
. Наконец, из 1) следует, что

а тогда

.
Пусть

. Для построения искомой функции

положим

,

,

.
Функции

,

, имеют равномерно ограниченную по r вариацию на

:

.
Следовательно, по теореме Хелли [2] найдутся функция ограниченной вариации

и последовательность

, такие, что

в каждой точке

и

(32)
для любой функции

. При этом для n=1,2,...

(мы учли аналитичность функции F(z) в единичном круге) и , следовательно, по теореме 3

абсолютно непрерывна : существует функция

, для которой

,

Тогда

,

(33)
Зафиксируем число

. Функция

, аналитична в круге

, поэтому согласно утверждению 1

,

.
В пределе при

из последнего равенства вытекает, что

,

,

.
Равенство 1) , а вместе с ним и теорема 4 доказаны.
§I.3.Пространства

и

.
Обозначим через

класс тех функций

,

, которые являются граничными значениями функций из

, т.е. представимы в виде

для п.в.

,

.
В силу пунктов 3) и 2) теоремы 4

и каждая функция

удовлетворяет условию (16). С другой стороны, выше мы доказали, что для произвольной

с условием (16) интеграл Пуассона (17) определяет функцию из

. Следовательно,

. (34)
Из (34) вытекает, что

(замкнутое) - подпространство пространства

, а

- банахово пространство с нормой (15).
Пусть

. Положим

,

, (35)

ОпределениеI.5.
Если функция

, то сопряженной к ней функцией называется функция

,

,
где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. как предел при

интегралов

.
В дальнейшем нам понадобится
Утверждение2.
Для любой функции

сопряженная функция

существует и конечна п.в. на

; при этом
а)

, y>0;
б) если

,

, то

и

.
Теорема 5.
Следующие условия эквивалентны

:
а)

;
б)

,

,

,

;
в)

;
г)

, где

- такая действительная функция, что ее сопряженная

также принадлежит пространству

:

. (36)
Доказательство:
Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2.
Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :

, имеют место равенства

,

(37)
Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что

,

,

,

. Следовательно, равенства (37) выполняются, если

- произвольный тригонометрический полином.