Атомические разложения функций в пространстве Харди (стр. 7 из 13)

Пусть

фиксировано. Для произвольной функции

положим

где

Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций

(наличие этих свойств мы установим ниже):

;

2) при

функции

, сходятся по мере к

;

где С - абсолютная константа.

Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).

Легко видеть, что

, где

, поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций

по мере

. (38)

Для произвольного

найдем тригонометрический полином

такой, что

. (39)

Тогда согласно 3)

(40)

и при

. (41)

Так как

- полином, то

. (42)

Учитывая, что

, и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим

что вместе с (38) доказывает равенство (37).

Докажем теперь, что для произвольной функции

справедливы соотношения 1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как

Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное

и представим функцию

в виде

. (43)

Из непрерывности функции

легко следует, что

равномерно по

. Поэтому при достаточно больших

с учетом (43) мы будем иметь

(44)

Кроме того, в силу 1) и (43)

;

из этого неравенства и (44) вытекает, что при

Для доказательства оценки 3) заметим, что

где

. Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции

и учитывая, что

, получим 3).

Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме 5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г).

Пусть

(

) и

. Тогда по теореме 4

и надо доказать только, что

для п.в.

Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что при

С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого

. (45)

Согласно теореме 1

. (46)

Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости

(

) следует сходимость по мере функций

. Таким образом,

по мере (

а потому , учитывая (46),

для п.в.

Теорема 5 доказана.

Следствие 1.

а) Если

, то

;

б) если

, то

;

в) если

, то

. (47)

Доказательство.

Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5.