Атомические разложения функций в пространстве Харди (стр. 10 из 13)
.Оценка снизу для
вытекает из (58).Теорема 7 доказана.
Глава II. Атомические разложения функции
в пространстве 
, пространство ВМО.
§II.1.Пространство , критерий принадлежности функции из 
пространству .
Рассмотрим
( 
) - пространство функций 
, являющихся граничными значениями действительных частей функций из пространства 
: 
для п.в. 
, 
. (65)Ранее мы доказали, что
, , (66)и что
- банахово пространство с нормой 
; (67)при этом, если в (65)
, то 
( ) . (68)В замечании 3 уже говорилось о том, что при
пространство совпадает с пространством 
и из утверждения 2 следует, что 
( ).Последнее соотношение теряет силу при
- нетрудно проверить, что при 
,где
и, следовательно, существует функция
, для которой 
. Таким образом, 
- собственное подпространство в 
. Ниже мы дадим критерий принадлежности функций к пространству .ОпределениеII. 8.
Множество
мы будем называть обобщенным интервалом, если 
- дуга на единичной окружности, т.е. 
- либо интервал из 
, либо множество вида 
( 
). (69)Точку
назовем центром обобщенного интервала , если 
- центр дуги 
. Длиной обобщенного интервала естественно назвать величину 
Определение II.9.
Действительную функцию
назовем атомом, если существует обобщенный интервал такой, чтоа)
;б)
;в)
.Атомом назовем также функцию
, 
.Теорема 8.
Для того, чтобы выполнялось включение:
, необходимо и достаточно, чтобы функция допускала представление в виде*) 
, 
, (70)где
, 
, - атомы. При этом 
, (71)где inf берется по всем разложениям вида (70) функции
, а с и С 
- абсолютные константы.Доказательство.
Достаточность.
Пусть для функции
нашлось разложение вида (70). Покажем, что и 
. Для этого достаточно проверить, что для любого атома 
имеет место неравенство 
. (72)Пусть
- такой обобщенный интервал, что , 
, (73)(случай
тривиален). Так как 
, то нам остается доказать, что 
. (74)Для любого измеримого множества
, применяя неравенство Коши и пользуясь утверждением 2 и соотношениями (73), мы находим 
, (75)откуда сразу вытекает (74), в случае, когда
.Допустим теперь, что
, и обозначим через 
обобщенный интервал длины 
с тем же центром, что и . Из (75) следует, что 
.Нам остается оценить интеграл
. Мы воспользуемся очевидным неравенством 
, 
,где
- длина наименьшей из двух дуг единичной окружности, соединяющих точки 
и , а 
- абсолютная постоянная. В силу (73) при 
мы имеем