Атомические разложения функций в пространстве Харди (стр. 3 из 13)

а)

; б) ; в) .

Атомом назовем также функцию

, . Под обобщенным интервалом понимается либо интервал из , либо множество вида ( ).

Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году Р.Койфманом о том, что функция

тогда и только тогда, когда функция допускает представление в виде

, , где , , - атомы. (*)

При этом

, где inf берется по всем разложениям вида (*) функции , а с и С - абсолютные константы.

Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с атомами.

В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству

, легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о двойственности пространств и . Доказательству этого факта и посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение : пространство ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих условию

, (91)

где

, а sup берется по всем обобщенным интервалам . А затем доказываем теорему о том, что .

Глава I.

Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах

,

и

§I.1.Интеграл Пуассона.

Пусть ¦(x) , g(x) , xÎR¹ –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f*g(x) будем обозначать свертку

f*g(x) = dt

Из теоремы Фубини следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и

c_n ( f*g ) = c_n ( f )× c_-n ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )

где { c_n ( f )} - коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

c_n (f)=

^{-i n t}dt , n = 0, ±1, ±2,¼

Пусть ¦ Î L¹ (-p, p ) . Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию

¦_r ( x ) =

_n ( f ) r^{| n |} e^{i n x} , x Î [ -p, p ] . ( 2 )

Так как

для любых x Î [ -p, p ], n = 0, ±1, ±2,¼, а ряд сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности функций стремятся к нулю при ), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦_r (х) равны c_n ( f_r ) = c_n (f)× r^{| n |} , n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это значит, что ¦_r ( x ) можно представить в виде свертки :

¦_r ( x ) =

, ( 3 )

где

, t Î [ -p, p ] . ( 4 )

Функция двух переменных Р_r (t) , 0 £ r <1 , t Î [ -p, p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) - интегралом Пуассона .

Следовательно,

P_r ( t ) =

, 0 £ r < 1 , t Î [ -p, p] . ( 5 )

Если ¦Î L¹ ( -p, p ) - действительная функция , то , учитывая , что

c_-n ( f ) =

, n = 0, ±1, ±2,¼, из соотношения (2) мы получим :

f_r ( x ) =

=

, ( 6 )

где

F ( z ) = c₀ ( f ) + 2

( z = re^ix ) ( 7 )

- аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно сходящегося по х ряда [5]. Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦Î L¹( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = ¦_r (e^ix ) , z = re^ix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

v (z) = Im F (z) =

. ( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1+e ( e>0 ) функция и ¦ (x) = u (e^ix) , xÎ[ -p, p ] . Тогда

u (z) =

( z = re^ix , | z | < 1 ) ( 10 )

Так как ядро Пуассона P_r (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

= , | z | < 1+ e .

Но тогда коэффициенты Фурье функции

связаны с коэффициентами Фурье функции следующим образом :

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦_r (x) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а)

;

б)

; (11)

в) для любого d>0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦ (х) º 1.