Пусть

(7) множество значений функции

, когда
t, x постоянны, а

независимо друг от друга пробегают соответственно множества

.
Определение 4.
Решением диф. уравн. (6) называют решение диф. включения (2), где

(или

, где

- наименьшее выпуклое множество, содержащее множество

).
Частными случаями такого способа построения функции F(t,x) является как доопределение А, так и изложенные ниже Б и В.
Б. Доопределение методом эквивалентного уравнения
(управления).
Применяется к уравнениям вида (6), где f – непрерывная вектор-функция,

- скалярная функция, разрывная только на гладкой поверхности

1,…,
r. Допускоются пересечения и даже совпадения этих поверхностей.
В точках, принадлежащих одной или одновременно нескольким поверхноостям, например

,…,
Sm (

, полагают (если решение не может сойти тут же с такой поверхности или с пересечения этих поверхностей)

, (8)
где эквивалентные управления

определяются так, чтобы вектор

в (8) касался поверхностей

,…,
Sm и чтобы значение

содержалось в отрезке с концами

, где

– предельные значения функции

с обеих сторон поверхности

,
i=1,…,
m. Т.о., функции

определяются из системы уравнений

.
Определение 5.
Решением (6) называется абсолютно непрерывная вектор-функция, которая вне поверхностей

удовлетворяет уравнению (6), а на этих поверхностях и их пересечениях – уравнениям вида (8) (при почти всех
t ).
Например, в случае
конец вектора 
лежит на пересечении касательной к
S в точке
x с дугой
abc , которую пробегает конец вектора
f(t,x,u), когда
u изменяется от

до

:
Рис. 4.
С геометрической точки зрения, метод эквивалентного управления предполаглет замену разрывного управления на границе разрыва, где оно не определено, ненпрерывным управлением, которое направляет вектор скорости в пространстве состояний системы вдоль пересечения поверхностей разрыва. Например, в системе c одной поверхностью разрыва

для нахождения этого вектора в некоторой точке
(t, x) нужно построить годограф
f(t, x, u), изменяя скалярное управление от

, и найти точку его пересечения с касательной плоскостью. Точка пересечения определяет

диф. уравнения (8) (для
r=1 (8) примет вид

).
Уравнение (6), доопределенное указаным образом, сводится к диф. включению
. Множество
определено в (7), где
– отрезок с концами
и
; для тех
, которые непрерывны в точке (t,x),
является точкой
.Правая часть (8) есть вектор с концом в точке пересечения множества
с касательной к пересечению поверхностей
,…, Sm. На рис. 4 множество
– дуга abc, а правая часть (8) – вектор xb.Доопределение А было обосновано лишь для скалярного случая (u - скалярная функция) и лишь с помощью предельных переходов для частных случаев неидеальностей, доопределение Б применимо и в случае векторной разрывной динамической системы (т.е. управляющее воздействия приложены к различным точкам объекта и управление u является векторной величиной ), описываемой уравнениями
(9)x,f - n-мерные векторы-столбцы,
- координаты системы,
- непрерывные функции по всем аргументам (
), u - m-мерный вектор-столбец, каждая компонента которого
претерпевает разрывы на поверхности
: 
i=1, …, m,
,
(
),
- непрерывные функции. Если положить
, то
.