
,

. (57)
При этом функция

также аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и

.
Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения (56):

,

,

.
Так как

для любого

, то по теореме 4

и

, если

.
Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что

(

) равномерно по

, мы получим

,

,
т.е.

,

.
Теорема 6 доказана.
ОпределениеI.7.
Пусть

,

, - произвольное число. Обозначим через

,

, область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки

к окружности

, и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при

вырождается в радиус единичного круга). Для

положим

,

,
где

- интеграл Пуассона функции

. Функция

называется нетангенциальной максимальной функцией для

.
В силу теоремы 2

для п.в.

. (58)
Установим, что для произвольной функции

величина

не превосходит (по порядку) значения максимальной функции
*) в точке х, т.е.

,

. (59)
Нам понадобится
утверждение 3.
а) если функция

, то для любого

;
б) если функция

,

то

,
где

- постоянная, зависящая только от числа р.
Пусть

и

. По определению интеграла Пуассона

Положим

. Тогда будем иметь

и, в силу неравенства

,

, и периодичности

,

. (60)
Так как обе функции

и

положительны при

и отрицательны при

( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что

, мы получим

. (61)
Для

имеют место оценки

,

.
Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что

при

, (62)
если

. Пусть

, тогда

.
В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения 3 вытекает, что для любой функции

,

,

, (63)
где

- постоянная, зависящая только от

.
Теорема 7.
Пусть

(

),

и

,

.

Тогда

и

. (64)
Доказательство.
Утверждение теоремы 7 в случае, когда

, есть прямое следствие оценки (63) и теоремы 4. Пусть теперь

. По теореме 6

, где

,

, если

и

. Из функции

можно извлечь корень: существует функция

такая, что

, и, следовательно из (64) при р=2, получим