Рациональные уравнения и неравенства (стр. 9 из 11)
С помощью “пробных” точек найдем знак выражения в каждом промежутке.Выпишем интервалы, где выполняется неравенство: (-¥; 0), (0; 1), (2; 5).
Ответ: (-¥; 0)È(0; 1)È(2; 5).
Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.
При решении неравенства, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, используется тот же прием, что и при решении уравнении, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, именно: решение исходного неравенства сводится к решению нескольких неравенств, рассматриваемых на промежутках знакопостоянства выражений, стоящих под знаков абсолютной величены.
Пример: Решить неравенство
½х2 - 2½ + х < 0. (*)
Решение: Рассмотрим промежутки знакопостоянства выражения х2 – 2, стоящего под знаком абсолютной величены.
1) Предположим, что
х2 – 2 ³ 0,
тогда неравенство (*) принимает вид
х2 + х –2 < 0.
Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х2 –2 ³ 0 представляет собой первое множество решений исходного неравенства (рис 1): хÎ(-2; -].
2) Предположим, что х2 – 2 < 0, тогда согласно определению абсолютной величены имеем ½х2 - 2½= 2 – х2, и неравенство (*) приобретает вид
2 – х2 + х < 0.
| Рис. 1 |
Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х2 – 2 < 0 дает второе множество решений исходного неравенства (рис. 2): хÎ(-; -1).
Объединяя найденные множества решений, окончательно получаем хÎ(-2; -1)
Ответ: хÎ(-2; -1).
В отличие от уравнений неравенства не допускают непосредственной проверки. Однако в большинстве случаев можно убедиться в правильности полученных результатов графическим способом. Действительно, запишем неравенство примера в виде
½х - 2½< -х.
Построим функции y1 =½х2 - 2½ и y2 = -х, входящие в левую и правуючасть рассматриваемого неравенства, и найдем те значения аргумента, при которых y1<y2.
На рис. 3 заштрихованная область оси абсцисс содержит искомые значения х.
 |
Решение неравенств, содержащих знак абсолютной величены, иногда можно значительно сократить, используя равенство ½х½2= х2.
Пример:Решить неравенство
½½ > 1. (*)
Решение: Исходное неравенство при всех х ¹ -2 эквивалентно неравенству
½х - 1½>½х + 2½. (**)
Возведя обе части неравенства (**) в квадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство
6х < -3,
т.е. х < -1/2.
Учитывая множество допустимых значений исходного неравенства, определяемого условием х ¹ -2, окончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех хÎ(-¥; -2)È(-2; -1/2).
Ответ: (-¥; -2)È(-2; -1/2).
Пример: Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:
> 1.
откудаНаименьшим целым числом х удовлетворяющей этой системе будет неравенств, является 0. Заметим, что х ¹ -1, иначе выражение в левой части данного неравенства не имеет смысла.
Ответ: 0.
Пример: Решить неравенство:
³½х½ - 2 .
Решение: Пусть ½х½ = y. Заметим далее, что ½х½ + 1 > 0. Поэтому данное неравенство эквивалентно следующему: -2 ³ (y –2)(y + 1), или y2 – y £ 0, или 0 £y£ 1, или 0 £½х½£ 1. Отсюда -1£ х £ 1.
Ответ: [-1; 1].
Пример: Решить неравенство
½х2 – 3х + 2½+ ½2х + 1½£ 5.
Решение. х2 – 3х + 2 отрицателен при 1 < x < 2 и неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -½. Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая.
1. х < -½. В этом случае х2 – 3х + 2 > 0, 2х +1 < 0. Получаем неравенство х2 – 3х + 2 – 2х – 1 £ 5, х2 – 5х – 4 £ 0. С учетом условия х < -½ находим £ х £ -½.
2. – ½ £ х £ 1. Имеем неравенство х2 – х – 2 £ 0. Его решение –1 £ х £ 2. Следовательно, весь отрезок –½£ x £ 1удовлетворяет неравенству .
3. 1 < x < 2. Получаем х2 – 5х + 6 ³ 0; х £ 2 или х ³ 3. Вновь подходит весь интервал.
4. х ³ 2. Неравенство то же, что и в случае 2. Подходит лишь х = 2.
Ответ: £ х £ 2.
Пример: Решить неравенство.
½½х3 + х - 3½- 5½£ х3 – х + 8.
Решение. Решим это неравенство не стандартным образом.
 | |
½х3 + х - 3½ - 5 £ х3 – х + 8, ½х3 + х - 3½£ х3 – х + 13½х3 + х - 3½ - 5 £ -х3 + х – 8 ½х3 + х - 3½³ - х3 + х – 3
х3 + х – 3 £ х3 – х + 13 х £ 8, 
х3 + х – 3 ³ -х3 + х – 13, х3³ -5, 
х3 + х – 3 ³ -х3 + х – 3, х3³ 0,х3 + х – 3 £ х3 – х + 3 х £ 3
-£ х £ 8, -£ х £ 8.х – любое
Ответ: -£ х £ 8.
Неравенства с параметрами.
Неравенства с параметрами являются наиболее трудными задачами курса элементарной математики. Это объясняется тем, что их решения следует получать при всех допустимых значениях входящих в них параметров.
Пример: Для всех значений а решить неравенство
aх > 1/x.
Решение: Запишем неравенство в виде
> 0,
тогда исходное неравенство эквивалентно двум системам неравенств:
ax2 – 1 > 0, ax2 – 1 < 0,
x > 0; x < 0.
Рассмотрим первую систему. Первое неравенство запишем в виде:
ax2 > 1.
При а > 0 оно эквивалентно неравенству х2 > 1/a, множество решений которого х < -1/и x > 1/. В этом случае решения первой системы: хÎ(1/;¥). При а £ 0 левая часть неравенства ах2 –1 > 0 отрицательна при любом х и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и вся система неравенств.
Рассмотрим вторую систему. При а > 0 решениями неравенства ах2 – 1<0 будут значения хÎ(-1/; 1/), а решениями системы ¾ значения хÎ(-1/; 0). При a£ 0 левая часть неравенства ах2 –1 < 0 отрицательна при
