Чтобы получить в), положим

,

.
Согласно теореме 5

,

, а следовательно,

. Но тогда (для п.в.

)

, и из определения класса

мы получим, что

. (48)
Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).
Замечание 3.
Если

, то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство

совпадает с

. Для р=1 это не так. Пространство

уже, чем

, и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций

, для которых и

.

- банахово пространство с нормой

. (49)
Полнота

с нормой (49) следует из утверждения 2 и полноты пространства

: если

при

, то

,

,

, и так как

по мере при

, то

и

при

.
Замечание 4.
Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае, когда

,

,

,

.
Отметим также, что, взяв в (47) вместо

функцию

и учитывая б), мы получим

, если

. (50)
§I.4.Произведение Бляшке,
нетангенциальная максимальная функция.
Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) -

удовлетворяет условию

,

,

. (51)
Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)

. (52)
Для фиксированного

,

, при

имеет место оценка

. (53)
Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге

, т.е. функция

аналитична в единичном круге и имеет нули в точках

,

, и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством

(

,

), мы находим

,

. (54)
Допустим теперь, что

(

) - нули некоторой функции

с

, причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим

,

Функция

(

) аналитична в круге радиуса больше единицы, и

, если

. Следовательно,

и согласно п.3 теоремы 4

. Но тогда

и

,

(55)
Так как

,

, то из (55) вытекает сходимость произведения

, а значит, и сходимость ряда (51).
ОпределениеI.6.
Пусть

- аналитическая в круге

функция и

,

(

) - ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также

- кратность нуля функции

при

. Произведение

(56)
называется произведением Бляшке функции

.
Справедлива
Теорема 6.
Каждая функция

представима в виде

,
где

не имеет нулей в круге

и

,

,
а

- произведение Бляшке функции

.
Доказательство.
Пусть

,

(

) - нули функции

( или, что то же самое, нули функции

) Тогда, как отмечалось выше,

- аналитическая в круге

функция и