
с

,

. (88)
Пусть

,

, - отрезок, соединяющий точки

и

. Так как

,

, то из непрерывности функции

при

и неравенства (87) вытекает, что

, если

,

, и

. Поэтому , учитывая (88)

,

,

,

. (89)
По теореме Коши [5]

.
Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги

справедливо равенство

,
мы получим
.
Но в силу теорем 4 и 5

,

,
и так как

,

, то мы находим, что

. (89')
Легко видеть, что отношение

ограничено сверху числом, зависящим только от s, поэтому

,

. (90)
Так как

, то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для

,

, справедливо неравенство (85). Для п.в.

неравенство (85) сразу следует из определения функций

и множеств

.
Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что

, а это значит, что функции

,

,

,
являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции

на атомы:

для п.в.

,
где

,

.
Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая равенство (77), имеем

.
Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.
§II.2. Линейные ограниченные функционалы на
, двойственность
и ВМО. Дадим описание пространства

, сопряженного к банахову пространству

. Нам потребуется
Определение II.10.
Пространство ВМО есть совокупность всех функций

, удовлетворяющих условию

, (91)
где

, а sup берется по всем обобщенным интервалам

.
Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой

. (92)
Ясно, что

. В то же время ВМО содержит и неограниченные функции. Нетрудно проверить, например, что функция

.
Теорема 9.

, т.е.
а) если

, и для произвольной функции

рассмотреть ее разложение на атомы (по теореме 8):

,

,

,

- атомы
*) (93)
и положить

, (94)
то сумма

ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на

;
б) произвольный ограниченный линейный функционал

на

представим в виде (94), где

. При этом

(С, С1 - абсолютные постоянные).
Лемма 2.
Пусть функция

такова, что для любого обобщенного интервала

найдется постоянная

, для которой

,
где М не зависит от

. Тогда

и

.
Доказательство.
Для любого обобщенного интервала

мы имеем