Пример 2.

,
F(x) – отрезок с концами
kx и
mx.

- решение. Для других решений имеем

При

асимптотически устойчиво,
при

устойчиво,
при

слабо асимптотически устойчиво,
при

неустойчиво.
Для диф. уравнений с непрерывной правой частью известны теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости [4]. В работе [17] сформулированы подобные теоремы для разрывных систем (1). Но для таких уравнений функция Ляпунова V(t,x) может не принадлежать

.
Для функции

(т.е. имеются непрерывные производныепервого порядка) определяются верхняя и нижняя производные в силу диф. включения (2):

При почти всех t производная

существует и удовлетворяет включению (2). При этих
t существует

(3)
Теорема 1.
Пусть в замкнутой области D (

) для всех

- непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое множество и функция

-непрерывна по
t, x;

и существуют функции

, для которых

.
Тогда:
1) Если

в
D, то решение

включения (2) устойчиво.
2) Если, кроме того, существуют функции

причем

,

, (

),

, то решение

асимптотически устойчиво.
Известные доказательства этих утверждений для диф. уравнений [4] остаются справедливыми и для диф. включений; при этом для оценки сверху функции V(t, x(t)) используют соотношение (3).
Теорема 2.
Если выполнены условия теоремы 1, но с заменой

, то решение

слабо устойчиво в случае 1) и слабо асимптотически устойчиво в случае 2).
Доказательство теоремы 2 приведено в [17].
Рассмотрим теперь случай, когда функция Ляпунова

, но удовлетворяет условию Липшица в окрестности каждой точки области
D. Тогда для любой абсолютно непрерывной функции
x(t), значит и для любого решения, сложная функция
V(t, x(t)) абсолютно непрерывна и почти всюду имеет производную по
t. Однако решение может в течение некоторого промежутка времени идти по линии или поверхности, на которой
grad V не существует, и производную
dV/dt, нельзя, как в случае

, представить в виде

Для

:

. (4)
В случае функции V(t, x), удовлетворяющей условию Липшица, верхнюю и нижнюю производные

от функции
V в силу включения (2) можно определить как
sup и
inf правой части (4) по всем

. Тогда теоремы 1и 2 сохраняются.
Пример 3.
Если

, то нельзя пренебрегать отысканием
dV/dt на линиях поверхностях разрыва функции
f(t, x) даже в случае доопределения А.

Но этого недостаточно для применения теоремы 1, т.к. производные

разрывны на осях координат, т.е. там же, где разрывны правые части системы. На оси
Ox при доопределении А:


, и условия теоремы 1 не выполнены. Тот же результат получается по формуле (4) при
h=0:

.

Т.к. на оси
Ox имеем

, то решения по оси удаляются от точки (0, 0) со скоростью 1 и решение

неустойчиво
§2. Некоторые сведения теории дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием.
При математическом описании эволюции процессов с кратковременными возмущениями часто длительностью возмущения пренебрегают и считают, что эти возмущения носят “мгновенный” характер. Такая идеализация приводит к необходимости исследовать динамические системы с разрывными траекториями или, как их еще называют, диф. уравн. С импульсным воздействием.
Определение таких систем приведено [12], они задаются
а) системой диф. уравн.

(5)
б) некоторым множествам Ft, заданным в расширенном фазовом пространстве,
в) оператором At, заданным на множестве Ft и отображающем его на множество

.
Сам процесс происходит следующим образом: изображающая точка

, выйдя из точки
(t0, x0), движется по кривой
{t, x(t)}, определяемой решением
x(t) = x(t, t0, x0) системы уравнений (1). Движение по этой кривой осуществляется до момента времени
t = t1 > t0, в который точка
(t, x(t)), встречается с множеством
Ft (попадает в точку множества
Ft). В момент времени
t = t1 точка
Pt “мгновенно” перебрасывается оператором
At из положения

в положение

и движется дальше по кривой
{t, x(t)}, которая описывается решением

системы уравнений (1). Движение по указанной кривой происходит до момента времени
t2 > t1, в которой точка
Pt снова встречается с множеством
Ft. В этот момент под действием оператора
At точка
Pt мгновенно перескакивает из положения

в

и движется дальше по кривой
{t, x(t)}, описываемой решением

системы уравнений (1), до новой встречи с множеством
Ft и т.д.