Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике (стр. 4 из 13)
Теорема доказана.
Число k называют индексом подгруппы Н в группе G и обозначают [G:H]. Из доказательства теоремы Лагранжа мы получаем, что имеет место равенство |G|=|H|[G:H].
Так как порядок циклической подгруппы, порожденной перестановкой
, совпадает с порядком перестановки 
, то из теоремы Лагранжа получаем, что порядок любой перестановки из G – делитель |G|.Теорема Лагранжа позволяет существенно упростить решение задачи описания всех подгрупп данной группы. Например, собственные подгруппы из симметрической группы S3 могут состоять из двух и трех перестановок (делители числа 3!=6), поэтому не нужно непосредственно проверять являются ли подгруппами группы S3 подмножество, состоящее из 4 или 5 перестановок. А ведь эта проверка длинная, так как есть
подмножество из S3, состоящие из 4 или 5 элементов. Таким образом, даже на одном этом примере видно, насколько существенным может быть применение теоремы Лагранжа.1.5. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА
Сформулируем некоторые непосредственные следствия из теоремы Лагранжа о порядках подгрупп.
Теорема: если порядок группы G есть простое число, то:
1) группа G не имеет собственных подгрупп;
2) группа G является циклической.
Доказательство.
Утверждение 1) следует непосредственно из теоремы Лагранжа и определения простого числа.
Для доказательства утверждения 2) обозначим через
любой отличный от Е элемент группы G простого порядка.Если порядок
равен n, то 
и n>1. Множество 
, n-1>0, составляет циклическую группу n-го порядка в группе G, так что Н – подгруппа данной группы G простого порядка. По теореме Лагранжа порядок n этой подгруппы является делителем числа р. Так как 
, то n=p. Но Н – подгруппа группы G. Следовательно, Н совпадает с группой G. Это доказывает утверждение 2).Теорема доказана.
Из теоремы Лагранжа следует только то, что если в группе G есть подгруппа Н, то порядок группы G кратен порядку группы Н. Но для нас остается открытым вопрос, верно ли обратное утверждение: если порядок группы G равен g, а h – делитель числа g, то обязательно ли группа G имеет подгруппу порядка h? Для доказательства того факта, что это обратное утверждение не верно можно использовать знакопеременную группу А4. Эта группа имеет порядок 12, но в ней нет подгрупп порядка 6. Таким образом, утверждение, обратное к теореме Лагранжа, не верно.
Однако некоторое достаточное условие для того, чтобы группа G порядка g имела подгруппу порядка h, где h – делитель числа g, указывается в следующей теореме Силова.
Теорема Силова: пусть G – группа порядка g и h – делитель числа g; если h=pn, где р – простое число, а n – положительное целое число, то G содержит подгруппу порядка h.
Теорема Силова существенно облегчает процесс нахождения подгрупп некоторой группы. Так, например, порядок группы А4 равен 12; простыми делителями числа 12 являются 2 и 3. По теореме Силова мы можем утверждать, что знакопеременная группа А4 содержит подгруппы порядка 2, 3 и 4=22, но мы все равно ничего не можем сказать о подгруппе порядка 6.
Исходя из всего выше описанного, можно сделать вывод о том, что теорема Лагранжа и непосредственные следствия из этой теоремы играют важную роль в теории групп. Они очень часто применяются как в самой теории групп, так и во всех ее приложениях.
1.6. ЗАДАЧИ
1. Описать все подгруппы симметрической группы S3.
Решение.
Порядок группы S3 равен 3!=6. из теоремы Лагранжа следует, что собственные подгруппы из S3 могут состоять из двух или трех перестановок. Следовательно, подмножества S3, состоящие из четырех или пяти перестановок, подгрупп не образуют.
1) Опишем сначала подгруппы, которые состоят из двух перестановок. Если Н – такая подгруппа, то в нее входит элемент Е и еще какой-то другой элемент
, то есть 
.Элемент обратный к
не может совпадать с Е, поэтому 
. Последнее равенство можно записать так: 
, то есть Е= 
. Следовательно, а – перестановка второго порядка, то есть цикл длины 2.Таким образом, существует не больше трех подгрупп второго порядка группы S3. эти подгруппы легко находятся с помощью таблицы Кэли. Это будут такие подмножества:
, 
, 
. Легко убедиться, что подмножества А, В и С действительно являются подгруппами группы S3, так как для каждого из них выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп.Для подмножества А:
Для подмножества В:
Для подмножества С:
2) Теперь опишем подгруппы, которые состоят из трех перестановок. Если
- такая подгруппа, то перестановки 
и 
должны иметь порядок 3. действительно, если одна из них, например , имеет порядок 2, то = -1. Пусть 
, тогда 
и 
. Тогда 
Следовательно, получили противоречие, так как у нас и различны. Значит, 
, то есть перестановка тоже будет иметь порядок 2. но легко проверить непосредственно, что произведение любых двух перестановок второго порядка является перестановка третьего порядка. Например, 
.Следовательно, произведение
* не принадлежит G и G тогда не является подгруппой.Таким образом, перестановки
и должны иметь порядок 3, то есть 
, где 
,