Аксиоматика векторного пространства

Глава 2

1. Некоторыевекторныеравенства

Среди векторныхсоотношенийможно выделитьнескольковажных соотношений,называемыхздесь основными.Эти основныесоотношенияявляются, образновыражаясь,ключами к решениюширокого классазадач.

I Основноесоотношение.Вовсяком треугольникеЛВС выполняетсяравенство

(I)

ГдеМ– центроид(точка пересечениямедиан) треугольникаАВС.

Докажемсоотношение(I).

П

устьМ – центроидтреугольникаАВС. Соединим точку М со всеми вершинамитреугольника.Прямая МВпересекаетсторону АСтреугольникаАВС в точкеО, являющейсясерединойстороны АС.На прямой ВМоткладываемМЕ = ВМ исоединяем точкуЕ с вершинамиА и С. очевидно,что АМСЕ–параллелограмм.Поэтому .Откуда .Так как ,то .Ч.т.д.

Задача. Доказать,что если М– центроидтреугольникаАВСи О-произвольнаяточка пространства,то выполняетсяравенство

(1)

Доказательство:

Запишемследующиевекторныеравенства:

Сложив этиравенства почастям, получаем:

,

откуда

Доказанноеравенство такжеследует отнестик основнымвекторнымсоотношениям,так как оночасто используетсяв решении многихзадач.

IIОсновное соотношения.ВтреугольникеАВСна стороне АСвзята точкаDтак, что АD: DС= m: n.

Тогда имеетместь следующеесоотношение:

(II)

Доказательство:

И

зтреугольникаАВСимеем:

.

Ч.т.д.

З

адача.Через серединуЕмедианы СС₁треугольникаАВСпроведенапрямая АЕ,пересекающаясторону ВСв точке F.Вычислить АЕ: ЕFи СF: FВ.

Решение.

Введемвекторы

и .ПустьСF: FВ= m: n.Тогда по формуле(II)имеем:

и

(1)

где0 х

С другойстороны, учитывая,что Е– серединамедианы СС₁получаем дляАЕследующеевыражение:

(2)

В силу единственностиразложениявектора по двумвекторам из(1) и (2) получаемсистему:

(3)

Разделив по частям первое уравнение системы (3) на второе, получаем,что m: n= 1 : 2, т.е. СF: FВ= 1 : 2.

Сложивпо частям уравнениесистемы (3), находим,что

,т.е. AE : EF = 3: 4

I

IIОсновное соотношение.Если точки Ми Nделят отрезкиАВи CDсоответственнов равных отношенияхтак, что AM: MB= CN: ND= m: n,то выполняетсяравенство.

(III)

Доказательство:

Длядоказательстваравенства(III)
мывоспользуемсяформулой (II).Запишем, чтоотрезки АВи CDмогут произвольнорасполагатьсяотносительнодруг друга(например, онимогут лежатьна скрещивающихсяпрямых и напрямых, принадлежащиходной плоскости).

ПустьО- произвольнаяточка, не принадлежащаяни отрезку АВ,ни отрезку CD.Соединим точкуОс точками А,М,В,С,Nи Dи раcсмотримвекторы

и .

Имеем:

,

,

Ч. т. д.

Задача.На прямой mданы три точкиР,Q,R,а на прямой m₁-три точки P₁,Q₁,R₁причем

, .Доказать,что серединыотрезков PP₁,QQ₁иRR₁принадлежатодной прямой.

Р

ешение.

ПустьМ,Nи К- середины отрезковРР₁QQ₁и RR₁соответственно.

Наосновании (III)запишем следующиевекторныеравенства:

(1)

(2)

Из(1) и (2) следует,что векторы

и коллинеарные.А так как началоодного из нихявляется концомдругого, тоточки М,Nи Кпринадлежатодной прямой.

IVОсновное соотношение.Дан тетраэдрABCDи вплоскостиего грани ABCточкаМ.Доказать, чтодля разложения

Выполняетсяравенство

Доказательство:

Д

опустим,что точка Млежит внутритреугольникаABC.Проведем черезточки Аи Мпрямую, котораяпересекаетсторону ВСв точке Е.Пусть Еделит сторонуВСв отношенииm: n,т.е.

BE: EC= m: n.

Тогдапо формуле (II)

Пустьдалее точкаМделит отрезокАЕв отношенииp: q,т.е. AM : ME = p:q.Тогда

.

Откуда

Ч. т. д.

2. Применениевекторов крешению геометрическихзадач

В ряде случаевпри решениизадач на вычислениеприменениевекторовпредпочтительнееконструктивныхподходов, связанныхс использованиемдополнительныхпостроений,примененияэлементарнойалгебры итригонометрии.

Чтобы успешнорешать геометрическиезадачи посредствомвекторов, требуетсяне только знаниезаконов векторнойалгебры, знакомствос понятиемразложениявектора в базисе, умение переводитьгеометрическийфакт на языквекторов, нои определеннаяметодика присоставленииплана решения.Отметим нескольковажных положений.

1. Если требуетсявычислитьрасстояниеили угол, тонадо применятьскалярноеумножениевекторов.

2. При введениевекторов можноидти двумяпутями:

а) выбратьточку от которойоткладываетсяизвестныевекторы;

б) векторыизображатьнаправленнымиотрезками,связаннымис рассматриваемымив задаче фигурами,не откладываяих от однойточки.

3. Если задачапланиметрическая,то целесообразновыделить дванеколлинеарныхвектора в качествебазисных иостальныевекторы выразитьчерез них; еслиже задачастереометрическая,то в качествебазиса следуетвыбрать тринекомпланарныхвектора. Приэтом введениеначальной точкинеобязательно.

4. В ряде случаев,например прирешении задачна многогранныеуглы,

вычисленияупрощаются,если ввестиединичныевекторы, отложенныеот вершинымногогранногоугла.

Примерызадач, решаемыхвекторнымметодом.

З

адача.Вычислить тупойугол, образованныймедианами,проведеннымииз вершин острыхуглов равнобедренногопрямоугольноготреугольника.

Решение.

Пусть

и ;

Согласноусловию

.

Вектор

естьразность векторов и ,т.е.

(т.к. ).

Аналогично

.

Уголмеждувектораминаходится поформуле:

,

но,

,т.к. .Следовательно

.

длинывекторов

и найдем по теоремеПифагора.

Такимобразом

Тогда

Ответ:

Задача.На ребрахпрямоугольноготрехгранногоугла с вершинойОотложены равныеотрезки ОА,ОВ,ОС.Из точки Она плоскостиABCопущен перпендикулярОН.Доказать, чтоесли точка Н₁симметричнаточке Нотносительновершины О,то тетраэдрН₁ABCправильный.

Решение:

Примемвершину Отрехгранногоугла за началовекторов. Тогда

и .

Следовательно,

,

.

Найдем

Учитывая,что

и ,имеем: .

Далеенаходим:

,

,

.

Этозначит , чтоотрезки H₁Aи H₁Bравны и образуютугол 60°, т.е. треугольникH₁ABправильный.

Аналогичноустанавливается,что две другиеграни H₁BCи H₁CAявляютсяравностороннимитреугольникамии вследствиеэтого тетраэдрправильный.

Задача.Доказать, чтоможно построитьтреугольник,стороны которогоравны и параллельнамедианам данноготреугольникаABC.

Решение.

О

бозначимсередины сторонВС,САи АВсоответственноА’,B’,C’.Выразим векторы,представляющиемедианы треугольникаABC,через , , (через стороныданного треугольника):

,

,

.

Составимсумму сторонтреугольникаABC

.

Но таккак векторы

и образуютданный треугольникABC,то их суммаравна нулю,следовательно,и .А это значит,что из векторов можно построитьтреугольник.

З

адача.В треугольникеABCDточкаЕи F– серединарёбер АВи CDсоответственно.Доказать, чтосередины отрезковСЕ,DE,AFиBFявляютсявершинамипараллелограмма.

Решение.Пусть К,L,М,N- середины отрезковСЕ,DE,AFи BF,соответственно.Доказать, чтосередины отрезковСЕ,DE,AFи BFявляются вершинамипараллелограмма.

Докажемравенствовекторов

и ,выразивих через векторы ,

,

,

,гдеО– произвольнаяточка.

(1)

.(2)

Ч. Т. Д.

Задача.Точки К,L,Mна сторонахАС,ВС,АВтреугольникаABCтаковы, что

, N– середина сторона АС. Найти отношениев котором точкапересеченияотрезков KLи MNделит отрезокKL.

Решение.

Обозначимчерез Оточку пересеченияотрезков MNи KLи через хотношение KO: KL.Тогда

.Учитывая, чтоL– середина МСи ,получаем

Таккак точка Олежит на прямойMN,то

.Откуда .Значит, .

Ответ:KO: OL= 2:3

З

адача.Отрезки DA₁,DB₁,DC₁– медианы гранейBCD,ACDи ABDтетраэдра ABCDсоответственно.Точки К,М,Nделят отрезкиDA₁,DB₁,DC₁вотношении , . В каком отношенииплоскость KMNделит ребраDAи DB?

Решение.

Пустьплоскость KMNпересекаетребра DA,DBи DCтетраэдра ABCDв точках Р,Q,Rсоответственно.

ТочкиА₁,В₁,С₁–середины отрезковВС,АС,АВсоответственно.Следовательно,

Решив этусистему, (например,сложив (1) и (2), ивычтя (3) получим

Пусть

.Тогда, учитывая , , ,

имеем

,и, т.к. точки К,М,N,Рлежат в однойплоскости, то

.

Такимобразом,

,откуда .

Пустьтеперь

,тогда

,и

,откуда

Ответ:

, .

Задача.Основаниемпирамиды SABCявляетсяравностороннийтреугольникABC,длина стороныкоторого равна

.Боковое реброSCперпендикулярноплоскостиоснований иимеет длину2. Найти уголмежду прямыми,одна из которыхпроходит черезточку Sи серединуребра ВС,а друга проходитчерез точкуСи серединуребра АВ.

Решение.Обозначим

.

Выберемв качествебазиса векторы

, и .

Тогда,из треугольникаBCS:

,

а

из треугольникаABC:

Ответ:

.

Задача.Каждое ребропризмы ABCA₁B₁С₁равно 2.

ТочкиМи N– серединыребер АВи A₁А.Найти расстояниеот точки Мдо прямой CN,если известно,что угол A₁AСpaвeн60° и прямые A₁Aи АВперпендикулярны.

Решение.

Рассмотримбазис, состоящийиз векторов

, ,

исоставим таблицуумножения дляэтих векторов.

*	а	b	с
а	4	0	2
b	0	4	2
с	2	2	4

Р

асстояниеот точки Мдо прямой CNравно расстояниюот точки Мдо её проекциина прямую CN.

ПустьР– проекцияточки Мна прямую CN.

Тогда

длянекоторогочисла х.

Таккак

и ,

Посколькупрямые

и перпендикулярны,то т.е.

.

Раскрываяскобки и пользуясьтаблицей умножениядля нашегобазиса, получаем:

.

Тогда

.

Искомоерасстояние

равно

Сновараскрываяскобки и пользуясьтаблицей умножения,находим

.Такимобразом, расстояниеот точки Мдо прямой равно .

Ответ: расстояниеравно

.

у ⁶

Задача.В параллелограммаABCDточка К– серединастороны ВС,а точка М– серединастороны CD.Найдите AD,если АК= 6,АМ= 3, угол КАМ = 60°.

Решение.

В

качестве базисавыберем векторы и и составимтаблицу умножениядля векторовэтого базиса.

*	k	m
k	36	9
m	9	9

Поформуле треугольника

и

.

Таккак X– середина ВС,М– середина CD,то

и

,иполучаем систему:

,откуда

Ответ: 4.

Задача.Ребра СА,СВ,СС,треугольнойпризмы ABCA₁В₁С₁равны, соответственно2, 3 и 4 образуютмежду собойуглы

ACB=90°,

ACС₁ = 45°и

BCC₁= 60°. Найдите объёмпризмы.

Решение.

Пустьотрезок С₁Оявляется высотойданной призмы.Тогда

Длятого, чтобынайти высотуС₁О,выберем в качествебазиса векторы

и составим

таблицуумножения.

*
	4	0
	0	9	6
		6	16

Разложимвектор C₁Oпо векторам

.Получим: ,где ,а .

Такимобразом

.

Коэффициентых,унаходим изусловий перпендикулярностивектора C₁Oс векторами

.

.

Следовательно,

ЗначитС₁О=

ТогдаV= 3·C₁O= 3·2 = 6

Ответ: 6.

С помощьювекторов можнорешать не толькогеометрическиезадачи, но идоказыватьалгебраическиенеравенства.

I.Доказать неравенство

Доказательство:

Рассмотримвекторы

и .

Ихскалярноепроизведение

Таккак

, ,то, учитываянеравенство ,получим .

II.Докажем, чтодля любыхнеотрицательныхчисел a,b,cсправедливонеравенство:

Доказательство:

Рассмотримвекторы

и

.Их скалярноепроизведение:

,а длины

и

.Отсюда, учитываянеравенство

,получаем

.

Глава1

§1. Аксиоматикавекторногопространства

Характеризациявекторногопространства,как математическойструктурыосуществляютсярядом аксиом.

Основныепонятия теории:"вектор", "суммадвух векторов","произведениевектора надействительноечисло".

Косвеннымопределениемосновных понятийтеории векторногопространстваявляются следующиеаксиомы:

I.Для любых векторов

и существуетединственныйтретий вектор ,называемыйих суммой

Такимобразом аксиомаIпостулирует:

а) единственностьэтой суммы.

б)существованиесуммы двухвекторов

и ;

Даннаяаксиома вводитна множествевекторов Vоперацию

f₁: V x V V.

котораяназываетсясложением двухвекторов.

II.Сложение векторовкоммутативно,т.е.

.

III.Сложение векторовассоциативно,т.е.

IV.Существуетвектор

такой, что для любоговектора, т.е.

Определение1.1. Вектор

,удовлетворяющийаксиоме IV,называетсянулевым вектороми обозначается

V.Для каждоговектора

существуеттакой вектор ,что + =

Определение1.2. Вектор

,удовлетворяющийаксиоме V,называетсяпротивоположнымвектору

.

VI.Для любоговектора

и действительночисла ,существуетединственныйвектор ,называемыйпроизведениемвектора на число и обозначаемыйт.о.: ,т.е.

, ,

Данная аксиомавводит операциянового типа(внешнюю операцию):

Эта операцияносит название«умножениевектора начисло».

VII.Для любоговектора

умножениевектора на 1 не изменяетвектора ,т.е.

,

VIII.Умножениевектора на число ассоциативно,т.е.

, ,

IX.Умножениевектора начисло дистрибутивносложения чисел,т.е.

, ,

X.Умножениевектора начисло дистрибутивноотносительносложения векторов,т.е.

, ,

Этим заканчиваетсяаксиоматикавекторногопространства,которое можнотеперь определитьт.о.:

множествоVс введеннымидвумя операциями

,

подчиняющеесяаксиомам I-X,называетсявекторнымпространствомнад полемдействительныхчисел R.

§2. Следствиеиз аксиом векторногопространства

Изаксиом I-Xможно вывестицелый рядпредложений.

Теорема2.1.Существуетединственныйнулевой вектор.

Доказательство:

Предложим,что существуетдва различныхвектора

и таких, что и для любоговектора .

Положим

.Тогда

и (1)

Положимтеперь

.Аналогичнополучим:

и (2)

Таккак

(по аксиомеII),то из (1) и (2) следует,что .

Такимобразом, векторноепространствосодержит единственныйвектор

,удовлетворяющийравенству .

Теорема2.2. Длялюбого вектора

существуетединственныйпротивоположныйвектор

.

Или:

и

Доказательство:

Допустим,что

и и ,т.е. существует ,имеющий дваразличныхпротивоположныхвектора и .

и(1)

(2)

Тогда

и (3)

Левые частиравенств (3) равнымежду собой.Действительно:

(4)

Изравенства (3) и(4) следует, что

.

Теорема2.3.Длялюбых векторов

и

существуетединственныйвектор

,такой, что

.

Доказательство:

I.Существование.Убедимся, чтов качествевектора

можно будетвыбрать вектор .В самом деле,

Такимобразом, длявекторов

и существуетвектор ,удовлетворяющийравенству:

.

II.Единственность(от противного). Пусть

и (1)

Тогда:

Отсюда

.Получим противоречиес допущением.Таким образом,единственностьвектора доказана.

Определение2.1.Вектор

,удовлетворяющийравенству

,называетсяразностьювекторов

и

,и обозначаетсячерез

-

.

Такимобразом

Теорема2.3., как видно,вводит на множествеvновую операцию"–":

называемуювычитанием,которая являетсяобратной поотношению коперации сложения.

Следствие1.

Теорема2.4.

Доказательство:

,т.к. - вектор, противоположныйвектору .Тогда

Ч.т.д.

Теорема2.5.

Доказательство:

Имеем:

;

Отсюда следует,что

.

Ч.т.д.

Теорема2.6.

.

Доказательство:

Имеем:

Отсюда следует,что

.

Теорема2.7.

Доказательство:

Имеем:

(поТеореме 2.6.)

Отсюда следует,что

.

Следствие2.

.

Теорема2.8.

или

.

Доказательство:

Возможныдва случая:

I.

и

II.

.

I. Если

,то дизъюнкция или истинна и теоремадоказана.

II. Пусть

.Тогда существуетчисло ,отсюда имеем:

(по условию Т.2.5.) ,

(по Т. 2.5.)

.

Таким образом,в случае IIимеем, что

.

Итак, если

,то или .

Теорема2.9.

.

Доказательство:

Для того,чтобы установить,что вектор

являетсяпротивоположнымдля вектора ,необходимои достаточнопроверить,выполняетсяли следующееравенство:

,или все равно,что .

Имеем:

Таким образом

или .И, следовательно, .

Рассмотренныесвойства операцийнад векторамианалогичнысоответствующимсвойствамарифметическихопераций надчислом. Так,например, суммаконечного числавекторов, каки сумма в любойкоммуникативнойгруппе, не зависитни от порядкаслагаемых вэтой сумме, ниот способарасстановкискобок:

и т.д.

Однако междувекторной ичисловой алгебройсуществуютсерьезныеотличия. Одноиз наиболеесущественныхотличий состоитв том, что множествовекторов неявляетсяупорядоченным,т.е. для векторовнельзя ввестиотношение«меньше» и«больше». Напримердля двух противоположныхчисел

и мы знаем, что и, что одно изэтих двух чиселбольше 0, а другое– меньше 0. Длявекторов же,удовлетворяющихравенству ,постановкавопроса о том,какой из векторов или больше нулевого,а какой меньшенулевого,бессмысленна.

§3. Размерность

Определение3.1.Векторноепространствоназываетсяn-мерным,если в нем имеетсяnлинейно независимыхвекторов, авсякие n+1векторы линейнозависимы.

Иначе говоря,размерностьвекторногопространства– это максимальноечисло содержащихсяв нем линейнонезависимыхвекторов.

Если максимальноечисло линейнонезависимыхвекторов равно1, то векторноепространствоназываетсяодномерным,если это числоравно 2,. То векторноепространствоназываетсядвумерным, ит.д.

Векторноепространство,имеющее конечнуюразмерность,называетсяконечномерным.Пространство,в котором существуетсколь угоднолинейно независимыхвекторов, называетсябесконечномерным.

Определение3.2. Совокупностьnлинейно независимыхвекторов n-мерноговекторногопространстваназываетсяего базой.

Теорема3.1.Каждыйвектор

n-мерноговекторногопространстваможно представить,и притом единственнымобразом, в виделинейной комбинациивекторов базы.

Доказательство:

Пусть

– произвольнаябаза n-мерноговекторногопространства.Так как любыеn+1векторы n-мерноговекторногопространствалинейно зависимы,то векторы

,

линейнозависимы, т.е.нулевой векторявляетсянетривиальнойлинейной комбинациейвекторов

:

,

где

не все равнынулю. При этом .Если бы ,то тогда средичисел хотя бы однобыло отличноот нуля, а отсюдаследует, чтовекторы линейно зависимы.

Пустьнапример,

,тогда .

Откудаследует линейнаязависимостьвекторов

,что противоречитусловию.

Итак,

.Если ,то

Полученноепредставлениевектора

является искомым.

Докажем, чтооно единственно.

Допустим,что возможныдва представлениявектора

в виде линейнойкомбинациибазы:

и .

Тогда

,отсюда

.

Таккак векторы

линейно независимы,то

и, следовательно,

.

Ч.т.д.

Примеры.

1.Определимразмерностьвекторногопространствагеометрическихвекторов трехмерногопространства.

Докажем,что любые три вектора

выходящие изодной точкиО и не лежащиев одной плоскости,являются линейнонезависимыми,а всякие четыревектора линейнозависимы.

Всамом деле,векторы независимы,т.к. в противномслучае одиниз них, например ,должен был былинейно выражатьсячерез два других.Однако равенство :вектор является диагональюпараллелограмма,построенногона векторах и .Отсюда векторы и и – компланарны,что противоречитусловию ихвыбора.

Докажемтеперь, чтолюбые четыревектора

– линейно зависимы.

Возможныследующиеслучаи.

а)Векторы

компланарны,тогда любаятройка векторовлинейно зависима.Если система имеет подсистемулинейно зависимыхвекторов, тоэта системалинейно зависима.

б) Из четырехвекторов существуеттри компланарных,а следовательно,три линейнозависимыхвектора. Каки выше, вся системавекторов будетлинейно зависимой.

в) Из четырехданных векторовникакие трине являютсякомпланарными.В этом случаеникакие три,а следовательно,и никакие двавектора изчисла данныхне являютсялинейно зависимыми.

П

усть .

Обозначимплоскость (OBC)через П₁,а плоскость(AOD)через П₂.

(Такиеплоскостисуществуют,так как паравекторов

и и пара векторов и - пары линейнонезависимыхвекторов). Плоскости П₁и П₂имеют общуюточку О.Тогда эти плоскостиимеют общуюпрямую m,проходящуючерез эту точкуО.

Вплоскости П₂построимпараллелограммOPDRс диагональюOD.Тогда

,где .Вектор ,лежащий в плоскостиП₁является линейнойкомбинациейвекторов и : .Тогда ,или .Отсюда, по теореме5.1., векторы линейно независимы.

Итак, множествогеометрическихвекторов трехмерногоевклидовогопространствапредставляетсобой трехмерноевекторноепространство.

2.Пространствоарифметическихвекторов длиныnпредставляетсобой n-мерноевекторноепространство.

Докажем это.

Преждевсего, нетрудноустановитьсуществованиеnлинейно независимыхвекторов. Возьмемвекторы:

идокажем, чтоони линейнонезависимы.В самом деле,если допустить,что эти векторылинейно зависимы,тогда на основаниитеоремы 5.1. хотябы один из нихесть линейнаякомбинацияостальных.Пусть, например,

есть линейнаякомбинацияостальных:

(1)

тогда

.

Отсюда

(2)

Система(2) являетсянесовместной.Следовательно,не существуеттакого выборакоэффициентов

,чтобы равенство(1) удовлетворялось.Таким образом,линейнаянезависимостьсистемы векторов доказана.

Докажемтеперь, чтовсякие n+1арифметическиевектора линейнозависимы. Пустьимеется системаиз n+1векторов:

Выясним,существуютли числа

,не все равнынулю, такие,что

(3)

Равенство(3) эквивалентносистеме:

(4)

Получимсистему однородныхуравнений, вкоторых числоуравнений n,а число неизвестныхm=n+1.Такая системавсегда имеетненулевоерешение и,следовательно,система векторов

является линейнозависимой.

Контрпример.Рассмотримсовокупностьвсех непрерывныхфункций насегменте [0; 1].Нетрудно убедиться,что в данномслучае мы имеемдело с векторнымпространствомнад полемдействительныхчисел R.Пусть n–произвольноенатуральноечисло.

Положим:

Докажем,что системавекторов

является линейнонезависимой.Запишем равенство.

.

Положивпоследовательно

, , получим

Таким образом,равенство

влечет засобой равенство

Отсюда,векторы

линейно независимы.Так как n– любое натуральноечисло, то, следовательно,векторноепространствовсех непрерывныхфункций заданныхна отрезке [0;1] не имеет конечнойсистемы линейнонезависимыхвекторов, длякоторых всякаясистема, содержащаяна один большевекторов, былабы линейнозависима. Поэтомув этом пространственельзя ввестипонятие конечнойразмерности.Такие пространстваназываютсябесконечными.

§4. АксиоматикаЕвклидово-векторногопространства

n-мерноевекторноепространствоназываетсяевклидовым,если оно удовлетворяетдополнительнойгруппе аксиом(называемымиаксиомамискалярногопроизведения).Эти аксиомывводят в n-мерноевекторноепространствоновое понятие– понятие скалярногопроизведениядвух векторов.

Аксиомы:

XII.Для любых двухвекторов

и существуетединственноечисло ,называемоеих скалярнымпроизведением.

Обозначение:

- скалярноепроизведениевекторов

и .

Таким образом,

АксиомаXIIутверждаетпо сути дела,существованиеотображенияVxVR,ставшего всоответствиекаждой паревекторов единственноечисло из R.

Это отображениеназываетсяскалярнымумножениемдвух векторов.

XIII.Скалярноеумножение двухвекторовкоммутативно:

XIV.Скалярноеумножениеассоциативноотносительноумножениявектора начисло:

XV.Скалярноеумножениедиструбутивноотносительносложения векторов:

XVI.Для любоговектора

и

Примеры.

1.рассмотримтрехмерноепространствогеометрическихвекторов. Подскалярнымпроизведениемдвух векторов

и будем пониматьчисло ,где и длины векторов и соответственно,а - угол междуданными векторами.

Нетрудноустановить,что, определивскалярноепроизведениетаким образом,мы удовлетворимвсем аксиомамскалярногопроизведениядвух векторов.Следовательно,трехмерноепространствогеометрическихвекторов свведенным такимобразом скалярнымпроизведениемявляется евклидовым.

2.Рассмотримтрехмерноепространствоарифметическихвекторов. Подскалярнымпроизведениемвекторов (x₁;y₁;z₁)и (x₂;y₂;z₂)будем пониматьчисло

легко можнопроверить, чтоаксиомы скалярногопроизведениядвух векторовбудут удовлетворены.Следовательно,трехмерноепространствоарифметическихвекторов (свведенным такимобразом скалярнымпроизведением)является евклидовым.

3.Рассмотренныйпример можнообобщить наn-мерноепространствоарифметическихвекторов, еслискалярноепроизведениедвух векторов

и .

Определитьравенством

(1)

Такимобразом, n-мерноепространствоарифметическихвекторов свведеннымравенством(1) скалярнымпроизведением,является евклидовым.

§5. Следствияиз аксиом скалярногопроизведения

1.

Доказательство:

Имеем

(1). Тогда

Определение5.1.

называетсядлиной вектора .

Обозначение:

- длина вектора .

Таким образом,

.

2.

.Это вытекаетиз принятогоопределенияи следствия1.

3.

,где - вектор, противоположныйвектору .

Доказательство:

4. Для любых

и имеетместо неравенствоКоши-Буняковского:

Доказательство.

Рассмотримскалярноепроизведениевектора

на себя.

Имеем:

(XVI)

где t– любое действительноечисло. Отсюдана основанииаксиом XIII-XVполучаем:

Выражениев левой частинеравенствапредставляетсобой квадратныйтрехчлен относительноt.Так как этоттрехчлен долженбыть неотрицательнымпри всех значенияхt,то он не можетиметь двухразличныхкорней и, поэтому,его дискриминант:

Отсюда

Определение5.2. Число

называют косинусомугла междувекторами и .

Итак,

Введениетакого определенияоправдывается,в частности,следующиминеравенствами:

Этот фактнепосредственноследует изследствия 4.

5. (Неравенствотреугольника)

Доказательство:

ВоспользуемсянеравенствомКоши-Буняковского:

Откуда:

Определение5.3. Векторы

и называютсяортогональными,если их скалярноепроизведениеравно 0.

Обозначение:

- и - ортогональныевекторы.

Итак,

6. Существуютдва ненулевыхортогональныхвектора.

Доказательство:

Пусть даныдва линейнонезависимыхвектора

и .

Рассмотримдва вектора:

и

.

Подберемlтак, чтобы

последнееравенствопоследовательнопреобразуемтак: =0Ю

Таким образом,векторы

и ортогональны.

В самом деле:

Кроме того,векторы f₁и f₂ненулевые.

7.(ТеоремаПифагора). Есливекторы

и ортогональны,то

Доказательство:

Так как

Тогда

Определение5.4. База

евклидовапространстваназываетсяортогональной,если для всех

Если приэтом еще

при

,то база называетсяортонормированной.

8.Попарно ортогональныененулевыевекторы линейнонезависимы.

Доказательство:

Пустьвекторы

попарноортогональныи все отличныот нулевоговектора. Рассмотримравенство

.Умножая обечасти этогоравенствапоследовательнона векторы

,получим:

…………………………………………..

Откуда,

Таккак

,то из полученныхравенств следуетa₁=a₂=…=a_n=0.

Это означает,что системавекторов

,линейно независима.

9.Существуюттри ненулевыхпопарно ортогональныхвектора.

Доказательство:

Пусть

и два ненулевыхортогональныхвектора, существованиекоторых обеспеченоследствием6. Подберем ненулевойвектор такой, что и Положим ,где -вектор. Образующийс векторами и вусловиях следствия6 линейно независимуюсистему. Тогда

Отсюда

Имеем:

и

Таким образом,отправляясьот трех линейнонезависимыхвекторов

и ,мы построилитри ненулевыхвектора ,которые попарноортогональны.

Обобщение.Привлекаяпоследовательновсе базы n-мерногоевклидовогопространства,можно построитьаналогичноследующиесистемы ненулевыхпопарно ортогональныхвекторов:

…………..

Так как системавекторов

линейно независимаи содержит nвекторов(максимальноечисло линейнонезависимыхвекторов), тов результатеполучена вn-мерномпространствеортогональнаябаза .

Описанныйпроцесс известенв математикепод названиемпроцессаортогонализации.

Имея ортогональнуюбазу, нетруднополучить с еепомощью ортонормированнуюбазу. Для этоговместо каждоговектора нужновзять вектор

Убедимся,что длина этоговектора равна1. В самом деле,

§6. Аксиоматикаточечно-векторногоевклидовапространства

§6.1. Метрическиесоотношенияв треугольнике

Теорема18.5. (теоремакосинусов длятреугольника).

Во всякомтреугольнике

,

,

.

Доказательство:

Рассмотримвекторноеравенство

.Возьмем скалярныйквадрат:

,

,

.

Пусть

- единичныйвектор, отложенныйот точка А налуче [АВ), -единичныйвектор, отложенныйот точки А налуче [АС). Тогда

.

Отсюда

,

.

Аналогичноустанавливаютсяостальные двеформулы теоремыкосинусов длятреугольника.

Следствие.В треугольникедве стороныконгруэнтнытогда и толькотогда, когдалежащие противних углы конгруэнтны.

Доказательство:

I.Пусть

.Докажем, что .

Имеем

.

II.Пусть

.Докажем, что .Выполним следующиепреобразования

–

,

,

,

,

.

Докажем,что

;то ;

,но для треугольника .

Таким образом,

.

Теорема18.6.

,(1)

(2)

(3)

Доказательство:

Докажемравенство (1).Рассмотримравенство:

.Умножим егоскалярно на :

,или так как ,то

,или

,это и есть равенство(1).

Аналогичноустанавливаетсяостальныесоотношения.

Следствие2. Еслиодин из угловв треугольникетупой, то двадругих острые.

Доказательство:

Пусть

– прямой, тоесть .

Имеем:

,

.

Тогда:

– острый,

– острый.

Следствие3. Втреугольникеболее одноготупого углабыть не может.

Доказательство:

Пусть

– тупой угол,то есть .

Тогда

– острый.

Аналогичноустанавливается,что

– острый.

Определение18.6.Треугольникназываетсяпрямоугольным,если он имеетпрямой угол.

Теорема18.7.(теорема Пифагора).Если в

– прямой, то .

Доказательство:

Имеем:

.

Таккак

– прямой, то .

Тогда

.

Теорема18.8.(обратная теорема18.7). Если в

,то этот треугольникпрямоугольный.

Доказательствополучаетсяв результатепроведенияпредыдущихрассужденийв обратномпорядке.

Следствие4. Впрямоугольномтреугольникекаждый катетменьше гипотенузы.

Доказательство:

Пусть

,тогда имеем:

,

.

Таккак углы С и Вострые, то

и .

Отсюда

и .

§6.2. Конгруэнтностьтреугольников

Определение18.7. Если треугольникАВС называетсяконгруэнтнымтреугольникуА₁В₁С₁,если

,

.

Обозначение:

– треугольникАВС называетсяконгруэнтнымтреугольникуА₁В₁С₁.

Теорема18.9. Если

,то

.

Доказательство:

Имеем:

,(1)

(2)

Поусловию теоремы

.

Отсюдаи из равенств(1) и (2) следует,что

,то есть

Аналогичноустанавливаетсяи соотношения

, .Отсюда

.

Теорема18.10.Если

и

то

.

Доказательство:

На основаниитеоремы 18.5. имеем:

,

.

Отсюда,учитывая условиятеоремы, получим

,то есть .

Наоснованиипредыдущейтеоремы

.

Теорема18.11.Если

, и ,

.

Доказательство:

Е

сли ,то доказанномувыше

.Если ,то отложим налуче [АС)от точки Аотрезок [А₁С₁](рис.):

.Тогда на основаниипредыдущейтеоремы

. Изконгруэнтностиэтих треугольниковследует, что .Имеем: на луче[ВА)в полуплоскости,содержащейточку С,отложены дваугла (различных) и ,конгруэнтныходному и томуже углу .Последнеепротиворечиттеореме 18.4.,следовательно и

.

§7. Элементытригонометрии

§7.1. Билинейнаякососимметричнаяфункция

Определение19.1. Если каждымдвум векторам

и

ставится всоответствиекаждое действительноечисло

такое, что:

1)

;

2)

;

3)

.

тофункция

называетсябилинейнойкососимметрическойфункцией.

Теорема19.1.Пусть

и –произвольнаябаза плоскостии – некотороедействительноечисло. Тогдасуществуетодна и толькоодна кососимметрическаяфункция такая, что:

.

Доказательство:

Пустьв заданномбазисе двапроизвольныхвектора

и имеют разложения:

Составимфункцию

(1)

Нетруднопроверить, что

билинейнаякососимметрическаяфункция, причем,если ,то

.

Доказательстваединственности.(методом отпротивного).

Допустим, чтосуществуетбилинейнаякососимметрическаяфункция

,такая, что .

Если

– билинейнаяфункция, то

= =

=

=

=

.

Учитывая,что

,получим .

Аналогично

.Кроме того, .Тогда

Попредположению

.Поэтому:

(2)

Из(1) и (2) следует,что

.

Примечание.Из проведенногорассуждениявидно, что какоебы число

мы ни взяли икакую бы мы нивзяли базувекторов и ,существуетединственнаябилинейнаякососимметрическаяфункция такая, что .

Этообстоятельствоговорит, чтос помощьюкососимметрическойфункции нельзяотличитьортонормированнуюбазу от прочих.На этот счеттребуетсяспециальноесоглашение.Договоримся,если базаортонормированная,то будем полагать

.

Определение19.2. Пусть

– два произвольныхединичныхвектора. Значениебилинейнойкососимметрическойфункции при выбранномортонормированномбазисе , ивыполнениисоглашения называетсясинусом угламежду векторами и .

Итак,

В иной форме:

Теорема19.2.

или .На основанииопределения19.2. имеем:

.

Отсюда,

.Докажемдостаточность.Пусть ,где .

Докажем,что

.

В силу определения19.2. имеем:

Теорема19.3.

.

Доказательство:

Пусть

– единичныевекторы и

.

Имеем:

,

Тогда

.

§7.2. Геометрическоеистолкованиекосинуса исинуса угламежду двумяединичнымивекторами

В

Н

аоснованиисоотношения

Для произвольноготреугольникаимеем (рис.).

Так как

,то

Наша окружностьединичногорадиуса

,

поэтому:

Таким образом,косинус угламежду двумяединичнымивекторами

и есть длинаотрезка, которыйявляется проекциейотрезка [ОВ]на прямую (ОА),причем этадлина беретсясо знаком «+»если и со знаком «–» если .

Из соотношения

имеем, что геометрическипредставляетсобой длинукатета или проекциюединичноговектора ОВна ось у, причемв верхнейполуплоскости .

§7.3. Основныесоотношениямежду тригонометрическимифункциями

Пусть

и

два единичныхвектора.

Непосредственноиз определенийследует, что

,

, ,если

,если

Теорема19.4.

Доказательство:

Пусть

– единичныевекторы, .

Положим,

,

,

На основанииопределений18.5 и 19.2. имеем:

.

Выполнивнесложныепреобразования,получим:

,или ,

,или ,

или ,

или .

Тогда

Следствие19.1.

Доказательство: