Вычислительные методы алгебры (лекции)
§1. Учет погрешностейвычислений.
Прирешении математическихзадач могутвозникнутьпогрешностипо различнымпричинам:
При составленииматематическоймодели физическогопроцесса илиявления приходитсяприниматьусловия, упрощающиепостановкузадачи. Поэтомуматематическаямодель не отражаетреальный процесс,а дает егоидеализированнуюкартину. Погрешность,возникающаяпри этом, называетсяпогрешностьюпостановкизадачи.
Часто приходитсядля решениязадачи применятьприближенныйметод (интегралзаменяютквадратурнойсуммой, производнуюзаменяют разностью,функцию –многочленом).Погрешность,возникающаяпри этом, называетсяпогрешностьюметода.
Часто исходныеданные заданыне точно, априближенно.При выполнениивычисленийпогрешностьисходных данныхв некоторойстепени переходитв погрешностьрезультата.Такая погрешностьназываетсяпогрешностьюдействий.
Погрешность,возникающаяпри округлениибесконечныхи конечныхдесятичныхчисел, имеющихбольшее числодесятичныхзнаков, чемнадо в округлении,называетсяпогрешностьюокругления.
Определение.Пусть х – некотороечисло, числоа называетсяего приближеннымзначением,если а в определенномсмысле малоотличаетсяот х и заменяетх в вычислениях,
.Определение.Погрешностью 
приближенногозначения ачисла хназываетсяразность
,а модуль этойпогрешностьюназываетсяабсолютнойпогрешностью.Если
,то а взято снедостатком.Если
,то а взято сизбытком.Определение.Границейпогрешностиприближенногозначения ачисла х называетсявсякое неотрицательноечисло
,которое неменьше модуляпогрешности: 
.Говорят, чтоприближениеа приближаетчисло х с точностьюдо
,если 
, 
, 
.Пример. Пустьа=0,273 – приближенноезначение х сточность до0,001. Указать границы,в которых заключаетсях.
Приокруглениичисел считают,что границыпогрешностиокругленияравна половинеединицы округляемогоразряда:
,α – порядококругленияразряда.Определение.Относительнойпогрешностьюприближенногозначения ачисла х называетсяотношение
.Пример.Округлитьдо десятыхчисло 27,52 и найтипогрешностьи относительнуюпогрешностьокругления:
, 
, 
.Также каки абсолютнаяпогрешностьотносительнаяпогрешностьне всегда можетбыть вычисленаи приходитсяоценивать еемодуль. Модульотносительнойпогрешностивыражаетсяв процентах.Чем меньшемодуль относительнойпогрешности,тем выше качествоприближения.
Определение.Границейотносительнойпогрешностиприближенногозначения ачисла хназываетсявсякое неотрицательноечисло
,которое неменьше модуляотносительнойпогрешности: 
.Установимсвязь междуграницамипогрешностейабсолютнойи относительной:
- границаотносительнойпогрешности; 
- границаабсолютнойпогрешности. 
.§10. Вспомогательныесведения изфункциональногоанализа.
Определение.Множество Хпроизвольныхэлементовназываетсяметрическимпространством,если 
ставится всоответствиечисло 
,удовлетворяющееследующимусловиям:
-
; -
; -
– расстояниемежду xи y.1-3– аксиомы метрики.
Говорят, чтомножествоэлементов
- метрическоепространствосходитсяк 
,если 
, 
.Последовательностьточек
называетсясходящейсяв себе (фундаментальной),если 
.Всякая сходящаясяпоследовательностьявляетсяфундаментальной,обратное верноне всегда.
Определение.Метрическоепространство,в котором всякаяфундаментальнаяпоследовательностьсходится называетсяполным.
Пример.
.Зададимразличнымиспособамирасстояния:
кубическаяметрика, m-метрика
;-
сферическаяметрика,
метрика
;октаэдрическая,s-метрика
.Для всехвыполняютсяаксиомы метрикии в каждой
– полное метрическоепространство.Пусть X,Y– метрическиепространства.
называетсяоператором,заданным в Xсо значениемв Y.Если X=Y,то
– оператор,отображающийХ в себя (преобразование).Если
,то 
– неподвижнаяточка при отображении 
.Определение.Говорят,что отображение
называетсясжимающим(сжатием),если 
.§11. Решениеуравнений содним неизвестным.Дихотомия.
Пусть требуетсярешить уравнение
(1),где 
– непрерывнаяфункция.Число
называетсякорнемуравнения(1), если 
.Если функция
определенаи непрерывнана 
и на концахотрезка принимаетзначения разныхзнаков, то на существуетхотя бы одинкорень.Отделитькорень уравнениязначит найтитакой интервал,внутри которогонаходится одини только одинкорень данногоуравнения.
Для отделениякорней можноприменитьследующийпризнак:
Если на отрезке
функция непрерывнаи монотонна,и на концахотрезка принимаетзначения разныхзнаков, то наданном отрезкесуществуеттолько одинкорень уравнения(1).Достаточнымусловием монотонностифункции наотрезке являетсясохранениезнака производной.
Отделитькорень можнои графически:нарисоватьграфик и указатьточки пересеченияс осью Ох.
Совершенныйметод отделениякорней – методШтурма.
Дихотомия(метод деленияотрезка пополам).
-
Пусть
существуетхотя бы одинкорень на 
;
Рассмотрим
и 
.Из этих двухвыберем тот,на концах которогофункция принимаетзначения разныхзнаков и поделимего пополами т.д.Если нужнонайти кореньс точностьюдо
,то мы продолжаемделить отрезокдо тех пор, покадлина отрезкане станет меньше 
,тогда серединапоследнегоотрезка даетзначение корняс требуемойточностью.Дихотомияпроста и оченьнадежна: к простомукорню она сходитсявсегда длялюбой непрерывнойфункции в томчисле и недифференцируемой,при этом онаустойчива кошибкам округления.Скорость сходимостиметода дихотомиине велика, т.е.за одну итерациюточностьувеличиваетсявдвое.
Недостатки:прежде чемприменить,необходимонайти отрезок,на концах которогофункция принимаетзначения разныхзнаков. Еслина этом отрезкенесколькокорней, то неизвестнок какому из нихсходится дихотомия.Метод не применимк корням четнойкратности.
Метод применимк корням нечетнойкратности, нохуже устойчивк ошибкам округления.Метод не применимк системамуравнений.
§12. Метод простойитерации длярешения алгебраическихи трансцендентныхуравнений.
ТЕОРЕМА1. (ПринципБанаха сжимающихсяотображений).
Пусть R– полноеметрическоепространство.Если
сжатие, то длянего существуетв Rединственнаянеподвижнаяточка, к которойсходится итерационныйпроцесс. 
,где 
- произвольный.План доказательства.
-
– фундаментальная
(*)q – коэффициентсжатия
.Т.к. R– полноеметрическоепространство,то в нем всякаяфундаментальнаяпоследовательностьсходится.
– сходится, 
,причем 
,т.е. – неподвижнаяточка.- – единственна.
ЧТД.
- последовательностьприближенияк решению уравнения 
Метод
– методпростой итерации.Еслив (*)
зафиксировать,а 
,то 
– оценкапогрешности,оценка скоростисходимости. 
со скоростьюгеометрическойпрогрессии. 
– линейнаяскорость сходимости.Методпростой итерацииимеет линейнуюскорость сходимости.
Пусть
(2), 
– вещественнаяфункция.Необходимопривести к виду
. 
, 
- знакопостояннаянепрерывнаяфункция. 
Условиесходимостидля данногометода:
ТЕОРЕМА2.
Пустьвыполняютсяусловия:
-
Функция
– определенаи непрерывнана отрезке 
и на этом отрезкеудовлетворяетусловию Липшица: 
; -
Дляначальногоприближения
выполняетсяусловие 
; -
Числа
связаны условием 
.
Тогдауравнение
имеет единственноерешение в области ,к которомусходится итерационныйпроцесс 
со скоростьюсходимости 
.Теоремадоказываетсяаналогичнотеореме Банахас точностьюдо обозначений.
Замечание.УсловиеЛипшица применятьтрудно, вместонего применяютдругое условие:
на отрезке 
.Методитерация даетбесконечнуюпоследовательностьприближений,поэтому используютследующиеправила остановки:
- пососеднимприближениям
задаетсяуровень останова
и момент остановаnзадается формулой 
- поневязке
задаетсяуровень
и момент остановаnитерационнойпроцедурызадаетсянеравенствами 
Методпростой итерацииудобен в использовании,так как он легкопрограммируетсяна ЭВМ.
Недостаток:невысокаяскорость сходимости,т.е. линейная.
§13. МетодНьютона. Решениеуравнений содной переменной.
Пустьтребуетсярешить уравнение
(1),где функция 
– дваждынепрерывно-дифференцируемана ; 
на и 
и 
.Изэтих условийвытекает, чтона
функция имееттолько одинкорень.Прежде,чем использоватьитерации, необходимо(1) привести квиду
. 
.Функция
непрерывнаяв окрестностикорня уравнения (1).Следовательно,уравнение (1) иуравнение 
(2)будут иметьодин и тот жекорень .Вкачестве
выберем 
,тогда 
(3)Выберемначальноеприближение
достаточноблизкое к .Остальныеприближенияполучаютсяпо формуле: 
(4)Метод, определенный(4), называетсяметодомНьютона.
Докажем, чтометод Ньютонасходится иполучим егооценку погрешности.
| Еслидано, что  ,где  – символ Ландау: |
|
|
|
|
Докажем,что (4) сходится.
Дляэтого покажем,что отображение
– сжатие, где 
. 
.При
получим 
.По непрерывностифункции
на существуеттакая окрестностьточки ,что для 
, 
,а этом сжатие.Поэтому котображению
можно применитьпринципсжатыхотображений.Если выбрать
,то будет сходитьсяк точному решению уравнения (1).,т.е. .Заметим, чтометод (4) будетсходиться, еслиначальноеприближение
будем выбиратьиз окрестности 
, 
.Докажем, чтометод Ньютонасходится.
Определимскорость сходимостиметода Ньютона.Для этого
разложим в рядТейлора в точке . 
.При
имеем 
.Поэтому 
Выразим
(5) 
Обозначимчерез 
, 
(6) 
,скорость сходимостиметода Ньютонаквадратичная, 
.Потребуем,чтобы начальноеусловие
выбиралосьиз условия 
(7)Тогдаиз (6) получим
- оценкапогрешности.МетодНьютона имеетквадратичнуюскорость сходимости.Это означает,что при переходеот одной итерациик другой количествоверных знаковудваиваетсяв последующемприближении.
Достоинство:высокая скоростьсходимости,легко программируетсяна ЭВМ.
Недостатки:узкая областьсходимости.
Если будемрешать операторноеуравнение
,то на каждомшаге необходимонаходить значениеобратногооператора 
.Геометрическийсмысл методаНьютона.
П
устьтребуетсярешить уравнение
и единственныйкорень этогоуравнениянаходится на 
.В точке
проведем касательнуюк графику функции 
,уравнениекасательной: 
.Если
,то 
– первоеприближениек уравнения (1)по методу Ньютона.Возьмем
и проведемкасательнуюв этой точке.Получим 
.Если
,то 
– второеприближениек уравнения (1)по методу Ньютона.И так далее.Отсюда методНьютона называютметодомкасательных.
§14. Метод хорд.Метод секущих.
По прежнемурешаем уравнение
(1),где 
, 
на 
и .Т.е. на
(1) имеет толькоодин корень.Уравнение(1) запишем в виде
,где .Возьмем в качестве 
,где удовлетворяетусловию 
, 
.Тогда итерационныйметод
запишетсяследующимобразом: 
– метод хорд.Докажем, чтометод хордсходится. Дляэтого необходимопоказать, что
. 
Разложим
в ряд Тейлора 
.Рассмотримпри
. 
.Обозначимчерез
Т.е.
. 
.Следовательно,
– сжатие и попринципу Банахаметод хордсходится.Получим оценкупогрешностидля метода хорд
Таккак
на 
,то 
.Обозначимчерез
- оценкапогрешностидля методахорд.Сходимостьметоды хорд– линейная.
Достоинствометода хорд– легкостьпрограммированияна ЭВМ.
– общий видметода хорд.Общий видупростится:
-
При условии
,то 
, 
; -
При условии
,то 
, 
.
Метод секущих.
Метод секущихимеет вид:
.Скоростьсходимости– сверхлинейная.
.Методсекущих сходитсябыстрее методахорд и методапростой итерации.
§15.Метод Гауссарешения системуравнений.
Длярешения системуравненийиспользуютметоды: точныеи приближенные.
Кточным относятся:
методГаусса;
методКрамера;
методоптимальногоисключения;
методквадратногокорня.
Кприближеннымметодам решениясистем уравненийотносятся:
методпростой итерации;
методЗейделя;
методНьютона.
МетодГаусса состоитв том, чтобыисходную системувида Ах=b(1)с произвольнойматрицей Асвести к системевида:
(2),где 
- уже треугольнаяматрица.Процесссведения системы(1) к системе (2)называетсяпрямымходом методаГаусса.
Анахождениенеизвестных
- обратныйход методаГаусса.Привычисленияхпо методу Гауссавелика вероятностьслучайныхошибок. С цельюизбежать ихвводится контрольныйстолбец:
,где 
Элементыконтрольногостолбца преобразовываютсяпо тем же формулам,что и элементыматрицы А.
Второйшаг контролясостоит в проверкеравенства суммыэлементовпреобразованнойстроки и контрольногоэлемента. Этивеличины должнысовпадать сточностью до1,2 единиц последнегоразряда.
МетодГаусса с выборомглавного элемента.
Средиуравненийвыбирают уравнение,содержащеенаибольшийпо абсолютнойвеличине коэффициент(главный элемент).
Затемуравнение делятна этот главныйэлемент и изостальныхуравненийсистемы исключаютнеизвестные,определяемыеэтим главнымэлементом.
Далее,оставляя неизменнымвыбранноеуравнение сглавным элементом,из остальныхуравненийсистемы выбираютновый главныйэлемент. Потомэто уравнениес новым главнымэлементом делятна новый главныйэлемент и исключаетнеизвестноеили определяемоеиз остальныхуравненийсистемы.
Дляудобства главныйэлемент помещаютв левый верхнийугол, переставляястроки и столбцысистемы уравнений.
Врезультатепреобразованийприходим кединичнойматрице.
Здесьпереставляютсяуравнения, чтоприводит кизменениюпорядка исключенныхнеизвестных,и во многихслучаях уменьшаютпогрешности,связанные сокруглениями.
§16. Методквадратногокорня.
Метод квадратногокорня – точныйметод решениясистем уравненийи он применяетсядля решениясистем уравнений,если матрицаА – симметричная,т.е.
. 
,где С – верхняятреугольнаяматрица;
–транспонированная, 
;D – диагональная,
.Подставимматрицу А всистему (1)Ах=b.
(2)Тогда
(3)Выразимэлементы матрицыС через элементыисходной матрицыА.
, 
, 
(*) 
(4)Из(4) будем получатьвыражения
через 
:Пусть
,тогда 
Пусть
,тогда 
Пусть
,тогда 
Изформулы (*) получаем:
, 
Получилиформулы:
, 
§2. Оценкапогрешностейрезультатовдействий надприближеннымизначениямичисел.
(Строгийучет погрешности)
Пусть
,где 
– число с заданнымисвоими приближениямис точностьюдо 
: 
.Обозначимчерез
. 
,где 
- граница погрешностисуммы приближенногозначения 
.Утверждение1. Суммаграниц погрешностейприближенныхслагаемыхявляется границейпогрешностиих алгебраическойсуммы.
Доказательство:
.ЧТД.
Утверждение2. Средиграниц относительнойпогрешностисуммы приближенныхслагаемыхсуществуеттакая, котораяне превосходитнаибольшейиз границотносительнойпогрешностислагаемых:
.Утверждение3. Суммаграниц относительныхпогрешностейсомножителейявляется границейотносительнойпогрешностиих произведения:
.Следствие1. При умноженииприближенныхзначений числана точный множительк, границаотносительнойпогрешностине меняется,а граница абсолютнойпогрешностиувеличиваетсяв
раз.Следствие2. Произведениеграницы относительнойпогрешностиприближенногозначения ачисла х на
является границейотносительнойпогрешностирезультатавозведениячисла а в целуюположительнуюстепень n: 
.Следствие3. Частноеграницы относительнойпогрешностиприближенногозначения ачисла х и nявляется границейотносительнойпогрешностикорня n-йстепени из а:
.Следствие4. Суммаграниц относительныхпогрешностейприближенныхзначений делимогои делителяявляется границейотносительнойпогрешностичастного.
§3. Приближенныевычислениябез учетапогрешностей.
Правило1. Для того,чтобы вычислитьалгебраическуюсумму приближенныхслагаемыхнужно:
среди слагаемыхвыбрать наименееточное (имеетнаименьшеечисло разрядовпосле запятой);
все остальныеслагаемыеокруглить,сохраняя одинзапасной разряд,следующий запоследнимразрядом выделенногослагаемого;
сложитьполученныепосле округлениячисла;
округлитьполученныйрезультат допредпоследнегоразряда.
Пример.S=2.737+0.77974+27.1+0.283
2.74+0.78+27.1+0.28 30.90 30.9.Определение1. Значащимицифрами вдесятичнойзаписи числаназываетсявсе его цифрыкроме нулей,записанныхслева от первойцифры не равной0.
0,00237 – 3 значащиецифры;
0,02000 – 4 значащиецифры.
Правило2. Для того,чтобы вычислитьпроизведение(деление) приближенныхчисел нужно:
выделитьсомножитель,содержащийнаименьшеечисло значащихцифр;
округлитьостальныесомножители,оставляя наодну значащуюцифру больше,чем в выделенномсомножителе;
произвестиумножение(деление);
округлитьполученныйрезультат,сохраняя столькозначащих цифр,сколько их ввыделенномсомножителе.
Пример.Р=3,34*0,7*4,748=4,7*3,3*0,7
10,657 1* 
.Правило3. Привозведенииприближенногозначения вквадрат иликуб, при извлеченииквадратногоили кубическогокорня, в результатеследует оставлятьстолько значащихцифр, сколькоих имеет основание.
Правило4. Если числоявляется результатомпромежуточныхдействий, тоследует сохранитьв нем на 1-2 цифрыбольше, чемуказано в правилах1-3.
§4. Связь междучислом количестваверных цифр
и относительнойпогрешностью.
Пусть
.Определение.Цифраприближенногозначения аназываетсяверной,если модульего погрешностине превосходитполовины единицыэтого разряда.
.Очевидно,что все цифры,стоящие слеваот верной цифры– верные.
Пример.Пусть х=27,421, а=27,381,
.Выясним, какиецифры верныев приближенииа?
4 –
,следовательно,4 – неверная;8 –
,следовательно,8 – неверная;3 –
,следовательно,3 – верная.3,2,7 – верныецифры.
Пусть известноколичествоnверных значащихцифр в приближенииа, тогда а запишем:
.Так как цифра,стоящая в разряде-(n-1)верна, то погрешность
,тогда
.В качествеграницы относительнойпогрешностиможно взять
.Итак, доказанатеорема 1.
Теорема1. Еслиприближениеимеет nверных значащихцифр, то число
является границейего относительнойпогрешности.Теоремаустанавливаетсвязь междучислами верныхзначений и егоотносительнойпогрешностью.
Замечание.Пусть приближениеимеет nверных значащихцифр и
– его перваязначащая цифра,тогда число 
является границейотносительнойпогрешности.Пример.
.Итак, границаотносительнойпогрешностиприближенногозначения зависитот первой значащейцифры
,количестваверных цифрприближения,но не зависитот порядкаприближения.Теорема2. Если границаотносительнойпогрешностиприближенияравна
,то приближениеимеет не менееnзначащих цифр.Доказательство.Пусть
- первая значащаяцифра приближенияа и n– порядок, тогда 
.Из определенияследует, что–(m-1)– цифра, записаннаяв этом разрядеверная, цифры,записанныелевее тожеверные, то естьmверных цифр.
ЧТД.
Пример.Если известно,что относительнаяпогрешностьприближения
,то согласнотеореме 2, этоприближениеимеет ровно3 верные значащиецифры. 
,следовательно,по теореме 2,приближениеимеет не менее3-х верных значащихцифр.§5.Прямая задачатеории погрешностей
(функцииот приближенныхзначений аргументов).
Пустьфункция
определенаи непрерывно-дифференцируемапо всем переменнымв области 
.Переменныезаданы своимиприближениями:
и точка 
Известнапогрешностьэлементов
.Необходимооценить погрешность 
. 
.Предположим,что
малы, поэтомуих произведениями,квадратамии более высокимистепенями можнопренебречь. 
Если
,то последнюючасть можноподелить нафункцию 
.Пример.Вычислитьвеличину погрешностиприближенногозначения большегокорня уравнения
.Вприближеннойзаписи используюттолько верныецифры, ????????????????????,обусловленныепогрешностьюприближенныхзначенийкоэффициентов.
, 
.Теперьобозначим
.Рассмотрим
.§6. Обратнаязадача теориипогрешностей.
Всезадачи теориипогрешностейделятся напрямые и обратные.
Прямая задача:определитьпогрешностьданной функцииот приближенныхзначений аргументов,заданных сизвестнойотносительнойпогрешностьюили с заданнойточностью.
Обратнаязадача:какими должныбыть относительнаяи абсолютнаяпогрешности,чтобы модульотносительнойили абсолютнойпогрешностизаданной функциине превышалзаданной величины.
Решениеобратной задачи.
Пусть
определенаи непрерывно-дифференцируемав области и точка .С какой точностью
следует взятьприближенныезначения для аргументов 
,чтобы погрешностьзначения функциине превышалапо модулю 
. 
– известно,найти .Существуютразличныеподходы к решениютаких задач.
Принциправных влияний
заключаетсяв предположении,что погрешностивсех аргументоввносят одинаковыедоли в погрешностифункции, тоесть частныедифференциалыравны междусобой по модулю:
-
Предполагают,что погрешностивсех аргументовравны
,тогда
.Пример.С какой точностьюследует взятьдроби, чтобысумма Sмогла бытьполучена сточностью до0,001?
Решение.
Обозначим
1-й принцип
.Сколько знаковпосле запятойнужно братьв дробях, чтобыполучиласьэта погрешность.Дроби необходимопредставитьв десятичномвиде та, чтобымодуль не превосходил0,00025, т.е. четырьмядесятичнымизнаками послезапятой.
§7. Метод границ.
Существуютразличныеспособы оценкиточности приближенныхвычислений:
строгий учетпогрешностей;
вычислениябез учетапогрешностей;
метод границ.
Метод границпозволяетустановитьграницы, в которыхнаходитсязначение, вычисляемоепо функции,если известныграницы, в которыезаключенызначения параметров,входящих вформулу.
– нижняяграница х; 
– верхняяграница хх – число.
Теорема1. Суммаверхних границслагаемыхявляется верхнейграницей ихсумм. Сумманижних границслагаемыхявляется нижнейграницей ихсуммы.
.Пример.
Теорема2. Разностьверхней границыуменьшаемогои нижней границывычитаемогоявляется верхнейграницей разности.Разность нижнихграниц уменьшаемогои верхней границывычитаемогоявляется нижнейграницей разности.
Доказательство.
, 
,сложим данныенеравенстваи получим результат.
ЧТД.
Пример.
Теорема3. Пустьнижняя границасомножителейнеотрицательна,то произведениенижних границсомножителейявляется нижнейграницей ихпроизведения,а произведениеверхних границсомножителейявляется верхнейграницей ихсомножителей.
Пример.
.Теорема4. Если
и n– целое положительноечисло, то 
, 
.Теорема5. Если НГделителяположительна,то частное ВГделимого и НГделителя являетсяВГ частногочисел; частноеНГ делимогои ВГ делителяявляется НГчастного
.Доказательство.
Перемножими получим
.ЧТД.
Пример.Вычислим значение
,где 
.Действие | Содержимое | НГ | ВГ |
| (1) | x | 2.57 | 2.58 |
| (2) | y | 1.45 | 1.46 |
| (3) | z | 8.33 | 8.34 |
| (1)+(2) | x+y | 4.02 | 4.04 |
| (1)-(2) | x-y | 1.11 | 1.13 |
 | 9.24 | 9.43 | |
 | 2.28 | 2.35 |
§8.Математическиемодели и численныеметоды.
Великароль математикив решении задачреального мира.Физиков математикаинтересуетне сама по себе,а как средстворешения физическихзадач. Один изспособов решениязадач: эксперимент.
Другойспособ: математическийанализ конструкцииили явления,однако такойанализ применяетсяне к самомуявлению, а кего математическоймодели. Математическаямодель физическогопроцесса представляетсобой совокупностьуравнений,описывающийпроцесс.
Математическаямодель должнаохватыватьважнейшиестороны явленияили процесса.Если математическаямодель выбранане точно, токакой бы мыспособ решенияне применили,результатымогут получитьсяне достаточнонадежными, аиногда и неверными.
Поэтому
1-ястадия работы:Постановказадачи.
2-ястадия работы:Математическоеисследование.
В зависимостиот сложностимодели применяютразличныематематическиеподходы, длянаиболее грубыхи наименеесложных моделейзачастую удаетсяполучитьаналитическоерешение (в видеформулы).
Длянаиболее точныхи сложных моделейаналитическоерешение удаетсяполучить крайнередко и тогдаприменяютчисленныеметоды решения,которые какправило требуютрасчета на ЭВМ.
3-ястадия работы.
Осмыслениематематическогорешения и егосопоставлениес даннымиэксперимента.Если решениехорошо согласуетсяс даннымиэксперимента,то такую модельможно применятьдля расчетапроцессовданного типа(модель выбранаправильно),если же решениеплохо согласуетсяс даннымиэксперимента,то такую модельнеобходимопересмотретьи уточнить.Численныеметоды являютсяодним из мощныхматематическихсредств решениязадач. Естьзадачи, где бездостаточносложных численныхметодов неудалось быполучить ответа.В современнойфизике такихзадач оченьмного, болеетого за короткоевремя нужнопровести огромноеколичествовычислений,иначе нет смысларешать задачу(суточный прогнозпогоды долженбыть просчитанза несколькочасов, а коррекциядвижения ракетыза несколькоминут). Это немыслимобез мощных ЭВМ,выполняющих1000000 операций всекунду. Современныечисленныеметоды и мощныеЭВМ позволилирешать задачи,о которых полвеканазад человекмог толькомечтать. Численныеметоды делятсяна точные иприближенные.Точные методыпозволяют законечное числоарифметическихдействий получитьрешение задачи.При этом еслиисходные данныезаданы точнои вычисленияпроизводилисьбез округления,то получаетсяточное решениезадачи.
Кточным методамотносятся:метод Гауссаи его модификации,метод Крамера,метод ортогонализациии т.д.
Приближенныеметоды (итерационные)дают бесконечнуюпоследовательностьприближений,предел которых,если он существует,является решениемзадачи. К итерационнымметодам относятсяметод Ньютонаи метод простыхитераций, методхорд и методсекущих длярешений уравнений.
§9.Понятие корректнопоставленной
инекорректнопоставленнойзадач.
Приприближенномрешении математическихили прикладныхзадач весьмасущественнымявляется вопросо том, корректноли решаемаязадача.
Большинствонекорректныхзадач записываетсяв виде уравненияпервого порядка,где по заданномунеобязательномуоператору
и по известнойправой части 
требуется найти 
. 
- метрическиепространства,а в особо оговариваемыхслучаях – Банаховыили Гильбертовы.Определение.Задачаопределениярешения
при заданном называетсяустойчивойна пространствах 
и 
,если 
(1)Решениеустойчиво, еслибесконечномалым вариациямправой частисоответствуютбесконечномалые вариациих.
Определение.СледуяЖаку Адамарузадача отыскания
уравнения (1)называетсякорректной(корректнопоставленной),если при любойфиксированнойправой части 
решение задачи:существуетв Х;
единственнов Х;
устойчивов Х.
Еслиже хотя бы одноиз условий 1-3не выполняется,то задачанекорректна.