Теорема синусов
199. Площадь треугольника АВС равна О. Определите величину а2 вт 2В + Ь2 ат 2А.
200. Точка М находится внутри треугольника АВС. Лучи АМ, ВМ, СМ делят углы треугольника на части ои и оса, ?1 и {За, vi и у-г- Докажите, что вт а\ • вт р) • аш vi ==- ет К2 X
X 8Ц1 ?2 8Ш •У2.
201. Если лучи, исходящие из вершин треугольника, образуют со сторонами при этих вершинах такие углы ои, »2, Рь
^2, vi» 72, ЧТО ЯШ ОЦ 8Ш ?! 81п ^1 == В™ Й2 8П1 ?2 8Ш 72, ТО ЭТИ ЛуЧИ
пересекаются в одной точке. Докажите.
202. Верно ли утверждение задачи 200 для четырехугольника?
203. Докажите, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону на части, обратно пропорциональные синусам углов треугольника, прилежащих к отрезкам стороны.
204. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что АН == -——.
205. Диагонали выпуклого четырехугольника АВСВ пересекаются в точке О. М\ и Мч — центры масс треугольников ВОС и АОВ, Н\ и Й2 — ортоцентры треугольников АВО и СОО. Используя результат задачи 204, докажите, что прямые М\Мч и Й1Й2 взаимно перпендикулярны.
206. АВ и АС — хорды окружности. На продолжении АВ отмечена точка N на расстоянии АВ от АС и на продолжении АС отмечена точка М на расстоянии АС от АВ. Докажите, что МН равен диаметру данной окружности.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма
207. Докажите, что в треугольнике Тоа == — "л/262 + 2с2 — о2.
А
208. Используя результат задачи 207, установите, что".
а) т1 + т1 + от? = -|-(о2 + Ь2 + с2); б) от4 + т1 + те4 =
-^(о4+&4+с4).
209. Докажите, что з четырехугольнике сумма квадратов диагоналей меньше суммы квадратов сторон на учетверенный квадрат расстояния между серединами диагоналей.
210. Докажите, что четырехугольник, у которого сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон, является параллелограммом.
211. Диагонали параллелограмма АВСВ пересекаются в точке О. Периметры треугольников АВО, ВСО и параллелограмма соответственно 28, 30 и 48 см. Найдите диагонали параллелограмма.
212. Как по длинам сторон и углу между диагоналями параллелограмма найти длины диагоналей?
213. Как по длинам диагоналей и углу параллелограмма найти длины сторон параллелограмма?
ДЕСЯТЫЙ КЛАСС
Аксиомы стереометрии
и следствия из них
1. На двух плоскостях отмечены по две точки. Сколько различных плоскостей определяют эти точки?
2. Сколько различных плоскостей могут определять 5 точек? Подтвердите свой ответ перечислением плоскостей (обозначив точки буквами).
3. Сколько различных плоскостей могут определять 5 данных параллельных прямых? Обоснуйте ответ перечислением этих плоскостей.
4. Окружность имеет общую точку с каждой стороной четырехугольника. Можно ли утверждать, что обе эти фигуры лежат в одной плоскости?
5. Сколько существует плоскостей, каждая из которых содержит, по крайней мере, три вершины данного куба?
6. На сколько областей разбивают пространство плоскости всех граней куба?
7. На каждом из трех параллельных ребер куба отмечено по 2 точки. Сколько различных плоскостей могут определять эти точки?
8. Плоскость б пересекает плоскости ос и Р. Докажите, что если линии пересечения плоскостей пересекаются, то точка их пересечения находится на прямой, по которой пересекаются а и р.
9. Середины всех диагоналей пятиугольника лежат в одной плоскости, причем никакие две из них не совпадают. Докажите, что все его вершины лежат в той же плоскости.
10. Середины всех сторон многоугольника с нечетным числом вершин лежат в одной плоскости. Докажите, что все его вершины лежат в той же плоскости.
11. Даны п > 4 точек, каждые 4 из которых лежат в одной плоскости. Докажите, что все эти точки лежат в одной плоскости.
Параллельность прямых в пространстве
12. Докажите, что две прямые параллельны тогда и только тогда, когда любая плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую.
13. Точки А, В, С, В лежат вне плоскости параллелограмма К^МN, причем К — середина АВ, Ь — середина ВС, М — середина СО. Является ли N серединой отрезка А07
14. Середины пяти сторон шестиугольника находятся в одной плоскости. Докажите, что середина шестой стороны находится в той же плоскости.
15. На двух пересекающихся плоскостях 6 и о дано по точке. Как построить через эти точки прямые, которые не пересекают ни одной из названных плоскостей?
16. Через прямую I проходят две плоскости а и а. Две параллельные прямые пересекают эти плоскости: одна в точках А и В, другая — в точке С и еще одной, которую требуется построить.
17. Точки А, В, С, О не лежат в одной плоскости. Докажите, что середины шести отрезков с концами в этих точках являются серединами трех параллелограммов.
18. Точка М лежит вне плоскости правильного шестиугольника АВСОЕР. Верно ли, что прямая, проходящая через середины отрезков МВ и МС, параллельна: а) АО; б) СО?
19. По условию задачи 18 определите, каким сторонам или диагоналям шестиугольника параллельна прямая, проходящая через середины отрезков МА и МС.
20. Точка М находится вне плоскости правильного пятиугольника АВСОЕ. Каким сторонам или диагоналям пятиугольника параллельна прямая, проходящая через центры масс треугольников МАВ и МАЕ7
21. М и N—центры граней АВВ\А\ и ВСС\В\ куба АВСОА\В\С\0\. Каким ребрам или диагоналям граней куба параллельна прямая МН?
22. АВСОЕР — замкнутая ломаная, не все звенья которой находятся в одной плоскости. Отрезки, соединяющие середины звеньев ВС и АР, СО и ЕР равны и параллельны. Параллельны ли звенья АВ и ОЕ'!
23. АВСТ) — квадрат со стороной 6 см. Точка М удалена от каждой вершины квадрата на 7 см. Определите расстояние от середины отрезка МА до середин всех сторон квадрата.
24. Периметр правильного шестиугольника АВСОЕР равен Р. Точка О, находящаяся вне плоскости шестиугольника, соединена отрезком с каждой его вершиной. Из центра масс треугольника ОАВ проведены до пересечения в точках М), Мч, Мз, М^, Мв, Мб с плоскостью шестиугольника прямые, соответственно параллельные ОА, 0В, ОС, 00, ОЕ, ОР. Найдите периметр и площадь шестиугольника М\МчМгМ^МъМ^.
25. Три плоскости попарно пересекаются. Докажите, что линии их пересечения либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.
26. АВСО — квадрат со стороной 6 см, прямые АМ и СТ параллельны. На них по одну сторону от квадрата отмечены такие точки М и Т, что МА : ТС ==4:3. На каких расстояниях от вершин квадрата находится точка, в которой прямая МТ пересекает плоскость квадрата?
Параллельность прямой и плоскости
27. Плоскости б и а пересекаются. Докажите, что через каждую точку плоскости б можно построить прямую, которая либо параллельна плоскости <т, либо принадлежит плоскости о. Является ли названная прямая единственной прямой, обладающей таким свойством?
28. Через точку М, не принадлежащую плоскостям а и (3, можно построить только одну прямую, параллельную этим плоскостям. Докажите, что плоскости а и |3 пересекаются.
29. Докажите, что плоскость, проходящая через середины двух медиан треугольника и пересекающая его плоскость, параллельна одной из его сторон.
30. Точка М находится вне плоскости параллелограмма АВСТ). Постройте линию пересечения плоскостей АВМ и СОМ. Параллельна ли она плоскости параллелограмма?
31. По условию задачи 21 докажите, что прямая МN параллельна плоскости: а) АВС; б) А\В\С\; в) проходящей через ребра АА\ и СС).
32. АВСОА^В\С\0\ — куб. Докажите, что ребро 00\ параллельно плоскости: а) АВВ\; б) ВСС\; в) проходящей через ребра АА\ и СС|; г) проходящей через середины ребер а\в{, АВ, ВС.
Параллельность плоскостей
33. Стороны двух углов соответственно параллельны. Докажите, что либо эти углы равны, либо сумма их градусных мер равна 180°.
34. Стороны параллелограммов АВСТ) и А\В\С\0\ соответственно параллельны. Пересекаются ли в одной точке отрезки АС\, В0\, СА\ и ОВ\7 Если не всегда, то при каком условии они обязательно имеют общую точку?
35. На одной из параллельных плоскостей даны точки А и В, на другой — точки С и О. Середины отрезков АС и ВО не совпадают. Докажите, что прямая, проходящая через эти середины, параллельна названным плоскостям.
36. Точка М находится вне плоскости параллелограмма АВСО. Лежат ли в одной плоскости середины отрезков МА, МВ, МС, МО?
37. Через вершины правильного шестиугольника АВСВЕР проведены параллельные прямые, пересекающие его плоскость. Докажите, что плоскости, проходящий через прямые ВВ\ и РР\, СС\ и ЕЕ\, делает отрезок с концами на АА\ и ВВ \ на три части, одна из которых равна сумме двух других.
38. По условию задачи 87 определите, в каком отношении плоскости, проведенные через АА\ и СС\, АА\ и ВВ\, делят отрезок с концами на ВВ\ и ЕЕ\.
39. АВСВА\В\С\В\ — куб. Докажите, что плоскость, проходящая через центры граней, содержащих точку А, параллельна плоскости В{СВ\.
40. Три плоскости параллельны. Одна прямая пересекает их в точках А\, А а, Аз; Другая — в точках В\, Вч, В». Докажите, что А\А^ : В\В'г == А.2^.3 : В^Вз.
41. По условию задачи 40 известно, что А\Аг == 4см, В-гВз = 9 см, АчАз == В\В^ Найдите длины отрезков А\Аз
И В1Вз.
Изображение пространственных фигур
42. Две медианы треугольника АВС соответственно параллельны двум медианам подобного треугольника ВЕР. Параллельны ли третьи яедиаяы атаЕХ треугольников?