Министерство общего и профессионального образования Российской федерации.
Уральский Государственный Технический Университет - УПИ.
Реферат
ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ.
Выполнил:
Студент группы Х-149
Покровский П.В.
Проверил:
Преподаватель кафедры ВМ и УМФ
Пироговская Л. М.
Екатеринбург.
1999.
1. Координаты центра тяжести.
Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек
P1(x1,y1); P2(x2,y2); ... , Pn(xn,yn)
c массами m1,m2,m3, . . . , mn.
Произведения ximi и yimi называются статическими моментами массы mi относительно осей Oy и Ox.
Обозначим через xc и yc координаты центра тяжести данной системы. Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами:
Эти формулы используются при отыскании центров тяжести различных фигур и тел.
2. Центр тяжести плоской фигуры.
Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной d для всех частей фигуры.
Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, . . . , x=xn=b на полоски ширины Dx1, Dx2, . . ., Dxn. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность d. Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис.1) с основанием Dxi и высотой f2(x)-f1(x), где x, то масса полоски будет приближенно равна
(i = 1, 2, ... ,n).
Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:
Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:
Переходя к пределу при , получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:
Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности d фигуры (в процессе вычисления d сократилось).
3. Координаты центра тяжести плоской фигуры
В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести системы материальных точек P1, P2, . . ., Pn c массами m1, m2, . . ., mn определяются по формулам
.
В пределе при интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры:
(*)
Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во всех точках плотность g.
Если же поверхностная плотность переменна:
то соответствующие формулы будут иметь вид
Выражения
и
называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox.
Интеграл выражает величину массы рассматриваемой фигуры.
4. Теоремы Гульдена.
Теорема 1.
Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.
Теорема 2.
Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.
II.Примеры.
1)
Условие: Найти координаты центра тяжести полуокружности X2+Y2=a2, расположенной над осью Ox.
Решение: Определим абсциссу центра тяжести: ,
Найдем теперь ординату центра тяжести:
2)
Условие: Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y2=ax, отсекаемого прямой, х=а (рис. 2)
Решение: В данном случае поэтому
(так как сегмент симметричен относительно оси Ox)
3)
Условие: Определить координаты центра тяжести четверти эллипса (рис. 3)
полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1.
Решение: По формулам (*) получаем:
4)
Условие:
Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии .
Решение:
1Так как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр тяжести лежит на оси Oy, т.е. Xc= 0. Остается найти . Имеем тогда длина дуги
Следовательно,
5)
Условие:
Пользуясь теоремой Гульдена найти координаты центра тяжести четверти круга
.
Решение:
При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем которого равен
Согласно второй теореме Гульдена, Отсюда Центр тяжести четверти круга лежит на оси симметрии, т.е. на биссектрисе I координатного угла, а потому
III. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. «Высшая математика в упражнениях и задачах», часть 2, «Высшая школа», Москва, 1999.
2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов», том 2, «Наука», Москва, 1965