Теория вектора (стр. 3 из 3)

АВ х СD = ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.

Последнее и означает, что АВ СD.

Задача 2.

Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника АВС.

Решение.

Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ, СF и обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через а, в, с:

ВС = а, СА = в, АВ = с

(рис.8). Тогда

АD = АВ + ВD = АВ + = с +

аналогично определяются и другие медианы:

ВЕ = а + , СF = в +

Так как, в силу условия замкнутости

ВС + СА + АВ = а + в + с =0,

то мы имеем:

АD + ВЕ + СF = ( с +

) + (а +

) + ( в +

) = ( а + в + с) = х 0 = 0.

Следовательно, отложив от точки В, вектор В₁С₁ = ВЕ и от точки С₁ – вектор С₁D₁ = СF, мы получим.

А₁В₁ + В₁С₁ + С₁D₁ = АD + ВЕ + СF = 0.

А это значит (в силу условия замкнутости), что ломаная А₁В₁С₁D₁ является замкнутой, т.е. точка D₁ совпадает с А₁.

Таким образом, мы получаем треугольник А₁В₁С₁ (рис.9), стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника.

Задача 3.

Доказать, что для любого треугольника имеет место формула

с² = а² + в² – 2ав х соs С (теорема косинусов)

Решение.

Положим: а = СВ, в = СА,

с = АВ (рис.10).

Тогда с = а – в, и мы имеем

(учитывая, что угол между векторами а и в равен С):

с² = ( а – в )² = а² – 2ав + в² = а² – 2ав х соs С + в².

Задача 4.

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Решение.

Пусть четырехугольник АВСD – параллелограмм (рис.11). Имеем векторные равенства

АВ + AD = АС, АВ – АD = DВ.

Возведем эти равенства в квадрат. Получим:

АВ² + 2 АВ х АD + АD² = АС², АВ² – 2АВ х АD + АD² = DВ²

Сложим эти равенства почленно. Получим:

2АВ² + 2 АD² = АС² + DВ².

Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.

Задача 5.

Даны три точки: А ( 1; 1), В ( -1; 0), С ( 0; 1). найдите такую точку D ( х; y), чтобы векторы АВ и СD были равны.

Решение.

Вектор АВ имеет координаты –2, -1. Вектор СD имеет координаты х – 0, y –1. Так как АВ = СD, то х – 0 = -2, y –1 = -1. Отсюда находим координаты точки D: х = -2, y = 0.

Задача 6.

Даны два вектора АВ и СD, причем А ( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С ( -1; -2; 2), D ( 2; 1; 5).Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Решение.

Найдем сначала координаты векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и СD ( 3; 3; 3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

AB х CD = ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.

Последнее озночает, что АВ СD.

Рассмотренные выше примеры задач показывают, что векторный метод является весьма мощных средством решения геометрических и многих физических (и технических) задач.

Используемая литература.

1. “Векторы в школьном курсе геометрии”. (1976г.) В.А.Гусев. Ю.М.Колягин. Г.Л.Луканкин.

2. “Векторы в курсе геометрии средней школы. (1962г.) В.Г.Болтянский. И.М.Яглом.