Рациональные уравнения и неравенства (стр. 6 из 11)
Ответ: a = 0.
Пример 10.52. Решить уравнение с параметрами
(a2 - 9)x = a2 + 2a - 3.
Решение. Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра. Запишем уравнение в виде:
(a - 3)(a + 3)x = (a + 3)(a - 1).
Если a = -3, то уравнение принимает вид: 0x = 0. Отсюда следует, что при x Î R, т.е. решением уравнения является любое действительное число. Если a ¹-3, то уравнение принимает вид: (a -3)x = a -1.При a = 3 имеем 0x = 2. Уравнение решения не имеет. При a ¹-3 имеем x = (a - 1) / (a - 3). Уравнение имеет единственное решение (например, x = 3 при a = 4, x=3/5при a= - 2 и т.д.)
Ответ: a = -3, x Î R; a = 3, x ÎÆ; a ¹±3, x = (a - 1) / (a - 3).
Пример 10.53.
(x - 4) / (x + 1) - 1 / a(x + 1) = -2 / a.
Решение. Очевидно, (x + 1)a ¹ 0, т.е. x ¹-1, a ¹ 0. Преобразуем данное уравнение, умножив обе его части на a(x + 1) ¹ 0:
(x - 4)a - 1 = -2(x + 1), т.е. (a + 2)x = 4a -1.
Если a = -2, то имеем 0х = -9. Следовательно, xÎÆ. Если a ¹-2, то x = (4a +1) / (a + 2). Но, как мы уже отметили, x ¹-1. Поэтому надо проверить, нет ли таких значений a при которых найденное значение x равно -1.
(4a - 1) / (a + 2) = -1, т.е. 4a - 1 = -a - 2, т.е. 5a = -1, a= -1 / 5.
Значит, при a ¹ 0, a ¹-2, a ¹-1 / 5 уравнение имеет единственное решение (4a - 1) / (a + 2).
Ответ: x ÎÆпри a Î {-2, 0, -1 / 5}; x = (4a - 1) / (a + 2) при aÏ {-2, 0, -1 / 5}.
Пример 10.54.
(a - 5)x2 + 3ax - (a - 5) = 0.
Решение. При (a - 5) = 0,т.е. a = 5 имеем 15x - 0 = 0, т.е. x = 0. При a - 5 ¹ 0, т.е. a ¹ 5 уравнение имеет корни
X1,2 = (-3a ±Ö(9a2 + 4(a - 5)2)) / (2(a - 5)).
Ответ: x = 0 при a = 5; x = (-3a ±Ö(9a2 + 4(a - 5)2)) / (2(a - 5)) при a ¹ 5.
Пример 10.55.
1 / (x - 1) + 1 / (x - a) = (a + 1) / a.
Решение. Отмечаем, что a(x - 1)(x - a) ¹ 0, т.е. x ¹ 1, x ¹ a, a ¹ 0. При этих условиях данное уравнение после упрощений принимает вид
(a + 1)x2 - (a2 + 4a + 1)x + (2a2 + 2a) = 0.
Если a +1 = 0, т.е. a = -1, имеем, 2x = 0, т.е. x = 0.
Если a + 1 ¹ 0, т.е. a ¹-1, то находим, что
x1,2 = (a2 + 4a + 1 ±Ö(a4 + 2a2 + 1)) / (2(a +1) = (a2 + 4a + 1 ± (a2 + 1) ) / (2(a + 1))
т.е. x1 = a + 1, x2 = 2a / (a + 1). Найдём значения a, при которых x = 1 и x = a, чтобы исключить их.
a + 1 = 1 Þ a = 0 — недопустимо по условию;
a + 1 = a Þ 1 = 0 — невозможно;
2 / (a + 1) = 1 Þ 2a = a + 1, т.е. a = 1;
2 / (a + 1) = a Þ 2a = a2 + a, a = 1 и a = 0 — недопустимо.
Итак, если a ¹-1, a ¹ 0, a ¹ 1, то x1 = a + 1, x2 = 2a / (a + 1).
Теперь рассмотрим, что происходит с уравнением при a = 1. Найдём корни уравнения: x1 = 1 и x2 = 2, причём x1 = 1 не подходит по условию. Теперь выписываем
Ответ: x1 = a + 1 и x2 = 2 при a ¹ 0, a ¹±1; x = 0 при a = -1; x = 2 при a = 1.
Пример 10.56. При каких значениях a система уравнений
axy + x - y + 1,5 = 0,x + 2y + xy + 1 = 0.
Имеет единственное решение?
Решение. Умножим второе уравнение на a и вычтем его из первого уравнения. Получаем равносильную систему
axy + x - y + 1,5 - ax - 2ay -axy - a = 0,x + 2y + xy + 1 = 0, т.е.
(1 - a)x - (2a + 1)y + 1,5 - a = 0,x + 2y + xy + 1
a) Если a = 1, то -3y + 0,5 = 0, т.е. y = 1 /6. Подставив это значение во второе уравнение, находим единственное значение x. Система имеет единственное решение.
b) Если a = -0,5, то система имеет единственное решение.
c) При остальных значениях a сведём систему к квадратному уравнению; из первого уравнения системы находим
y = ((1 - a)x + 1,5 - a) / (2a + 1),
подставляем во второе уравнение:
x + ((2 - 2a)x + 3 - 2a) / (2a + 1) + ((1 - a)x2 + 1,5x - ax) / (2a + 1) +1 = 0, т.е.
2ax + 3x -2ax + 3 -2a + x2 - ax2 +1,5x - ax + 2a + 1 = 0,
(1 - a)x2 + (4,5 - a)x + 4 = 0.
Уравнение имеет единственное решение в том случае, когда дискриминант равен нулю:
(9 / 2 - a)2- 4× 4(1 - a) = 0, т.е. a2 + 7a + 17 / 4 = 0, т.е. a = (-7 ± 4Ö2) / 2.
Ответ: a = 1, a = -1 / 2, a = (-7 ± 4Ö2) / 2.
Пример 10.57.
x3 – (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x – abc =0.
Решение. x3 – ax2 – bx2 – cx2 + abx + acx +bcx – abc = 0,
группируем:x2(x – a) – bx(x – a) – cx(x – a) – cx(x – a) + bc(x – a),
(x – a)(x2 – bc – cx + bc).
(x – a) = 0,
x1 = a.
x2 – bc – cx + bc = 0,
x(x – b) – c(x – b) = 0,
(x – b)(x – c) = 0,
x – b = 0, x2 = b
x – c = 0, x3 = c.
Ответ: x1 = a; x2 = b; x3 = c.
Замечание: корни уравнения можно было легко найти, пользуясь теоремой Виета для кубического уравнения:
если x3 + px2 + qx + r = 0, то
x1 + x2 + x3 = - p,
x1x2 + x1x3 + x2x3 = q,
x1x2x3 = - r .
В нашем случае:
x1 + x2 + x3 = a + b + c,
x1x2 + x1x3 + x2x3 = ab + bc +cd,
x1x2x3 = abc.
Отсюда следует, что x1 = a; x2 = b; x3 = c.
Графический метод решения систем нелинейных уравнений.
Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными можно решать графически. Для этого нужно начертить графики обоих уравнений и найти координаты точек их пересечения. Нам уже известны графики следующих уравнений:
1) ax + by + c = 0 — прямая линия.
2) xy = k — гипербола.
3) (x - a)2 + (y - b)2 = R2 — уравнение окружности с центром A(a, b) и радиусом R.
К этому виду приводятся с помощью выделения полных квадратов уравнения вида:
x2 + y2- 2ax - 2by + c = 0.
4) ax2 + bx + c = 0 — парабола y = ax2 c вершиной в точке A(m, n), где m = -b / 2a, а n = (4ac - b2) / 4a.
Пример 11.58. Найдём графически корни системы:
x2 + y2- 2x + 4y - 20 = 0,2x - y = -1.
Решение. Выделяя полные квадраты, получаем:
x2 + y2- 2x + 4y - 20 = (x2- 2x +1) + (y2 + 4y + 4) -1 - 4 - 20 = (x - 1)2 + (y + 2)2- 25.
Значит, систему уравнений можно записать так:
(x - 1)2 + (y + 2)2 = 25,2x - y = -1.
Графиком первого уравнения является окружность с центром A(1; -2) и радиусом 5. А 2x - y = - 1 — уравнение прямой, проходящей через точки B(0; 1) и C(2; 5). Строим окружность радиуса 5 с центром в точке A и проводим прямую через точки B и C. Эти линии пересекаются в двух точках M(1; 3) и N(-3; -5). Значит решение системы таково:x1 = 1, y1 = 3; x2 = -3, y2 = -5.
 |
Уравнения содержащие знак модуля.
Два числа, модули которых равны, либо равны между собой, либо отличаются лишь знаком: если |a| = |b|, то либо a = b, либо a = -b. Применим это замечание к решению уравнения
|3x - 1| = |2x + 3|.
В силу сказанного выше из этого уравнения вытекает, что либо 3х - 1 = 2х + 3, либо 3х - 1 = -(2х + 3). Корнем первого уравнения является число 4, а второго — число -2 / 5. Итак, решение уравнения имеет вид х1 = 4, х2 = -2 / 5.
В других случаях бывает полезно сначала установить, в каких точках обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, внутри которых выражения сохраняют постоянный знак (промежутки знакопостоянства). Это позволяет освободиться на каждом из таких промежутков от знака модуля и свести задачу к решению нескольких уравнений — по одному на каждом промежутке.
При решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что
f (x), еслиf (x) ³ 0,| f (x) | =
– f (x), еслиf (x) < 0.
Пример 12.59. Решим уравнение.
|x| = |3 - 2x|- x - 1.
Решение. Выражение x обращается в нуль при x = 0, а выражение 3 - 2x — при x = 3 / 2. Точки 0 и 3 / 2 разбивают числовую ось на промежутки (-¥; 0),[0; 3 / 2], (3 / 2;¥). При -¥ < x < 0 имеем x < 0 и 3 - 2x> 0. Поэтому на этом промежутке |x| = - x, |3 - 2x| = 3 - 2x и уравнение принимает вид -x = 3 - 2x - x - 1. Решая его, получаем, что x = 1. Но это значение x не лежит на (-¥; 0), и потому на этом промежутке уравнение корней не имеет. При 0£ x £ 3/ 2 имеем x ³ 0, 3 - 2x ³ 0, поэтому |x| = x, |3 - 2x| = 3 - 2x. И уравнение принимает вид x = 3 - 2x - x - 1. Решая его, находим x = 0,5. Так как это значение x принадлежит промежутку [0; 3 / 2], то 1 / 2 является корнем заданного уравнения. Наконец, на промежутке (3 / 2; +¥) имеем x > 0, 3 - 2x < 0, а потому |x| = x, |3 - 2x| = -(3 - 2x) и уравнение принимает вид x = -(3 - 2x) - x - 1, т.е. 0 = - 4. Значит, на этом промежутке нет корней заданного уравнения.
Мы получили, таким образом, что уравнение имеет лишь один корень, а именно x = 0,5.
Ответ: x = 0,5.
В некоторых случаях уравнение со знаком модуля имеет бесконечно много решений.
Пример 12.60. |8 - 5x| = |3 + x| + |5 -6x|.
Выражения (8 - 5x), (3 + x) и (5 - 6x) обращаются в нуль соответственно в точках 8 /5, -3, 5 / 6. Эти точки разбивают числовую ось на 4 промежутка. При этом, в ходе решения, устанавливаем, что на промежутках (-¥; -3), (5 / 6; 8 /5], (8 / 5; +¥) уравнение корней не имеет, а на промежутке [-3; 5 / 6] оно обращается в тождество 8 - 5x = 3 + x + 5 - 6x. Поэтому ответ имеет вид [-3; 5 / 6].
Ответ: [-3; 5/ 6].
Несколько сложнее решаются уравнения, в которых встречается знак модуля под знаком модуля. Однако и в этом случае метод разбиения оси на промежутки знакопостоянства позволяет решить уравнение.
Пример 12.61. Решим уравнение |2x - 3 -|x + 2|| = 8x + 12.
Решение. Выражение (x + 2) обращается в нуль при x = -2. Если x < -2, то (x + 2) < 0 и потому |x + 2| = -(x + 2). Значит, на промежутке (-¥; - 2) заданное уравнение принимает вид |2x - 3 + (x + 2)| = 8x + 12, т.е. |3x - 1| = 8x + 12.Но при x < -2 имеем 3x - 1 < 0 и потому|3x - 1| = - (3x - 1). Получаем уравнение -(3x - 1) = 8x + 12, имеющее корень x = -1. Так как это число не лежит на промежутке (-¥; - 2), то заданное уравнение не имеет на это промежутке корней.
Пусть теперь x ³- 2. Тогда |x + 2| = x + 2, и мы получаем уравнение |2x - 3 - (x + 2)| =8x + 12, т.е. |x - 5| = 8x + 12. Здесь надо рассмотреть два случая: x < 5 и x ³ 5. В первом случае ½x - 5| = -(х - 5), и потому получаем уравнение -(x - 5) = 8x + 12. Его корень равен -7 / 9. Поскольку -2£ (-7 / 9) £ 5, то -7 / 9 является корнем заданного уравнения. Если же x ³ 5, то |x - 5| = x - 5 и уравнение принимает вид x - 5 = 8x + 12. Корнем полученного уравнения является число -17 / 7. Поскольку оно не лежит на луче [5; +¥), оно не является корнем заданного уравнения. Итак, решение имеет вид x = - 7 / 9.