Аксиоматика теории множеств
Содержание стр. Введение………………………………………………………………………….3
§1.Системааксиом…………………………………………………………….....4
Аксиомаобъемности…………………………………………………6
Аксиомапары…………………………………………………………6
Аксиомапустогомножества…………………………………………6
Аксиомысуществованияклассов……………………………………8
Аксиомаобъединения……………………………………………….14
Аксиомамножества всехподмножеств……………………………14
Аксиомавыделения………………………………………………….15
Аксиомазамещения…………………………………………………16
Аксиомабесконечности……………………………………………..16
§2.Аксиома выбора.Лемма Цорна…………………………………………….19
Заключение………………………………………………………………………22 Списоклитературы……………………………………………………………...23
Введение
Значениематематическойлогики в нашеми прошлом столетиисильно возросло.Главной причинойэтого явилосьоткрытие парадоксовтеории множестви необходимостьпересмотрапротиворечивойинтуитивнойтеории множеств.Было предложеномного различныхаксиоматическихтеорий дляобоснованиятеории множеств,но как бы онине отличалисьдруг от другасвоими внешнимичертами, общеедля всех нихсодержаниесоставляютте фундаментальныетеоремы, накоторые в своейповседневнойработе опираютсяматематики.Выбор той илииной из имеющихсятеорий являетсяв основномделом вкуса;мы же не предъявляемк системе, которойбудем пользоваться,никаких требований,кроме того,чтобы она служиладостаточнойосновой дляпостроениясовременнойматематики.
§1.Система аксиом
Опишем теориюпервого порядкаNBG,которая в основномявляетсясистемой тогоже типа, что исистема, предложеннаяпервоначальнофон Нейманом[1925], [1928], а затем тщательнопересмотреннаяи упрощеннаяР. Робинсоном[1937], Бернайсом[1937—1954] и Гёделем[1940]. (Будем в основномследоватьмонографииГёделя, хотяи с некоторымиважными отклонениями.)Теория NBGимеет единственнуюпредикатнуюбукву
и не имеет ниодной функциональнойбуквы или предметнойконстанты.Чтобы бытьближе к обозначениямБернайса [1937—1954]и Гёделя [1940], мыбудем употреблятьв качествепеременныхвместо x1,x2,… прописныелатинскиебуквы X1,Х2,... (Какобычно, мы используембуквы X,Y,Z,... дляобозначенияпроизвольныхпеременных.)Мы введем такжесокращенныеобозначенияХ 
Yдля (X,Y)и X 
Yдля 
(X,Y).Содержательнознак понимаетсякак символотношенияпринадлежности.Следующимобразом определимравенство:
Определение.Х=Yслужит сокращениемдля формулы
.Таким образом,два объектаравны тогдаи только тогда,когда они состоятиз одних и техже элементов.
Определение.
служит сокращениемдля формулы 
(включение).Определение.X 
Yслужит сокращениемдля Х 
Y& X ≠Y(собственноевключение).
Из этих определенийлегко следует
Предложение 1.
(а) 
Х= Y 
(X Y&Y X);
(b) Х= Х;
(с) Х= Y 
Y=Х;
(d) Х= Y (Y= Z Х= Z);
(е) Х= Y (Z X Z Y).
Теперь приступимк перечислениюсобственныхаксиом теорииNBG,перемежаяформулировкисамих аксиомразличнымиследствиямииз них и некоторымидополнительнымиопределениями.Предварительно,однако, отметим,что в той «интерпретации»,которая здесьподразумевается,значениямипеременныхявляются классы.Классы — этосовокупности,соответствующиенекоторым,однако отнюдьне всем, свойствам(те свойства,которые фактическиопределяютклассы, будутчастично указаныв аксиомах. Этиаксиомы обеспечиваютнам существованиенеобходимыхв математикеклассов и являются,достаточноскромными,чтобы из нихнельзя быловывести противоречие).(Эта «интерпретация»столь же неточна,как и понятия«совокупность»,«свойство»и т. д.)
Назовем классмножеством,если он являетсяэлементомкакого-нибудькласса. Класс,не являющийсямножеством,назовем собственнымклассом.
Определение.M(X)служит сокращениемдля
Y(X Y)(X есть множество).Определение.Pr(X)служит сокращениемдля
M(X)(Xесть собственныйкласс).В дальнейшемувидим, чтообычные способывывода парадоксовприводят теперьуже не к противоречию,а всего лишьк результату,состоящемув том, что некоторыеклассы не являютсямножествами.Множествапредназначеныбыть теми надежными,удобными классами,которыми математикипользуютсяв своей повседневнойдеятельности;в то время каксобственныеклассы мыслятсякак чудовищнонеобъятныесобрания, которые,если позволитьим быть множествами(т. е. быть элементамидругих классов),порождаютпротиворечия.
Система NBGзадумана кактеория, трактующаяо классах, а нео предметах.Мотивом в пользуэтого послужилото обстоятельство,что математикане нуждаетсяв объектах, неявляющихсяклассами, вродекоров или молекул.Все математическиеобъекты и отношениямогут бытьвыражены втерминах однихтолько классов.Если же радиприложенийв других наукахвозникаетнеобходимостьпривлечения«неклассов»,то незначительнаямодификациясистемы NBGпозволяетприменитьее равным образомкак к классам,так и к «неклассам»(Мостовский[1939]).
Мы введемстрочные латинскиебуквы x1,x2,… в качествеспециальных,ограниченныхмножествами,переменных.Иными словами,
x1A(x1)будет служитьсокращениемдля X(M(X) A(X)), что содержательноимеет следующийсмысл: «Aистинно длявсех множества,и x1A(x1)будет служитьсокращениемдля X(M(X) A(X)),что содержательноимеет смысл:«A истинно длянекоторогомножества».Заметим, чтоупотребленнаяв этом определениипеременнаяXдолжна бытьотличной отпеременных,входящих в A(x1).(Как и обычно,буквы х,y,z,... будутупотреблятьсядля обозначенияпроизвольныхпеременныхдля множеств.)П р и м е р.Выражение
Х х y ZA(X, х, y,Z)служит сокращениемдля Х Xj(М(Xj) Y(M(Y)& ZA(X,Xj,Y,Z))).Ак с и о м а Т. (Аксиомаобъемности.)Х = Y (X Z Y Z).
Предложение 2. СистемаNBGявляетсятеорией первогопорядка с равенством.
А к с и о м а Р. (Аксиомапары.) x y z u(u z u= x 
u= y), т. е.для любых множествх и усуществуетмножество zтакое, что хи уявляютсяединственнымиего элементами.
А к с и о м а N. (Аксиомапустого множества.) х y(у х), т. е.существуетмножество, несодержащееникаких элементов.
Из аксиомыN и аксиомыобъемностиследует, чтосуществуетлишь единственноемножество, несодержащееникаких элементов,т. е.
1x y(у х). Поэтомумы можем ввестипредметнуюконстанту 0,подчиняв ееследующемуусловию.Определение. y(y 0).
Так как выполненоусловие единственностидля неупорядоченнойпары, то можемввести новуюфункциональнуюбукву g(х,y)для обозначениянеупорядоченнойпары хи у.Впрочем вместоg(х,y)мы будемписать {х,у}. Заметим,что можно однозначноопределитьпару {X, Y}для любых двухклассов Хи Y,а не только длямножеств хи у.Положим {X,Y}= 0, если одиниз классов X,Y не являетсямножеством.Можно доказать,что
NBG 1Z((M(X)&M(Y)& u(u Z u= X u= Y))
(( M(X) M(Y))&Z=0)).Этимоправдановведение пары{X, Y}:
Определение.(М(Х)& М(Y)& u(и {X,Y} u= X u= Y))
(( M(X) M(Y))& {X,Y}= 0).Можнодоказать, что
NBG x y u(u {х,у} u= x u= y)и NBG x y(M({х,у})).Определение.
= {{Х}, {X, Y}}. называетсяупорядоченнойпаройклассов Хи Y.Никакоговнутреннегоинтуитивногосмысла этоопределениене имеет. Оноявляется лишьнекоторымудобным способом(его предложилКу-ратовский)определитьупорядоченныепары такимобразом, чтобыможно былодоказать следующеепредложение,выражающеехарактеристическоесвойствоупорядоченныхпар.
Предложение 3.
NBG x y u v( 
).Доказательство. Пусть
= 
.Это значит,что {{x},{x,y}}= {{u},{u,v}}.Так как {х} {{x},{x,y}},то {x} {{u},{u,v}}.Поэтому{x}= ={u}или {х}= {u,v}.В обоихслучаях х= и. С другойстороны, {u,v} {{u},{u,v}}и, следовательно,{u,v} {{x},{x,y}}.Отсюда{u,v}= {x}или {u,v}= ={x,y}.Подобным жеобразом {x,y}= {u}или {х, у}={и,v}.Если или {u,v}= ={x}и {х,y}= {u},то х = и= у = v,в противномслучае {и,v}= {х, у} и, следовательно,{и, v}= {u,у}. Если приэтом v≠ u,то y= v,если же v= u,то тоже y= v.Итак, в любомслучае, y= v.Мы теперьобобщим понятиеупорядоченнойпары до понятияупорядоченнойn-ки.
Определение
=Х, 
Так, например,
и 
В дальнейшеминдекс NBGв записи
NBGопускается.Нетруднодоказатьследующееобобщениепредложения3:
Аксиомысуществованияклассов.
Эти аксиомыутверждают,что для некоторыхсвойств, выраженныхформулами,существуютсоответствующиеклассы всехмножеств, обладающихэтими свойствами.
А к с и о м аВ1.
X u v( 
X u v) ( -отношение).А к с и о м аВ2. X Y
Z u(u Z u X& u Y)(пересечение).
А к с и о м аВ3. X
Z u(u Z u X) (дополнение).А к с и о м аВ4. X
Z u(u Z v( X)) (областьопределения).
А к с и о м аВ5. X
Z u v( Z u X).А к с и о м аВ6. X
Z u v w( 
Z 
X).А к с и о м аВ7. X
Z u v w( Z 
X).С помощьюаксиом В2—В4можно доказать
X Y 1Z u(u Z u X & u Y), X 1Z u(u Z u x), X 1Z u(u Z v( X)).Эти результатыоправдываютвведение новыхфункциональныхбукв ∩, −, D.
Определения
u(u X∩ Y u X& u Y) (пересечениеклассовХ и Y). u(u 
u X) (дополнениек классуX). u(u D(X) v( X)) (областьопределениякласса X). 
(объединениеклассовХ и Y).V= 
(универсальныйкласс).
X− Y= X∩
Общая теоремао существованииклассов.
Предложение 4. Пусть φ(X1,…,Xn,Y1,…,Ym)– формула,переменныекоторойберутсялишь из числаX1,…,Xn,Y1,…,Ym. Назовёмтакую формулупредикативной,если в ней связнымиявляются толькопеременныедля множеств(т.е. если онаможет бытьприведена ктакому видус помощью принятыхсокращений).Для всякойпредикативнойформулы φ(X1,…,Xn,Y1,…,Ym)
Z x1… xn( 
Z φ (x1,…,xn,Y1,…,Ym)).Доказательство.Мы можем ограничитьсярассмотрениемтолько такихформул φ,которые несодержат подформулвида Yi W,так как всякаятакая подформуламожет бытьзаменена на
x(x= Yi & x W),что в своюочередь эквивалентноформуле x( z(z x z Yi)& x W).Можно такжепредполагать,что в φне содержатсяподформулывида X X,которые могутбыть замененына u(u= X& u X),последнее жеэквивалентно u( z(z u z X)& u X).Доказательствопроведем теперьиндукциейпо числу kлогическихсвязок и кванторов,входящих вформулу φ(записаннуюс ограниченнымипеременнымидля множеств).1. Пусть k= 0. Формула φимеет вид xi xj,или xj xi,или xi Yi,где 1 ≤ ij≤ n.В первом случае,по аксиоме В1,существуетнекоторый классW1такой, что
xi xj( 
W1 xi xj).Во второмслучае, по тойже аксиоме,существуеткласс W2такой, что
xi xj( 
W2 xj xi),и тогда, всилу
X Z u v( Z 
X),существуеткласс W3такой, что
xi xj( W3 xj xi).Итак, в любомиз первых двухслучаев существуеткласс W3такой, что
xi xj( W φ (x1,…,xn,Y1,…,Ym)).Тогда, заменивв
X Z v1… vk u w( 
Z 
X)X на W,получим,что существуетнекоторый классZ1такой, что
x1… xi-1 xi xj( 
Z1 φ(x1,…,xn,Y1,…,Ym)).Далее, наосновании
X Z v1… vm x1… xn( 
Z X)там же приZ1= X,заключаем, чтосуществуеткласс Z2такой, что
x1… xi xi+1… xj( 
Z2 φ(x1,…,xn,Y1,…,Ym)).Наконец,применяя
X Z v1… vm x1… xn( 
Z X)(1)
там же приZ2= Х,получаем, чтосуществуеткласс Zтакой, что
x1… xn( Z φ (x1,…,xn,Y1,…,Ym)).Для остающегосяслучая xi Yiтеоремаследует из (1)и
X Z x v1… vm( 
Z x X).2. Предположим,что теоремадоказана длялюбого ksи что φсодержит sлогическихсвязок и кванторов.
(a)φ есть
ψ.По индуктивномупредположению,существуеткласс Wтакой, что x1… xn( W ψ (x1,…,xn,Y1,…,Ym)).Теперь остаетсяположитьZ = 
.
(b)φ естьψ
θ.По индуктивномупредположению,существуютклассы Z1и Z2такие, что x1… xn( Z1 ψ(x1,…,xn,Y1,…,Ym))и x1… xn( Z2 θ(x1,…,xn,Y1,…,Ym)).Искомымклассом Z в этом случаебудет класс
.(c)φ есть xψ. По индуктивномупредположению,существуеткласс Wтакой, что
x1… xn x( 
W ψ (x1,…,xn,x,Y1,…,Ym)).Применимсперва
X Z x1… xn( Z y( 
X)).при X= и получим классZ1такой, что
x1… xn( Z1 x ψ(x1,…,xn,x, Y1,…,Ym)).Теперь положимокончательноZ=
,замечая, что xψ эквивалентно x ψ.Примеры. 1.Пусть φ(X,Y1,Y2)есть формула u v(X= & u Y1& v Y2).Здесь кванторысвязываюттолько переменныедля множеств.Поэтому, в силутеоремы осуществованииклассов,
Z x(x Z u v(x= & u Y1& v Y2)),а на основанииаксиомы объемности, 1Z x(x Z u v(x= & u Y1& v Y2)).Поэтомувозможно следующееопределение,вводящее новуюфункциональнуюбукву 
:Определение. x(x Y1 Y2 u v(x= & u Y1& v Y2)).(Декартовопроизведениеклассов Y1 и Y2).
Определения.
X2обозначаетX
X(в частности,V2обозначаеткласс всехупорядоченныхпар).…………………………………………………………………………………………………
XnобозначаетXn-1
X(в частности,Vnобозначаеткласс всехупорядоченныхn-ок).Rel(X)служит сокращениемдля Х V2(X естьотношение).
2. Пусть φ(X,Y)обозначаетХ Y.По теоремео существованииклассов и наоснованииаксиомы объемности,
1Z x(x Z x Y).Таким образом,существуеткласс Z,элементамикоторого являютсявсе подмножествакласса Y.Определение. x(x P(Y) x Y).(P(Y):класс всехподмножествкласса Y.)
3. Рассмотримв качестве φ(X,Y)формулу v(X v& v Y).
По теоремео существованииклассов и наоснованииаксиомы объемности,
1Z x(x Z v(x v& v Y)),т.е. существуетединственныйкласс Z,элементамикоторого являютсявсе элементыэлементовкласса Yи только они.Определение. x(x 
(Y) v(x v& v Y)). ( (Y):объединениевсех элементовкласса Y)
4. Пустьφ (X)есть u(X= 
).По теоремео существованииклассов и наоснованииаксиомы объемности,существуетединственныйкласс Zтакой, что x(x Z u(x= )).
Определение. x(x I u(x= )).(Отношениетождества.)
Следствие. Для всякойпредикативнойформулыφ(X1,…,Xn,Y1,……, Ym)
1W(W Vn & x1… xn( W φ (x1,…,xn,Y1,…,Ym)).Доказательство.В силу предложения4, существуеткласс Z,для которого x1… xn( Z φ (x1,…,xn,Y1,…,Ym)).Очевидно,искомым классомWявляется классW= Z∩ Vn;его единственностьвытекает изаксиомы объемности.
Определение. Для всякойпредикативнойформулы φ(X1,…,Xn,Y1,……, Ym)через
φ(x1,…,xn,Y1,…,Ym))обозначаетсякласс всех n-ок , удовлетворяющихформуле φ(x1,…,xn,Y1,…,Ym)),т. е. u(u φ (x1,…,xn,Y1,…,Ym) x1… xn(u= & φ(x1,…,xn,Y1,……, Ym))).Следствиеоправдываеттакое определение.В частности,при n= 1 получим u(u 
φ (x,Y1,…, Ym) φ (u,Y1,…,Ym))(иногдавместо φ(x1,…,xn,Y1,…,Ym)применяютзапись { |φ (x1,…,xn,Y1,…,Ym)}).Примеры. 1.Пусть φесть 
Y.Обозначим 
( Y)сокращенночерез
,тогда V2 & x1 x2( 
Y Y).Назовем обратнымотношениемкласса Y.2. Пустьφесть v( 
Y).Обозначимчерез R(Y)выражение ( v( Y)).Тогда
u(u R(Y) v( Y)).Класс R(Y)называетсяобластьюзначенийкласса Y.Очевидно, R(Y)= D( ).Заметим, чтоаксиомы В1 — В7являются частнымислучаями теоремыо существованииклассов, т. е.предложения4. Иными словами,вместо того,чтобы выдвигатьпредложение4 в качествесхемы аксиом,можно с тем жерезультатомограничитьсялишь некоторымконечным числомего частныхслучаев. Вместес тем, хотяпредложение4 и позволяетдоказыватьсуществованиебольшого числасамых разнообразныхклассов, нам,однако, ничегоеще не известноо существованиикаких-либомножеств, кромесамых простыхмножеств таких,как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д.Чтобы обеспечитьсуществованиемножеств болеесложной структуры,введем дальнейшиеаксиомы.
А к с и о м аU.(Аксиомаобъединения.)
x y u(u y v(u v & v x)).Этааксиома утверждает,что объединение (х)всех элементовмножествахявляется такжемножеством,т. е.
x(M( (х))).Множествои (х)обозначаюттакже черези 
v.Средствомпорожденияновых множествиз уже имеющихсяявляется образованиемножества всехподмножествданного множества.
А к с и о м аW.(Аксиомамножества всехподмножеств.)
x y u(u y u x).Эта аксиомаутверждает,что класс всехподмножествмножества хесть такжемножество; егобудем называтьмножествомвсех подмножествмножествах. В силуэтой аксиомы,
x(M(P(х))).Примеры.
P(0)= {0}. P({0})= {0, {0}}. P({0,{0}})= {0, {0}, {0, {0}}, {{0}}}.Значительноболее общимсредствомпостроенияновых множествявляется следующаяаксиомавыделения.
А к с и о м а S.
x Y z u(u z u x & u Y).Таким образом,для любогомножества хи для любогокласса Yсуществуетмножество,состоящееиз элементов,общих для хи Y.Следовательно,
x Y(M(x∩ Y)),т. е. пересечениемножества склассом естьмножество.Предложение 5.
x Y(Y x M(Y)) (т. е. подклассмножестваесть множество).Доказательство.
x(Y x Y∩ x= Y)и x(M(Y∩ x)).Так как всякаяпредикативнаяформула A(у)порождаетсоответствующийкласс (предложение4), то из аксиомыSследует, чтодля любогомножества хкласс всех егоэлементов,удовлетворяющихданной предикативнойформуле A(у),есть множество.
Однако дляполного развитиятеории множествпотребуетсяаксиома, болеесильная, чемаксиома S.Введем предварительнонесколькоопределений.
Определения
Un(X)означает x y z( 
X& 
X y= z).
(X однозначен.)
Fnc(X)означает X V2& Un(X). (X естьфункция.)
Y1XозначаетX∩ (Y V).(ОграничениеХ областьюY.)
Un1(X)означаетUn(X)& Un( 
). (Xвзаимнооднозначен.)
X‘Y 
Если существуетединственноеzтакое, что 
X,то z= X‘y;в противномслучае X‘y= 0. Если Хесть функция,а у —множество изобласти определенияX, то X‘yесть значениеэтой функции,примененнойк у (Вдальнейшембудем по меренеобходимостивводить новыефункциональныебуквы и предметныеконстанты, кактолько будетясно, что соответствующееопределениеможет бытьобоснованотеоремой оединственности.В настоящемслучае происходитвведение некоторойновой функциональнойбуквы hс сокращеннымобозначениемХ‘Yвместо h(X, Y)).
X‘‘Y= R(Y1X).(Если Хесть функция,то X‘‘Yесть областьзначений классаX, ограниченногообластью Y.)
А к с и о м а R.(Аксиомазамещения.)
x(Un (X) y u(u y v( X & v X))).Аксиомазамещенияутверждает,что если классХ однозначен,то класс вторыхкомпонент техпар из X,первые компонентыкоторых принадлежать,является множеством(эквивалентноеутверждение:M(R(x1X)))Из этой аксиомыследует, чтоесли Хесть функция,то областьзначений результатаограниченияХ посредствомвсякой области,являющейсямножеством,также естьмножество.
Следующаяаксиома обеспечиваетсуществованиебесконечныхмножеств.
А к с и о м а I. (Аксиомабесконечности.)
x(0 x & u(u x u {u} x)).Аксиомабесконечностиутверждает,что существуеттакое множествох, что0 x,и если и x,то и {и}также принадлежитх. Длятакого множествах, очевидно,{0} x,{0, {0}} x,{0, {0}, {0, {0}}} x и т. д. Еслитеперь положим1 = {0}, 2 = {0, 1}, … , n= {0, 1, … , n– 1}, то для любогоцелого п≥ 0 будетвыполнено п х, и приэтом 0 ≠ 1, 0 ≠ 2, 1 ≠ 2, 0 ≠ 3,1 ≠ ≠ 3, 2 ≠ 3, …
Список аксиомтеории NBGзавершен. Видно,что NBGимеет лишьконечное числоаксиом, а именно:аксиому Т(объемности),аксиому Р(пары), аксиомуN (пустого множества),аксиому S(выделения),аксиому U(объединения),аксиому W(множества всехподмножеств),аксиому R(замещения),аксиому I (бесконечности)и семь аксиомсуществованияклассов В1—В7.
Убедимсятеперь в том,что парадоксРассела невыводимв NBG.Пусть Y=
(x x),т. е. х(х Y х х). (Такойкласс Yсуществует,в силу теоремыо существованииклассов (предложение4), так как формула х х предикативна.)В первоначальной,т. е. не сокращенной,символике этапоследняяформула записываетсятак: X(M(X) (X Y X X)).ДопустимM(Y).Тогда Y Y Y Y,что, в силутавтологии(A A) A& & A,влечет Y Y Y Y.Отсюда по теоремедедукции получаем M(Y) (Y Y Y Y),а затем, в силутавтологии(B (A& A)) B, получаеми М(Y).Таким образом,рассуждения,с помощью которыхобычно выводитсяпарадокс Рассела,в теории NBGприводят всеголишь к томурезультату,что Yесть собственныйкласс, т. е. немножество.Здесь имеемдело с типичнымдля теории NBGспособом избавленияот обычныхпарадоксов(например, парадоксовКантора иБурали-Форти).Определения
XIrrYозначает y(y Y 
X)& Rel(X).
(X естьиррефлексивноеотношение наY.)
XTrYозначаетRel(X)& u v w(u Y& v Y& w Y&
& 
X& 
X& X X).
(X естьтранзитивноеотношениенаY.)
XPart Yозначает (XIrr Y) & (X Tr Y).
(XчастичноупорядочиваетY.)
XConYозначаетRel(X)& u v(u Y& v Y& u≠ v
X 
X).XTotYозначает(XIrrY)& (XTrY)& (XConY).
(X упорядочиваетY.)
XWeYслужитобозначениемдля Rel(X)& (XIrrY)& Z(Z Y&
& Z≠ 0 y(y Z& v(v Z& v≠ y 
X &
& 
X))).
(XвполнеупорядочиваетY,т. е. отношениеХ иррефлексивнона Y,и всякий непустойподкласс классаY имеетнаименьшийв смысле отношенияХ элемент.)
§2. Аксиомавыбора. ЛеммаЦорна.
Аксиома выбораявляется однимиз самых знаменитыхи наиболееоспариваемыхутвержденийтеории множеств.
Следующиеформулы эквивалентны:
А к с и о м а в ы б о р а (АС): Длялюбого множествах существуетфункция f такая, что длявсякого непустогоподмножествау множествах f‘y y(такая функцияназываетсяв ы б и р а ю щ ей ф у н к ц и е йдля х).
М у л ь т и пл и к а т и в н ая а к с и о м а(Mult):Для любогомножествах непустыхи попарнонепересекающихсямножеств, существуетмножество у(называемоев ы б и р а ю щ им м н о ж е с т во м для х),котороесодержит вточности поодному элементуиз каждогомножества,являющегосяэлементом х.
u(u x u ≠ 0 & v(v x & v ≠ u v∩ u = 0)) y u(u x 1w(w u ∩ y)).П р и н ц и п в п о л н е у п ор я д о ч е н и я(W.O.):Всякоемножествоможет бытьвполне упорядочено. x y(y We x).
Т р и х о т ом и я (Trich): x y(x 
y y x).
Л е м м а Ц ор н а (Zorn):Если в частичноупорядоченноммножествех всякаяцепь (т. е. всякоеупорядоченноеподмножество)имеет верхнююгрань, то в хсуществуетмаксимальныйэлемент.
x y((y Part x) & u(u x & y Tot u v(v x & w(w u w== v 
y))) v(v x& w(w x y))).
Доказательство.
1.
(W.O.) Trich.Пусть данымножества хи у.Согласно (W.O.),х и умогут бытьвполне упорядочены.Поэтому существуюттакие порядковыечисла α и β, чтох 
α и y β. Но таккак α β или β α, то либоx y,либо y x.2.
Trich (W.O.).Пусть даномножество х.Согласно теоремеХартогса, существуеттакое порядковоечисло α, котороене равномощноникакому подмножествумножества х.Тогда, в силуTrich,х равномощнонекоторомуподмножествуу порядковогочисла α, и вполнеупорядочениеЕумножества упорождаетнекотороевполне упорядочениемножества х.3.
(W.O.) Mult.Пусть хесть некотороемножествонепустых, попарнонепересекающихсямножеств. Согласно(W.O.),существуетотношение R,вполне упорядочивающеемножество (х).Следовательно,существуеттакая определеннаяна хфункция f,что f‘uдля любогои х естьнаименьшийотносительноRэлемент и.(Заметим, чтои (х).)4.
Mult AC.Для любогомножества хсуществуетфункция gтакая, чтоесли иесть непустоеподмножествох, тоg‘и= u {и}.Пусть х1—областьзначении функцииg.Легко видеть,что х1являетсямножествомнепустых попарнонепересекающихсямножеств. НаоснованииMult,для х1существуетвыбирающеемножество у.Отсюда, если0 ≠ uи u х, то и {и} х1 и усодержит ипритом единственныйэлемент из и {и}.Функция f‘u= vявляетсяискомой выбирающейфункцией длях.5.
АС Zorn.Пусть участичноупорядочиваетнепустое множествох такимобразом, чтовсякая y-цепьв х имеетв хверхнюю грань.На основанииАС, для хсуществуетвыбирающаяфункция f.Рассмотримпроизвольныйэлемент bмножества х,и потрансфинитнойиндукции определимфункцию Fтакую, чтобывыполнялосьF‘0= bи F‘α= f‘uдля любого α,где uесть множествовсех такихверхних гранейvмножества F‘‘α относительноупорядоченияу, чтоv х и v F‘‘α. Пустьβ есть наименьшеепорядковоечисло, которомусоответствуетпустое множествоверхних гранейvмножестваF‘‘β относительноупорядоченияv,принадлежащихxи не принадлежащихF‘‘β. (Порядковыечисла, обладающиетаким свойством,существуют;в противномслучае функцияFбыла бы взаимнооднозначнойс областьюопределенияОп ис некоторымподмножествоммножествах вкачестве областизначений, откудапо аксиомезамещения Rследовало бы,что Опесть множество.)Пусть g= β1 F.Функция gвзаимно однозначнаи что если α 0γ 0 β,то 
g‘α,g‘γ 
y.Поэтому множествоg‘‘βявляется y-цепьюв x.Согласно условию,и xсуществуетверхняя граньwмножества g‘‘β.Так как множествоверхних гранеймножества F‘‘β (= g‘‘β),не содержащихсяв g‘‘β,пусто, то w g‘‘β,и, следовательно,wявляетсяединственнойверхней граньюмножества g‘‘β(ибо всякоемножество можетсодержатьв себе не болееодной своейверхней грани).Отсюда следует,что wесть максимальныйотносительноупорядоченияyэлемент множествах. (Действительно,если 
yи z х,то zдолжно бытьверхней граньюg‘‘β,что невозможно.)6.
Zorn (W.O.).Пусть zесть множество,а Xесть класс всехвзаимно однозначныхфункций fтаких, что D(f) Опи R(f) z.Из теоремыХартогса следует,что Xесть множество.Очевидно также,что 0 X. Отношение частичноупорядочиваетX.Каковы бы нибыли две функции,принадлежащиеодной и той жецени в X,одна из нихявляется продолжениемдругой. Поэтомудля любой цепив Хобъединениевсех принадлежащихей функций естьснова взаимнооднозначнаяфункция, принадлежащаятой же цепи.Следовательно,на основанииZorn,в Xимеется максимальныйэлемент g,представляющийсобой взаимнооднозначнуюфункцию, определеннуюна некоторомпорядковомчисле я и принимающуюзначения изz.Допустим, что z- g‘‘α≠ 0. Пусть b z- g‘‘α,и положим f= g { 
}.Тогда f Xи g f,что противоречитмаксимальностиg.Следовательно,g‘‘α= z,т. е. α 
z.Посредствомфункции gотношение Еα,вполне упорядочивающеемножество α,преобразуетсяв некотороеотношение,вполне упорядочивающееz.Заключение
Система аксиомтеории множествбыла созданадля решениязадачи обоснованиябазовых положенийсовременнойматематики.Таким образомсуществующиеразделы математикиможно считатьaprioriнепротиворечивыми,поскольку всеих доказанныевысказываниялогически могутбыть сведенык аксиомам. Вэтом отношенииаксиоматикавыполнила своепредназначение.
Список литературы
МендельсонЭ. Введение вматематическуюлогику. – М.: Наука,1984.
Ляпин Е. С.Полугруппы.– М.: Физматгиз,1960.
Стол РобертР. Множества.Логика. Аксиоматическиетеории. Пер. сангл. Ю.А. Гастаеваи И.Х. Шмаина.Под ред. Ю.А.Шихановича.М.: «Просвещение»,1968.