Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (стр. 2 из 9)

§1. Обоснование необходимости обобщения понятия

решения дифференциального уравнения.

Определение1. Решением дифференциального уравнения

=

с непрерывной правой частью называется функция

, которая всюду на данном интервале имеет производную и удовлетворяет этому уравнению.

Для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями такое определение непригодно, как показывают следующие примеры.

Пример 1.

При

=-1 и решение выражается формулой ;

при , решение :

Исходя из требования непрерывности решения при

:

x(0)=

,

. Поэтому решение выражается формулой . При производной не существует.

Пример 2.

При

3, решение ,

при

, решение :

x

При возрастании

каждое решение доходит до прямой 0. Поле направлений не позволяет решению сойти с прямой 0 ни вверх, ни вниз. Если же продолжить решение по этой прямой, то получаемая функция не удовлетворяет уравнению в обычном смысле, т.к. для нее , а правая часть уравнения при равна 1-sign 0=1 0.

Кроме этого, уравнение с непрерывной правой частью равносильно интегральному уравнению

В случае, когда f(t,x) разрывна по t и непрерывна по x (пример 1), решением уравнения можно назвать функции, удовлетворяющие интегральному уравнению. В этом случае, решения с одной стороны от S подходят к S, а с другой стороны сходят с S (траектории “прошивают” поверхность):

S

Решение x(t) попадающее при

на поверхность разрыва S, продолжается однозначно на значения и близкие к ; пересекая S решение удовлетворяет уравнению всюду, кроме точки пересечения, в которой решение не имеет производной (в первом примере S – это прямая t=0).

В другом случае, когда с обеих сторон поверхности разрыва S решения приближаются к S (траектории “стыкуются” – скользящий режим), это определение решения непригодно, т.к. ничего не говорит о том, как продолжится решение, попавшее на S (пример 2).

Необходимо поэтому было дать такое определение решения, которое охватило бы эти два основных случая и формулировалось бы независимо от расположения линий и поверхностей разрыва.

§2. Определения решения.

Рассмотрим уравнение или систему в векторной записи

, (1)

с кусочно-непрерывной функцией f в области G;

, , M – множество (меры нуль) точек разрыва функции f.

Большинство известных определений решения уравнения (1) могут быть изложены следующим образом. Для каждой точки

области G указывается множество в n-мерном пространстве. Если в точке (t,x) функция f непрерывна, то множество состоит из одной точки, совпадающей со значением функции f в этой точке. Если же -точка разрыва функции f, то множество задается тем или иным способом.

Определение2. Решением уравнения (1) называется решение дифференциального включения

, (2)

т.е. абсолютно непрерывная вектор-функция x(t), определенная на интервале или отрезке I, для которого почти всюду на I

.

Другими словами, решение дифференциального уравнения (1) определяется как функция, у которой производная

может принимать любые значения из некоторого множества .

Иногда (2) называют диф. уравнением с многозначной правой частью. Функцию

называют многозначной функцией, подчеркивая, что значение - множество. Если для всех (t, x) множество состоит из единственной точки, то (2) – обычное диф. уравнение. Функция называется однозначной в точке , если множество F состоит из единственной точки.

Одним из наиболее популярных определений решения разрывной системы является определение А.Ф. Филиппова.

А. Выпуклое доопределение.

Применимо, в частности, к системам с малым запаздыванием того или иного рода, а также к некоторым системам с сухим трением.

Для каждой точки

пусть - наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения вектор-функции , когда Решением уравнения (1) называется решение включения (2) с только что построенным . Т.к. - множество меры нуль, то при почти всех мера сечения множества плоскостью равна нулю. При таких множество определено для всех . В точках непрерывности функции множество состоит из одной точки и решение удовлетворяет уравнению (1) в обычном смысле. Если же точка лежит на границах сечений двух или нескольких областей , …, плоскостью , то множество есть отрезок, выпуклый многоугольник или многогранник с вершинами , , где