Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)
Формулы сокращенного умножения
(а ± в)2 = а2± 2ав + в2
(а ± в)3 = а3± 3а2в + 3ав2± в3
а2- в2 = (а + в) (а - в)
а3 + в3 = (а + в) (а2- ав + в2)
а3- в3 = (а - в) (а2 + ав + в2)
(а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас +2вс
Степени.
ам ан = ам + н
ам: ан = ам - н
(ав)м = ам вм
(ам)н = амн
(а : в)м = ам: вм
а- м = 1 : ам
ам : н = нÖ ам
Корни.
нÖав =нÖа нÖв
нÖа мÖв = н мÖам вн
нÖа : в = нÖа :нÖв
(нÖам)х = нÖам х
нÖам = ам/н
мÖнÖа = мнÖа
(нÖа)м = нÖам
Арифметическая прогрессия.
а1, а2, а3, …, аn-1, аn
аn-1 - аn= d
d – разность прогрессии
а2 = а1+ d
а3 = а2 + d = а1 + 2d
аn= а1 + d(n-1)
Sn = (а1 + аn) n = (2а1 + ( n-1) d) n
2 2
Sn – сумма членов арифметической
прогрессии.
d – разность прогрессии.
d > 0 – прогрессия возрастающая
d < 0 – прогрессия убывающая.
Геометрическая прогрессия.
а1, а2, а3, …, аn-1, аn
аn+1 / аn= q
а2 = а1 q
q - знаменатель прогрессии.
а3 = а2 q = а1 q2
аn= а1qn-1
Сумма членов для возрастающей
прогрессии (q > 1)
Sn = аnq - а1 = а1 (qn -1 : q – 1)
q – 1
Сумма членов для убывающей прогрессии (q < 1)
Sn = а1 (1 - qn)
1 - q
Сумма членов бесконечно убывающей
Прогрессии
Sn = а1
1 - q
Вектора.
а = М1М2 ={х2 – х1, у2 – у1, z2 –z1}
Длина вектора
çа ç=Ö(х2 - х1)2 +(у2 - у1)2 + (z2 - z1)2
Умножение вектора на число
a а = d
Скалярное произведение векторов
а в = çа ççв çcosj
cosj = х1х2 + у1у2 + z1z2Öх12 + у12 +z12Öх22 +у22 + z22
а2 = çа ç2
а в = х1х2 + у1у2 + z1z2
Параллельность векторов
а ççв, то х1 = у1 = z1
х2у2 z2
Перпендикулярность векторов
а ^ в, то х1х2 + у1у2 + z1z2
Производная.
(c u)¢ = с u¢
u ¢ = u¢ v – u v¢
v v2
(c)¢ = 0
(xn )¢ = n xn-1
(ax)¢= ax ln a
(ех)¢ =ех
(sin x)¢ = cos x
(cos x)¢ = - sin x
(tg x)¢ = 1
cos2 x
(ctg x)¢ = - 1
sin2 x
(ln x)¢ = 1
х
(1 / х)¢ = - 1
х2
(Öх)¢ = 1
2 Öх
(х)¢ = 1
Логарифмы.
logав = с
logа 1 = 0
logа а = 1
logа (mn) = logа m + logа n
logа m = logа m - logа n
n
logа mn = nlogа m
logа nÖm = 1 logа m
n
logав = logсв
logс а
Основные тригонометрические тождества
sin2x + cos2x = 1
tg x = sin x
cos x
ctg x = cos x
sin x
1 + ctg2 x = 1
sin2 x
1 + tg2 x = 1
cos2 x
tg x ctg x = 1
Формулы сложения и вычитания
sin (a±b) = sina cosb± cosa sinb
cos (a±b) = cosa cosb± sina sinb
tg (a±b) = (tga± tgb)
(1 + tga tgb)
ctg (a±b) = ctga ctgb+ 1
ctgb±ctga
sina + sinb = 2 sin (a + b) cos (a-b)
2 2
sina- sinb = 2 cos (a + b) sin (a-b)
2 2
cosa + cosb = 2 cos (a + b) cos (a-b)
2 2
cosa- cosb = - 2 sin (a + b) sin (a-b)
2 2
tga± tgb = sin (a±b)
cosa cosb
ctga± ctgb = sin (b±a)
sina sinb
sin2a- sin2b = cos2b- cos2a =
sin (a + b) sin (a-b)
cos2a- sin2b = cos2b- sin2a =
cos (a + b) cos (a-b)
Связь между тригонометрическими функциями
sina = ±Ö1 - cos2a
sina = tga
±Ö1 + tg2a
sina = 1
±Ö1 + ctg2a
cosa = ±Ö1 - sin2a
cosa = 1
±Ö1 + tg2a
cosa = ctga
±Ö1 + ctg2a
tga = sina
±Ö1 - sin2a
tga = ±Ö1 - cos2a
cosa
tga = 1
ctga
ctga = ±Ö1 - sin2a
sina
ctga = cosa
±Ö1 - cos2a
ctga = 1
tga
Формулы преобразования произведения
sina sinb = cos (a-b) - cos (a + b)
2
cosa cosb = cos (a-b) + cos (a + b)
2
sina cosb = sin (a + b) + sin (a-b)
2
tga tgb = tga + tgb
ctga + ctgb
ctga tgb = ctga + tgb
tga + ctgb
ctga ctgb = ctga + ctgb
tga + tgb
Формулы двойных углов
sin2a = 2 sina cosa
sina = 2 sin (a) cos (a)
cos2a = cos2a- sin2a =
= 1 - 2sin2a =
= 2cos2a- 1
tg2a = 2 tga
1 - tg2a
= 2
ctga- tga
tga = 2 tg (a/2)
1 - tg2 (a/2)
ctg2a = ctg2a- 1
2 ctga
= ctga- tga
2
ctga = ctg2 (a/2) - 1
2 ctg (a/2)
sin x = a
x = (-1)n arksin a + pn
cos x = a
x = ± arkcos a + 2pn
tg x = a
x = arktg a + pn
ctg x = a
x = arkctg a + pn
Формулы приведения
sin (p /2 -a) = + cosa
sin (p /2 + a) = + cosa
sin (p-a) = + sina
sin (p + a) = - sina
sin (3p/2 -a) = - cosa
sin (3p /2 + a) = - cosa
sin (2p-a) = - sina
sin (2p + a) = + sina
----------------
cos (p/2 -a) = + sina
cos (p/2 + a) = - sina
cos (p-a) = - cosa
cos (p + a) = - cosa
cos (3p/2 -a) = - sina
cos (3p/2 + a) = + sina
cos (2p-a) = + cosa
cos (2p + a) = + cosa
-----------------
tg (p/2 -a) = + ctga
tg (p/2 + a) = - ctga
tg (p-a) = - tga
tg (p + a) = + tga
tg (3p/2 -a) = + ctga
tg (3p/2 + a) = - ctga
tg (2p-a) = - tga
tg (2p + a) = + tga
-------------
ctg (p/2 -a) = + tga
ctg (p/2 + a) = - tga
ctg (p-a) = - ctga
ctg (p + a) = + ctga
ctg (3p/2 -a) = + tga
ctg (p/2 + a) = - tga
ctg (2p-a) = - ctga
ctg (2p + a) = + ctga
sin (-a) = - sina
cos (-a) = cosa
tg (-a) = - tga
В прямоугольном треугольнике
a2 + b2 = c2
a = c sina
a = b tga
b = c cosa
теорема синусов:
a = b = c
sina sinb sing
теорема косинусов:
a2 = b2 + c2 - 2 bc cosa
S = ½ ab
Площади фигур
Прямоугольник
S = a b = ½ d1 d2 sina,
d1 и d2 - диагонали
a - угол пересечения диагоналей
Параллелограмм
S = a h = a b sina
S = ½ d1 d2 sina
Трапеция
S = a + b h = ½ d1 d2 sina
2
Круг
S = l r = p r2
2
ТРЕУГОЛЬНИК
S = ½ ah = ½ ab sina
Формула Герона:
S = Ö p (p - a) (p - b) (p - c)
p = a +b + c
2
Площадь треугольника описанного окружностью:
S = a b c
4r
Площадь треугольника с вписанной окружностью:
S = ½ r P
где Р – периметр
радиус описанной окружности:
R = a b c
4S
радиус вписанной окружности:
r = 2S
a + b + c
длина окружности:
l = 2pr
Квадрат
S = a2 = d2/2
Ромб
S = a2 sina = ah = ½ dD
где d - малая диагональ
D - большая диагональ
Объемы тел:
Параллелепипед
V = Sоснh
Куб
V = abc = a3
Призма
V = Sоснh = S^сечl
l - грань призмы
Пирамида
V = 1/3 Sоснh
Цилиндр
V = Sоснh = pr2 h = 1/4pd2h
r - радиус основания
d - диаметр основания
Конус
V = 1/3 Sоснh = 1/3 pr2h
Шар
V = 4/3 pr3
Площади поверхностей
Призма
Sп = Sбок + 2Sосн
Sбок = ph = S^сеч l
p = a + b +c
Куб
Sп = 6a2
Пирамида четырехугольная
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = ½ Pоснh
h – высота боковой грани
Пирамида треугольная
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = Sоснcosj
j - угол наклона грани
Цилиндр
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = 2prh
Sосн = 2pr (h + r)
Конус
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = prl
Sосн = pr (l + r)
Параллелепипед
Sп = Sбок + 2Sосн
Sбок = Pоснl
Шар
S = 4 pr2
Значения углов
a 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p
sin 0 ½ Ö2/2 Ö3/2 1 0
cos 1 Ö3/2 Ö2/2 ½ 0 -1
tg 0 1/Ö3 1 Ö3 - 0
ctg - Ö3 1 1/Ö3 0 -
