vназывается интегралом Лебега функции f(x) по множеству Е и обозначается символом

(L)

В тех случаях, когда смешение с другими видами интеграла исключено, пишут просто

В частности, если Е есть сегмент [а, b], употребляют символы

(L)

Из сказанного выше следует, что каждая измеримая ограниченная функция интегрируема в смысле Лебега, или, короче, интегрируема (L). Уже из этого замечания видно, что процесс интегрирования (L) приложим к гораздо более широкому классу функций, чем процесс интегрирования (R). В частности, совершенно отпадают все вопросы, связанные с признаками интегрируемости, которые для интегралов (R) имеют сравнительно сложный характер.

Теорема 1.Если l® 0, то суммы Лебега s и S стремятся

к интегралу

Теорема непосредственно вытекает из неравенств

S £

£ S, S – s £l× mE.

Из этой теоремы, между прочим, следует, что значение интеграла Лебега, которое в силу самого определения его связано с числами А и В, насамом деле от них не зависит.

Действительно, допустим, что

A < f(x) < В, A < f(x) <B*,

причем В* < В. Раздробим сегмент [А, В] на части

A = у₀ < у₁ < ¼ < y_n= В,

причем включим и точку В* в число точек деления В* = у_т.

Если мы составим множества e_k, то легко убедиться, что

e_k = 0(k ³ m).

Значит,

s =

=

= s*,

где s* есть нижняя сумма Лебега, построенная, исходя из сегмента [А, В*]. Сгущая точки дробления и переходя к пределу, найдем, что

I = I*,

где I и I* суть значения интегралов Лебега, отвечающие сегментам [А, В] и [А, В*]. Таким образом, изменение числа В не отражается на величине интеграла. То же относится и к числу А. Этот факт весьма существенен, ибо только теперь определение интеграла оказывается освобожденным от случайного характера выбора точек А и В.

3. Основные свойства интеграла

В этом параграфе мы установим ряд свойств интеграла от ограниченной измеримой функции.

Теорема 1. Если измеримая функция f(x)на измеримом множестве Е удовлетворяет неравенствам a£f(x) £b, то

a× mE £

£ b× mE.

Это теорема обычно называется теоремой о среднем.

Доказательство. Пусть n натуральное число. Если мы положим

A = a -

, B = b +

,

то окажется, что

A<f(x) <B,

и суммы Лебега можно будет составлять, дробя сегмент [А, В].

Но еслиA£y_k£B, то, очевидно,

A

£

£B

или, что то же самое,

A× mE £ s £ B× mE,

откуда и в пределе

mE£

£

mE.

В силу произвольности числа n, теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий.

Следствие 1.Если функция f(x) постоянна на измеримом множестве Е и f(x) = с, то

= c×mE.

Следствие 2.Если функция f(x) не отрицательна (не положительна), то таков же и ее интеграл.

Следствие 3.Если тЕ =0, то для любой ограниченной функции f(x), заданной на множестве Е, будет

= 0.

Теорема 2. Пусть на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f(x). Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества попарно не пересекающихся измеримых множеств

E =

(E_k

= 0, k ¹ k^’),

то

=

Свойство интеграла, выражаемое этой теоремой, называется его полной аддитивностью.

Доказательство. Рассмотрим сначала простейший случай, когда число слагаемых равно двум

Е =

+

(

= 0).

Если на множестве Е

A < f(x) < B

и мы, раздробив сегмент [А, В] точками у₀, y₁,¼, у_n, составим множества

e_k = E(y_k £ f < y_k+1),

e_k^’= E’(y_k £ f < y_k+1),

e_k^’’= E’’(y_k £ f < y_k+1),

то, очевидно, будем иметь

e_k = e_k^’ + e_k^’’ (e_k^’e_k^’’ = 0),

откуда

=

+

н в пределе, приl® 0,

= +

Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств. Пользуясь методом математической индукции, мы легко распространим теорему на случай любого конечного числа слагаемых множеств.

Остается рассмотреть случай, когда

E =

.

В этом случае

= mE,

так что при n®¥будет

® 0. (*)

Заметив это, положим

= R_n.

Так как для конечного числа слагаемых множеств теорема уже доказана, то

=

+

.

В силу теоремы о среднем

A× mR_n£

£ B× mR_n,

а в силу (*) мера mR_n множества R_n стремится к нулю с возрастанием n, откуда ясно, что

® 0.

Но это и означает, что