Асимптота

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА

РЕФЕРАТ

по дисциплине: Высшая математика

на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

Выполнила: студентка 1 курса

Экономического факультета

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил: Рошаль А.С.

Москва 2002 год

2

Содержание

Введение 3

2. Нахождение асимптоты 4

2.1 Геометрический смысл асимптоты 5

2.2 Общий метод нахождения асимптоты 6

3. Виды 8

3.1 Горизонтальная асимптота 8

3.2 Вертикальная асимптота 9

3.3 Наклонная асимптота 10

Использованная литература 12

3

Введение

Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.

Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).

4

2. Нахождение асимптоты

Пусть функция f (x) определена для всех x > а (соответственно для всех

x <а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) - kx - l = 0 при х ®+¥ (соответственно при х ®-¥), то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функцииf (x) при x®+¥ (соответственно при х ®-¥).

Существование асимптоты графика функции означает, что при х ® + ¥

(или х ®-¥) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.

x - 3x - 2

Найдём, например, асимптоту графика функции y = x +1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,

2 2

получим y = x - 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х ®±¥, то прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х ® + ¥,

так и при х ®-¥.

5

2.1 Геометрический смысл асимптоты

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М

- проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,

q - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, q¹

,

MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ

с асимптотой АВ (рис.1).

(рис.1)

Тогда ММ

= f (x), QM = kx + l, MQ = MM - QM = f (x) – (kx +l),

MP = MQ cos q. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos q, поэтому условия MQ ® 0 и MP ® 0 при х ®+¥ (соответственно при х ®-¥) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,

то и lim MP = 0, и наоборот. х ®+¥

х ®+¥

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ®+¥ или, соответственно, х ®-¥).

6

2.2 Общий метод отыскания асимптоты

Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.

Будем рассматривать для определённости лишь случай х ®+¥ (при х ®-¥ рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х ®+¥. Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х ®+¥. Тогда

lim

= k.

х ®+¥

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) – kx).

х ®+¥

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является

х ®+¥

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем

х ®+¥

lim [f (x) - (kx + l)] = 0,

х ®+¥

то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim

= k. и l = lim (f (x) – kx)

х ®+¥ х ®+¥

сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует

представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim

= k. и l = lim (f (x) – kx)

х ®+¥ х ®+¥

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) =

,

найденную нами выше другим способом:

7

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x – 4, как при х ®+¥, так и при х ® - ¥.

В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.

8

3. Виды

3.1 Горизонтальная асимптота

Пусть $lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x® +¥) (рис.2)

(рис.2)

хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)

(рис.3)

9

3.2 Вертикальная асимптота

(рис.4)

Пусть при x ® a ± 0 lim f (x) = ±¥. Тогда говорят, что прямая x = a является

х ®¥

вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + ¥ или -¥.

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

.

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

10

3.3 Наклонная асимптота

(рис.5)

Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х ®±¥

lim [f (x) – (ax + b)] = 0.

x ®¥

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина

Но тогда мы имеем

и так как последний предел равен нулю, то

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример

то есть асимптота при x ® +¥ имеет уравнение y=x.

11

Аналогично можно показать, что при x ®- ¥ асимптота имеет вид y = - x.

Сам график функции

выглядит так (рис.6)

(рис.6)

12

Использованная литература

1. Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.

2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981

3. Лекции по математике