44. АВ — высота остроугольного треугольника АВС, О -центр квадрата, построенного на АВ вне треугольника, М ~ центр квадрата, построенного на АС в одной полуплоскости с В (рис. 24). Лежат ли точки М, В, О на одной прямой?
Теорема Фалеса
45. На прямой отложены равные отрезки АВ и ВС. Как построить через точки А, В, С параллельные прямые, чтобы они отсекли на другой данной прямой отрезки длиной по а?
46. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки параллельные прямые, чтобы они отсекли на данной прямой I отрезки равной длины.
47. Точки А, В, С лежат на прямой I, причем АВ =^ ВС. Постройте через А, В, С параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой отрезки с разностью длин Ь.
48. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Постройте через эти точки параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой I отрезки с разностью длин Ь.
49. АО — медиана треугольника АВС. Прямая СЕ пересекает сторону АВ в точке М и делит названную медиану пополам. Определите СЕ '. ЕМ и АМ : МВ.
50. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты такие точки М и ^, что ВМ : АВ = ВН : ВС = 1 : 3. Точки Т) v Е делят сторону А С на три равные части. Докажите, что МО = МЕ.
51. Медиана ВМ делит высоту АВ треугольника АВС в отношении 3:1, считая от вершины. В каком отношении эта высота делит медиану ВМ?
52. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведенной к боковой стороне.
53. Из вершин В и D параллелограмма АВСD проведены тра высоты. Как по серединам этих высот построить параллелограмм АВСD7
54. Постройте параллелограмм по середине стороны АВ и серединам высот, проведенных из вершины В.
55. Постройте параллелограмм АВСD по серединам сторон ВС и СВ и основанию высоты, проведенной из В к АВ.
56. Постройте параллелограмм АВСВ, если известна середина стороны АВ и основание высоты, проведенной из вершины В к АВ.
57. Постройте ромб АВСВ, если известны середина стороны АВ и точки, в которых вписанная в ромб окружность касается сторон АВ и ВС.
Средняя линия треугольника
58. Периметр параллелограмма АВСВ 80 см. Биссектрисы углов А и В пересекаются в такой точке М, что сторона ВС делит отрезок АМ пополам. Найдите длины сторон параллелограмма.
59. В параллелограмме АВСВ из вершин В и О проведены по две высоты. Докажите, что середины этих высот являются вершинами некоторого параллелограмма.
60. Дан треугольник АВС. Какая фигура образуется центрами всех таких параллелограммов, у каждого из которых две стороны лежат на лучах АВ и АС, а одна из вершин находится на стороне ВС?
61. В выпуклом четырехугольнике АВСD сумма углов при стороне АВ 90°, АВ == СВ. Докажите, что середины диагоналей и середины сторон ВС и АВ являются вершинами квадрата.
62. Стороны параллелограмма 17 и 23 см. Биссектрисы всех его углов ограничивают четырехугольник КЬМН. Найдите его диагонали.
63. АВ — диаметр полуокружности с центром О, в точках А и В построены перпендикуляры к АВ. Касательная к полуокружности в точке С пересекает эти перпендикуляры в точках В и Т; АС и ВО пересекаются в точке Е, ВС и ОТ пересекаются в точке М. Параллельны ли АВ я ЕМ?
64. АВСВ — выпуклый четырехугольник, середины его сторон — А\, В\, С\, В[. Середины сторон четырехугольника А\В\С\В\ — Л.2, В-г, Сч, Вч. Середины сторон четырехугольника АчВчСчВч — Аз, Вз, Сз, Оз и т. д. Укажите точку, которая находится внутри всех таких четырехугольников.
65. Средняя линия треугольника АВС образует со стороной АВ углы, вдвое большие углов треугольника при этой стороне. Найдите величины углов треугольника АВС.
66. Постройте треугольник АВС по положению точек А и В и точке, в которой продолжение медианы АВ пересекает описанную окружность.
67. АВ — высота прямоугольного треугольника АВС. Биссектрисы углов В и САВ пересекаются в точке М, а биссектрисы углов С и ВАВ — в точке N. Параллельны ли прямые МП и ВС?
Трапеция
68. Из какого наименьшего числа прямоугольных треугольников можно сложить трапецию?
69. Докажите, что треугольную пластинку можно разрезать на три части, имеющие форму трапеции.
70. Докажите, что четырехугольную пластинку можно разрезать на три части, имеющие форму трапеции.
71. Пластинка имеет форму равнобокой трапеции. Как разрезать ее на три равные трапеции, если: а) одно основание вдвое больше другого, б) длины оснований 6 и 10 см?
72. Два противоположных угла трапеции относятся, как 2:3, а два других — как 3:5. Найдите углы трапеции,
73. Биссектрисы углов при большем основании трапеций перпендикулярны боковым сторонам. Найдите углы трапеции
74. Постройте трапецию, если даны прямые, на которых лежат ее боковые стороны АВ и СВ, середина диагонали АС и точка на прямой АВ.
75» Пластинка имеет форму трапеции, ее основания 6 .» 24 см, углы при большем основании по 60°. Как разрезать трапецию на пять равных равнобоких трапеций?
76. Пластинку в форме трапеции можно разрезать на четыре равных равнобоких трапеции. Определите величины углов этих трапеций.
77. Прямая отсекает от равностороннего треугольника трапецию, которая делится диагоналями на 4 равнобедренных треугольника. Найдите угол между диагоналями трапеции.
78. Три стороны трапеции равны. Окружность, построенная на большем основании, как на диаметре, делит боковую сторону пополам. Найдите градусные меры углов трапеции.
79. АВСО — трапеция. Окружность, диаметром которой является меньшее основание трапеции, касается ее большего основания и делит диагонали трапеции пополам. Найдите величины углов трапеции.
80. Как разрезать квадратную пластинку на 8 частей, каждая из которых имеет форму непрямоугольной трапеции?
81. Впишите в данную окружность трапецию, у которой одно из оснований проходит через данную точку, а боковые стороны соответственно параллельны двум данным прямым.
Средняя линия трапеции
82. Докажите, что если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны, то ее высота равна средней линии.
83. Докажите теорему о средней линии трапеции, используя каждый раз один из рисунков 25—31.
84. Постройте трапецию по средней линии, расстоянию между основаниями и углам при одном из оснований.
85. На окружности даны точки А и В. Постройте две параллельные хорды АС и ВО, у -которых: а) сумма длин о; б) разность длин Ь.
86. Расстояние между основаниями трапеции равно средней линии. Найдите угол между диагоналями трапеции.
87. Основания трапеции ВС и АО. На СВ взята такая точка М, что АМ = АВ. Через В проведена прямая, параллельная СВ, она пересекает АМ в точке Р. Докажите, что ВМ == РС.
88. Длина одного из оснований равнобокой трапеции втрое больше длины другого основания. Из середины большего основания меньшее видно под углом, вдвое меньшим угла, под которым большее основание видно из середины меньшего. Найдите эти углы.
89. Если боковая сторона прямоугольной трапеции равна сумме оснований, то окружность, построенная на этой стороне, как на диаметре, касается другой боковой стороны. Докажите.
90. Основания трапеции 10 и 18 см, углы при меньшем основании по 120°. Как относятся периметры фигур, на которые трапеция делится своей средней линией?
91. Докажите, что средняя линия трапеции меньше хоть одной из диагоналей трапеции.
92. „Две окружности пересекаются в точке М. Как провести через эту точку прямую, на которой названные окружности отсекают равные отрезки?
93. Окружность, построенная на большем основании трапеции, как на диаметре, касается меньшего основания и проходит через концы средней линии. Найдите градусные меры углов трапеции.
Четырехугольник и окружность
94. В окружность вписан четырехугольник АВСО. Биссектрисы углов А и С пересекают окружность в точках Е и Р. Окажите, что прямая ЕР проходит через центр окружности.
95. Один из углов четырехугольника АВСО равен 56°, АВ === = ВС, АО == СО. Зная, что около четырехугольника можно описать окружность, найдите величину наибольшего угла четырехугольника.
96. Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность.
97. Докажите, что в трапецию можно вписать окружность только в том случае, когда окружности, построенные на боковых сторонах, как на диаметрах, касаются.
98. Диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны. Из точки их пересечения опущены перпендикуляры на все стороны четырехугольника. Докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на одной окружности.
99. В окружность вписан прямоугольник АВСО. Из точки М окружности опущены перпендикуляры МЕ и МР на диагонали прямоугольника. Докажите, что расстояние между основаниями перпендикуляров не зависит от выбора точки М.
100. АА\, ВВ\, СС\ — высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что лучи А\Н, В\Н, С\Н делят пополам углы треугольника А\В\С\.
101. Внутри треугольника АВС взята такая точка М, что ^- МАС = /I МВА = /. МСВ == к. На стороны треугольника
АВС опущены перпендикуляры МА\, МВ\, МС\. Докажите, что ? эти перпендикуляры образуют с соответствующими сторонами треугольника А\В\С\ углы по ос.
192. Две окружности пересекаются в точках атл.в.Прямая, проходящая через А, пересекает окружности в точках С и О;
прямая, проходящая через В, пересекает окружности в точках Е и Р. Докажите, что СЕ || ВР. Верно ли это утверждение, если хорды. АС и ВЕ пересекаются?