
где

- центр обобщенного интервала

. Из последнего соотношения, учитывая, что

и

, мы находим

,

, где

.
Следовательно,

.
Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны.
Необходимость.
Построим для данной функции

разложение (70), для которого

.
Пусть функция

с

такова, что выполнено соотношение (65), и пусть

(

) - нетангенциальная максимальная функция для

, т.е.

,

, (75')
где

- область, ограниченная двумя касательными, проведенными из точки

к окружности

, и наибольшей дугой окружности

, заключенной между точками касания.
Теорема 7 утверждает, что

, поэтому нам достаточно найти такое разложение функции

на атомы (70), что

, (76)
где постоянные С и

(

) не зависят от

. Для построения разложения (70) с условием (76) фиксируем число

: пусть, например,

. Не ограничивая общности, мы можем считать, что

. (77)
Рассмотрим на отрезке

множества

,

,

(78)
Так как при любом

множество точек единичной окружности

открыто, то ясно, что при

множество

(если оно непустое) представимо (единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:

,

при

,

,

. (79)
Положим

и при

(80)
Так как

конечна для п.в.

, то из определения функций

,

, следует, что для п.в.

при

, а значит, для п.в.

.
Отсюда, учитывая, что

, а следовательно из (80),

при

, мы находим, что

, (81)
где

- характеристическая функция множества

. Из (81), учитывая, что

, мы для функции

получаем следующее разложение:

для п.в.

, (82)
где

,

,

(83)
С помощью функций

мы и построим нужное нам разложение вида (70). Прежде всего отметим, что при

,


,

. (84)
Докажем теперь, что для п.в.

,

, (85)
где постоянная

зависит только от числа

, зафиксированного нами ранее.
Так как из (65) и (75')

для п.в.

, то из (77) следует, что

.
Пусть теперь

,

- один из обобщенных интервалов в представлении (79), тогда из (77) и (78)

, и если

,

- концевые точки дуги

(

) , то

, а значит,

,

. (86)
Из неравенств (86) согласно (75') следует, что

при

. (87)
Легко видеть (учитывая, что

и

) , что множества

и

пересекаются в одной точке: