
,

.
(

,

).
Определение7. Последовательность

функций, определенных на множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции

, если

для почти всех

, т.е. множество тех точек

, в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.
В §I.2 мы рассматриваем пространства

- это совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма

.
Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую функцию

(

) можно предсавить в виде

,

,

,
где

для п.в.

, при этом

;

.
Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих определениях:
Определение8. Говорят, что действительная функция

, заданная на отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая постоянная

, что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками

выполнено неравенство

.
Определение9. Действительная функция

, заданная на отрезке [a,b], называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого

найдется число

такое, что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов

,

с суммой длин, меньшей

:

, выполняется неравенство

.
В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению пространств

и

. Пространство

(

) представляет собой совокупность тех функций

,

, которые являются граничными значениями функций (действительных частей функций) из

, т.е. представимы в виде

(

). Здесь мы получаем следующие результаты: при

пространство

совпадает с

, а при р=1

уже, чем

, и состоит из функций

, для которых и

.
В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции

, аналитической в круге

с нулями

,

(

) с учетом их кратности:

,
где

- кратность нуля функции

при

.
Здесь доказывается, что каждая функция

представима в виде

, где

не имеет нулей в круге

и

,

,а

- произведение Бляшке функции

.
Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции . Пусть

,

, - произвольное число. Обозначим через

,

, область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки

к окружности

, и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при

вырождается в радиус единичного круга). Для

положим

,

,
где

- интеграл Пуассона функции

. Функция

называется нетангенциальной максимальной функцией для

.
Тут же мы доказываем теорему об оценке

: если

(

),

, то

и

.
Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году Харди и Литтлвудом.
Во второй главе два параграфа.
В §II.1 рассматривается пространство

. Как ранее отмечалось, оно уже, чем

. Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема - критерий принадлежности функции пространству

. Здесь вводится понятие атома: действительная функция

называется атомом, если существует обобщенный интервал

такой, что