Атомические разложения функций в пространстве Харди (стр. 1 из 13)

Міністерство Освіти України

Одеський державний університет

ім. І.І.Мечнікова

Інститут математики, економіки та механіки

Атомічні розкладення функцій

у просторі Харді

Дипломна робота

студентки V курсу

факультету математики

Семенцовой В.А.

Науковий керівник

Вартанян Г.М.

Одеса - 2000

Содержание

Введение.................................................................................... 3

Глава I. Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах

, и ................................. 8

§I.1. Интеграл Пуассона..................................................... 8

§I.2. Пространства

....................................................... 12

§I.3. Пространства

и ......................................... 17

§I.4. Произведение Бляшке, нетангенциальная

максимальная функция............................................... 22

Глава II. Атомические разложения функции в пространстве

, пространство ВМО........................................ 26

§II.1. Пространство

, критерий принадлежности

функции из

пространству ....................... 26

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на

,

двойственность

и ВМО.................................. 32

Литература.................................................................................. 37

Введение.

Целью настоящей работы является изучение основных понятий и результатов, полученных в области пространств Харди, которая не изучалась в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства

, , и , раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных понятий вводится именно в такой последовательности , так как определение каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее в выше перечисленном ряду объектов.

Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В первой главе изучены свойства пространств

, , , а во второй мы доказываем коитерий принадлежности функции из пространству и двойственность пространств и .

В работе мы рассматриваем случай

периодических функций. Используемые обозначения имеют следующий смысл:

- пространство периодических, непрерывных на функций;

- пространство периодических, бесконечно дифференцируемых на функций;

- пространство периодических, суммируемых в степени р на функций, т.е.для которых , ;

- пространство периодических ограниченных на функций;

- носитель функции .

В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона суммируемой на [-p,p] 2p-периодической комплекснозначной функции

называется функция

¦_r ( x ) =

,

где

, t Î [ -p, p ] - ядро Пуассона.

Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы неоднократно будем использовать в ряде доказательств:

а)

;

б)

;

в) для любого d>0

Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении интеграла Пуассона

при :

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции

( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство

;

если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то

.

Теорема 2 (Фату).

Пусть

- комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:

Определение1. Функция

называется аналитической в точке , если она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности. Говорят, что функция аналитична на некотором множестве,если она аналитична в каждой точке этого множества.

Определение2. Действительная функция двух действительных переменных

называется гармонической в области , если и удовлетворяет уравнению Лапласа:

.

Определение3. Две гармонические функции

и , связанные условиями Коши-Римана : , , называются гармонически сопряженными функциями.

Определение4. Под нормой пространства

понимается

, .

Определение5. Под нормой пространства

понимается

, .

Определение6. Пусть

( или , ). Модуль непрерывности ( соответственно интегральный модуль непрерывности) функции определяется равенством