103. Три окружности проходят через точку М и попарно пересекаются в точках А, В, С. Прямая, проходящая через точку А, пересекает две окружности в точках О и Е. Докажите, что прямые ВВ и ЕС пересекаются на третьей окружности (рис. 32).
104. Из всех параллелограммов около окружности можно описать только ромб. Докажите.
105. Около окружности с центром О описан четырехугольник АВСВ. Докажите, что ^ 'АОВ + ^- СОВ = ^ ВОС + ^ АОВ.
106. Около окружности описан четырехугольник АВСВ, его стороны касаются окружности в точках К, Ь, М, N. Можно ли по углам А, В, С определить углы четырехугольника кьмт
107. Три стороны описанного четырехугольника 23, 26 и 53 см. Определите длину четвертой стороны.
108. Точки касания делят стороны АВ, ВС, СО описанного четырехугольника в отношениях 1:2, 3:4, 3:5. В каком отношении делится точкой касания сторона АО'1
Прямоугольные координаты
109. Радиус окружности 3. Сколько точек с целочисленными координатами может оказаться внутри окружности?
110. Шахматная доска расчерчена на равные квадраты. Считая сторону квадрата равной 1 и приняв две из начерченных линий за координатные оси, определите, сколько на доске точек с целочисленными координатами.
111. Решите задачу 110 для стоклеточной доски (для международных шашек).
112. Тетрадный лист разграфлен на квадраты со стороной 0,5 см. Размеры листа 164 X 203 мм. Две из построенных прямых приняты за оси координат, в качестве единицы взят 1 см. Сколько на этом листе точек с целочисленными координатами?
113. Найдите координаты вершин треугольника, если координаты середин его сторон (4; 5), (6; 4), (8; 8).
114. Если у четырехугольника АВСВ х^ + Хс == Хд + Хц иУл 4- Ус ==' Ув + Ув > то этот четырехугольник — параллелограмм. Докажите.
115. Если у трапеции суммы абсцисс концов боковых сторон одинаковы, то средняя линия трапеции перпендикулярна оси абсцисс. Докажите.
116. Даны графики у = х2 + 5 и у = х2 — 5. Докажите, что можно построить отрезок, параллельный оси абсцисс, у которого концы находятся на данных графиках, а длина менее 0,01.
Параллельный перенос
117. Вершины треугольника находятся в точках (—1; 1), (11; 1), (11; 6). В результате параллельного переноса центр описанной окружности переместился в точку (8; 7). В какие точки переместились вершины треугольника?
118. Какой параллельный перенос нужно выполнить, чтобы
, 4ж + 2 - , 10, вместо графика у = ———— получить график у == — —'
119. Постройте четырехугольник по длинам всех его сторон и расстоянию между серединами двух противоположных сторон.
120. Постройте четырехугольник по трем сторонам и углам при четвертой стороне.
121. Постройте равносторонний треугольник периметра Р, имеющий две вершины на двух данных параллельных прямых, а третью — на данной окружности.
122. Постройте квадрат со стороной а, у которого концы одной стороны находятся на двух данных параллельных прямых, а центр — на данной окружности.
123. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных параллельных прямых, а четвертая — на данной окружности.
124. Даны две окружности и прямая I. Постройте прямую, параллельную I, на которой данные окружности отсекают равные отрезки.
125. АВ — диаметр полуокружности, СО — хорда, не параллельная АВ. Найдите на полуокружности такую точку М, чтобы прямые М.А и МВ пересекали СО в точках, расстояние между которыми равно а.
Сложение векторов
126. Векторы ОМ и МТ равной длины взаимно перпендикулярны. Зная, что Т (7; 17), найдите координаты векторов.
127. Длины векторов АВ и АС равны. Докажите, что вектор АВ + АС лежит на биссектрисе угла ВАС или параллелен ей.
128. МА, МВ, МС — радиусы окружности. Известно, что МА + МВ + МС = 0. Найдите углы между радиусами.
129. Четырехугольник АВСВ вписан в окружность с центром М. Зная, что МА + МВ + МС + МВ == 0, определите вид четырехугольника.
130. Докажите, что вектор а (8; 8) коллинеарен Ь -\- с,
если Ъ (5; 12), с (12; 5).
131. В окружность радиуса 6 см вписан прямоугольник АВСВ, М — точка этой окружности. Найдите длину вектора
МА + МВ + МС + МВ.
132. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС. Зная, что. ОМ == 18 см, найдите длину вектора МА + МВ + МС.
133. Докажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны медианам треугольника АВС.
134. На плоскости даны точки А, В, С, В, Е, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно построить пятиугольник, стороны которого равны АС, ВО, СЕ, АВ, ВЕ.
135. АВСВ — параллелограмм. Точка М не принадлежит ни одной прямой, содержащей сторону параллелограмма. Докажите, что можно построить четырехугольник, длины сторон которого МА, МВ, МС, МВ.
Умножение вектора на число
136. Шесть точек соединены последовательно отрезками АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР, РА. Середины этих отрезков — Ао, Во, Со, Во, Ео, ро.Докажите, что для любой точки Г: ТАо + ТСо + +ТЕо=~ТВо+~ТВо+ТР~о.
137. АВСВ — четырехугольник, у которого сумма расстояний между серединами противолежащих сторон равна ^половине периметра четырехугольника. Докажите, что АВСВ — параллелограмм.
138. Докажите, что, если М — точка пересечения медиан
треугольника АВС, то СМ == ^-(са + СВ}.
139. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что для любой точки Т: ТМ = -^-(ТА + ТВ + ГС").
о
140. Точка С лежит между А и В, причем АС'.СВ = пг:п. Докажите, что для любой точки Т:
ТС = —"-— ТА + —"——ТВ.
т + п т + п
141. На сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС соответственно взяты такие точки С\, А\, В\, что АС\ '. С\В = = ВА\ '. А\С == СВ\ '. В\А. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВС и точка пересечения медиан треугольника Д^С! совпадают.
142. АВСВ и А\В\С\В\ — параллелограммы. Верно ли, что середины отрезков АА\, ВВ\., СС\, ВВ\ являются вершинами параллелограмма?
Косинус угла
143. Докажите, что если а ф Ъ и аЪ ~> О, то существует ост-
2аЬ рыи угол, косинус которого равен —з . ^ •
144. Докажите, что при любом действительном п =И= 1 существует острый угол, косинус которого равен "
2я2 — 2п + 3
Теорема Пифагора
+ 145. Докажите, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба его гипотенузы. ^ 146. Докажите, что если Ь2 + с2 == 2о2, то существует прямо-
„ & Ч- с Ь — с угольный треугольник, длины сторон которого а, —-—, —„—
&» ^
147. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с кате-
, „ л 1 _- а2 , б2 „ 2
тами а, Ь и гипотенузой с: а) —^ —а——г + -тт-—г ^ т-!
А (I -{- С О -\- С О
2 ^ о2 , Ь2 ^, ,. _<, в3 | Ь3 , 5
Й\ " ^- " 1 и ,-- 1 . ^. " 1 " ^- "
б) Т ^ Т^ТТ- -г- ^ч~7 < - ' В; ^Т^ + ^Т^ < I»
148. Докажите, что сумма катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы.
149. Сумма углов при стороне АВ выпуклого четырехугольника АВСВ равна 90°. Докажите, что ВС2 + АВ2 == АС2 + ВВ2. ^ 150. Докажите, что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника в полтора раза больше квадрата его гипотенузы.
151. Докажите, что квадрат наименьшей медианы прямо-
угольного треугольника в 5 раз меньше суммы квадратов двух
других медиан.
152.- Если суммы квадратов противоположных сторон четырехугольника равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите.
153. Периметр квадрата Р. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до прямой, проходящей через его центр.
154. Катет АВ == а лежит против угла в 15°. Найдите
длину, второго катета.
155. Катет АВ == а лежит против угла в 22° 30'. Найдите длину второго катета.
- 156. Длины трех сторон прямоугольной трапеции 25, 25, 32 см. Найдите длину четвертой стороны.
- 157. Отрезок АВ == 12 см служит диаметром окружности с центром О. На отрезках АО и ВО, как на диаметрах построены окружности. Найдите радиус окружности, которая касается трех названных окружностей.
158. Из точки М стороны ВС прямоугольника АВСD отрезки АВ и АD видны под равными углами. Зная, что АВ === 80 см, АD == 89 см, определите, на какие части точка М делит сторону ВС.
159. Меньшее основание трапеции 4 см. Высота делит ее на треугольник и квадрат. Если в них вписать окружности, то диаметр одной равен радиусу другой. Найдите периметр трапеции.
160. Сторона квадрата 7. Внутри него отмечены 50 точек. Докажите, что среди них найдутся две, расстояние между которыми меньше У2.
161. Катеты прямоугольного треугольника 20 и 50 см. Определите радиус окружности, которая касается меньшего катета и проходит через середины двух других сторон треугольника.
162. Наблюдатель видел стену АВ из двух пунктов под углами по 30°. Расстояние между пунктами 300 м, один находится строго к югу от В, другой — строго на восток от А. Определите длину стены.
163. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного прямоугольника наименьшая возможная.
Расстояние между двумя точками
164. Докажите, что каждая точка графика у = ж2 + 0»25 равноудалена от оси абсцисс и от точки (0; 0,5).
165. Внутри квадрата АВСD есть такая точка М, что МА == 7, МВ = 13, МС == 17. Определите длину стороны и диагонали квадрата.
166. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин данного равностороннего треугольника,— наименьшая возможная.