Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике (стр. 2 из 13)

В жизни современного общества очень важную роль играет математика. В настоящее время математика находит широкое применение при решении самых разнообразных проблем науки и практики. Особенно велика роль современной математики.

Одной из наиболее важных и быстро развивающихся областей современной математики является абстрактная алгебра.

В центре внимания современной абстрактной математики не только такие алгебраические структуры, как группы, подгруппы, полугруппы, кольца и так далее, ставшие уже классическими, и их далеко идущие обобщения, но и объекты новой природы [27].

Одним из основных разделов современной алгебры является теория групп. Группы – это один из основных типов алгебраических структур.

Понадобилась работа нескольких поколений математиков, занявшая в общей сложности около ста лет, прежде чем идея группы вы кристаллизировалась с ее сегодняшней ясностью.

Теория групп начала оформляться в качестве самостоятельного раздела математики в конце XVIII века. В течение первый десятилетий XIX века она развивалась медленно и практически не привлекала к себе внимания. Но затем, около 1830 года, благодаря работам Галуа и Абеля о разрешимости алгебраических уравнений всего за несколько лет она совершила гигантский скачок, который оказал глубокое влияние на развитие всей математики. С тех пор основные понятия теории групп стали детально исследоваться [3].

В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применения как в самой математике, так и за ее пределами – в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания.

Понятие группы тесно связано с понятием подгруппы. Слово «подгруппа» означает «группа внутри группы».

Понятие подгруппы является основным в теории групп. Все содержание теории связано в большей или меньшей степени с вопросами о наличии в группе подгрупп с теми или иными специальными свойствами, о группах, которые могут быть вложены в данную группу, о тех или иных свойствах, характеризующих взаимное расположение подгрупп в группе, о способах построения группы по ее подгруппам. Кроме того, с помощью подгрупп можно описать внутреннюю структуру некоторых групп. Выделение тех или иных специальных типов групп также связано преимущественно с понятием подгруппы. Поэтому подгруппы играют особую роль в развитии и применении теории группы [3], [8].

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение: множество перестановок n-й степени образует по умножению группу, притом конечную порядка n!. Эта группа называется симметрической группой n-й степени и обозначается S_n.

Определение: подмножество Н множества S_n называется подгруппой группы S_n, если оно является группой относительно действия умножения перестановок.

Такие подмножества играют важную роль для изучения строения группы S_n.

Симметрическая группа S_n имеет много разных подгрупп, причем их число очень быстро возрастает с увеличением числа n. Полностью описать все подгруппы группы S_n удается лишь для небольших n, а для n больших изучаются лишь общие свойства таких подгрупп.

Часто подгруппы симметрической группы S_n называют просто группами перестановок. В частности, само множество S_n также является своей подгруппой, то есть группа S_n будет подгруппой самой себя. Кроме того, множество состоящее лишь из одного единичного элемента, также является подгруппой, это вытекает из следующих равенств: E*E=E, E^-1=E. Такая подгруппа называется единичной. Для каждой другой подгруппы Н группы S_n выполняется неравенство: 1<|H|<n!.

Единичная подгруппа и вся группа называются несобственными подгруппами, а все остальные подгруппы называются собственными.

В основном нас будут интересовать собственные подгруппы групп.

1.2. ТЕОРЕМЫ О ПОДГРУППАХ

Для каждого подмножества множества S_n, которое является подгруппой, должны выполняться все требования определения группы. Но проверять все эти требования не нужно, так как справедлива следующая теорема о подгруппах.

Теорема: подмножество Н группы S_n, которое содержит по меньшей мере одну перестановку, является подгруппой группы S_n тогда и только тогда, когда:

1)вместе с каждыми двумя элементами

в него входит их произведение ;

2)если

, то .

Доказательство.

Необходимость.

Действительно, если Н – подгруппа группы S_n, то она замкнута относительно действия упражнения перестановок, которые принадлежат Н, то есть выполняется условие 1). Каждый элемент из Н имеет обратный, следовательно, выполняется условие 2).

Достаточность.

Пусть для множества Н перестановок выполняются условия 1) и 2). Проверим, имеет ли множество Н все свойства группы. Условие 1) означает, что множество Н замкнуто относительно действия умножения своих элементов следовательно, выполняются первое требование определения группы. Ассоциативность действия умножения перестановок Н имеет место, так как умножение произвольных перестановок (в частности, и тех, которые принадлежат Н) имеет такое свойство. Тождественная перестановка также должна принадлежать множеству Н. Действительно, Н содержит хоть одну перестановку, например

, а тогда Н принадлежит по условию 2) и перестановка . Поэтому по условию 1) Н принадлежит перестановка . Наконец, условие 2) показывает, что каждый элемент из Н имеет обратный, который также принадлежит Н. Следовательно, Н является подгруппой группы S_n.

Теорема доказана.

Пример 1.

Пусть Н – множество перестановок

, , , .

Проверим, является ли Н подгруппой группы S₄.

Имеем:

, следовательно, для множества Н выполняется условие 2) только что доказанной теоремы. Проверим выполнение условия 1) теоремы.

Следовательно, произведение каждых двух элементов множества Н является элементов того же множества, то есть для Н выполняется и условие 1) упомянутой выше теоремы.

Таким образом, подмножество Н является подгруппой группы S₄.

Пример 2.

Пусть Т – множество перестановок

, , , .

Проверим, является ли Т подгруппой группы S₄.

Оказывается, что множество Т не является подгруппой группы S₄, так как для него не выполняется ни одно из условий 1), 2) теоремы о подгруппах. Действительно,

, так как , .

Следует отметить, что сформулированная выше теорема справедлива для бесконечных групп. В случае конечных групп проверка условия 2) является излишней, то есть для конечных групп справедлива следующая теорема о подгруппах.

Теорема: пусть

- группа, Н - ее конечное подмножество и оно замкнуто относительно умножения. Тогда Н – подгруппа группы G.

Доказательство.

Докажем замкнутость Н относительно существования обратного элемента.

Возьмем произвольный элемент

. Если , то и .