
=

.
Все точки

(

= 1, … ,

содержатся в

, но не обязательно, чтобы все они являлись вершинами.
Определение 3.
Вектор-функция

, определенная на интервале

называется решением уравнения (1), если она абсолютно непрерывна и если при почти всех

для любого

вектор

принадлежит наименьшему выпуклому замкнутому множеству (

-мерного пространства), содержащему все значения вектор-функции

, когда

пробегает почти всю

-окрестность точки

в пространстве
X (при фиксированном

), т.е. всю окрестность, кроме множества мера нуль.
Такое определение дает однозначное продолжение решения по поверхности разрыва.
Рассмотрим случай, когда функция

разрывна на гладкой поверхности

, задаваемой уравнением

. Поверхность
S делит свою окрестность в пространстве на области

и

. Пусть при

и приближении

к

из областей

и

функция имеет предельные значения

Тогда множество

, о котором говорится в доопределении А, есть отрезок, соединяющий концы векторов

и

, проведенных из точки

.
aЕсли этот отрезок при

лежит по одну сторону от плоскости

, касательной к поверхности

в точке, то решения при этих

переходят с одной стороны поверхности

на другую:

Рис. 1.
aЕсли этот отрезок пересекается с плоскостью

, то точка пересечения является концом вектора

, определяющего скорость движения

(3)
по поверхности

в пространстве

:

Рис. 2.
Причем касательный вектор к S
, следовательно
. Это значит, что функция
, удовлетворяющая уравнению (3) в силу доопределения А считается решением уравнения (1). Разумеется, непрерывная функция
, которая на данной части рассматриваемого интервала времени проходит в области
(или в
) и там удовлетворяет уравнению (1), а на оставшейся части проходит по поверхности
и удовлетворяет уравнению (3), также считается решением уравнения (1) в смысле доопределения А.В уравнение (3)
,
, (
),
- проекции векторов
и
на нормаль к поверхности
в точке
(нормаль направлена в сторону области
).Вместе с тем множество F(t, x) можно было определить иначе. В качестве) возьмем произвольное ограниченное выпуклое множество, содержащее отрезок J: