Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике (стр. 13 из 13)
2. Является ли операция умножения алгебраической операцией на множестве действительных чисел.
3. Дана подгруппа <Z, +>, в ней нашелся элемент –5 такой, что выполняется соотношение: 5+(-5)+5=5. Является ли элемент 5 регулярным в подгруппе <Z, +>.
4.
. Из предложенных ниже последовательностей выберите те, которые являются словами над алфавитом X.а)
б) 
в)
г) 
д)
е) 
ж)
5. В подгруппе <M, *> выполнено равенство
. Является ли элемент b правым делителем элемента 
.6. Пусть <Q, +> - группа, <Z, +> - группа. Является ли <Z, +> подгруппой группы <Q, +>. Обоснуйте ответ.
7. Какие из следующих преобразований являются перестановками:
а)
б) 
в)
г) 
.Задания второго уровня
1. Множество
, где 
. Образует ли множество М относительно операции «*» полугруппу.2. Из операций (+, -, *, /) укажите только те, которые являются алгебраическими в каждом из числовых множеств (N, Z, Q, R).
3. Дана полугруппа <Q|{0}, *>. Проверить, будет ли данная полугруппа регулярной.
4. u, v, w – слова над алфавитом
, 
, 
, 
. Из предложенных ниже последовательностей выберите те, которые являются словами, равными u*(w*v), (u*w)*v:а)
б) 
в)
г) 
.5. На множестве
заданы произведения u*v=E и w*u=E, u=x2x1 
. Найдите слова v и w, удовлетворяющие произведениям.6. Дано множество
. Являются ли группами <M, +>, где «+» операция сложения и <M, *>, где «*» операция умножения.7. Доказать, что подмножество
, где 
является подгруппой группы S3.8. Действия в полугруппе
задано таблицей Кэли: | a | b | c | |
| a | a | b | c |
| b | a | b | c |
| c | a | b | c |
Верно ли утверждение, что каждый элемент подгруппы делится на каждый элемент из этой же полугруппы слева.
9. Определите, является ли полугруппой множество <R, *>, если
.10. Решите уравнение:
.Задания третьего уровня
1. Всякая ли регулярная полугруппа является инверсной. Ответ обосновать.
2. Приведите пример полугруппы преобразований, состоящей из трех элементов.
3. Как вы думаете, будет ли свободная полугруппа свободной группой. Обоснуйте ответ.
4. Пусть Н –множество перестановок
, 
, 
, 
. Проверьте, является ли Н подгруппой группы S4.5. Действие в полугруппе
задано таблицей Кэли: | * | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
Что можно сказать о делимости элементов в полугруппе.
7. Дана перестановка u1=
. Найдите 
, 
. Покажите, что множество 
является группой перестановок (по таблице Кэли).8. Задайте во множестве R операцию *, по которой числа 2 и 3 можно поставить в соответствие число m и проверить, является ли <R, *> полугруппой:
а) m=2 б) m=1 в) m=
.Задание четвертого уровня
1. Придумайте фигуру для которой можно составить группу симметрий, имеющей 4 элемента.